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?

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C'est bien l'expression de u_n

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cette somme, sans être infinie, a une odeur de ch(t) - sh(t), non ?

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C'est en effet le développement limité à l'ordre n de exp(-t)=ch(t)-sh(t)

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la parenthèse est donc le terme résiduel de la fonction moins son DL à l'ordre n, quelque chose comme o( tⁿ⁺¹ )

et fn(t) serait égale à un truc du genre e^-t.o( tⁿ⁺¹ )/tⁿ⁺¹

mais après, ça dépasse mes compétences...

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La suite semble converger vers 0.

Je cherche encore une expression simplifiée de . (Ca sent à quelques termes près)

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Voici le code Maple permettant d'obtenir les résultats:

> for n from 0 to 10 do int(exp(-t)*(sum((-1)^k*t^k/k!,k=0..n)-exp(-t))/t^(n+1),t=0..infinity);od;
                              
Et voici les résultats obtenus (on trouvera une présentation plus élégante dans le post précédent de gui_tou):

                             ln(2)

                             1 - 2 ln(2)

                            2 ln(2) - 5/4

                           8/9 - 4/3 ln(2)

                            131
                          - ---    + 2/3 ln(2)
                            288

                          661
                          ----     - 4/15 ln(2)
                          3600

                           1327
                         - -----      + 4/45 ln(2)
                           21600

                         1163
                         -----       - 8/315 ln(2)
                         66150


                          148969
                       - --------      + 2/315 ln(2)
                         33868800


                        447047
                       ---------           - 4/2835 ln(2)
                       457228800


                         44711
                     - ---------      + 4/14175 ln(2)
                       228614400


On conjecture donc que avec et rationnels.

On sait que:

Donc

On traitera par la suite le cas où . Le résultat qui va être établi restera valable pour n=0, mais il faudra un raisonnement utilisant le théorème de convergence dominée.

Chacune des fonctions , avec , est continue par morceaux et intégrable sur , avec:

         (cours sur la fonction )

converge, le terme général de cette série étant négligeable devant

On déduit  du théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions que:



On a:

Donc:






On ne démontrera pas que       (résultat classique)



En reprenant l'expression de , on a:


On en déduit que est de limite nulle ( étant majoré par le reste d'ordre d'une série convergente).

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(par la formule de récurrence) et (par le théorème des séries alternées).