Forum Mathématique (Lycée) :
exo

salut les amis je suis un nouveau membre, c mon premier message,
(x,y) deux nombres positives tels que:
x+2y=1/2
montrez que:
x²+y² >= 1/20

Bonne Chance

édit Océane : forum modifié

bonjour

tu as le droit de tracer une droite et un cercle ?

pas de réponse ?

Soit la droite (D) x+2y=1/2 et le cercle (C) x²+y²=1/20 de centre O(0;0)

tu détermines la distance d de O à la droite D et constate que la distance OM vaut pile poil le rayon : d = OM = racine(1/20)

donc la droite (D) est tangente à (C) en M ( 0,1 ; 0,2 )

par suite, tous les points de la droite, sauf M, sont extérieurs au disque jaune, ci-dessous (M est commun au disque et à la droite) :

citation :

Je ne sais, en revanche, si cette façon de faire te dit quelque chose ?

x + 2y = 1/2

x = (1/2) - 2y

x²+y² = ((1/2)-2y)² + y²
x²+y² = 4y² + (1/4) - 2y + y²
x²+y² = 5y² - 2y + (1/4)

x²+y² = 5(y² - 0,4y + 0,05)
x²+y² = 5[(y - 0,2)² -0,04 + 0,05]
x²+y² = 5[(y - 0,2)² + 0,01]

Comme (y - 0,2)² >= 0 (puisque c'est un carré), [(y - 0,2)² + 0,01] est minimum pour y=0,2 et ce min est 0,01

--> x²+y² >= 5 * 0,01

x²+y² >= 1/20
-----
Sauf distraction.

2y+x=1/2
Donc:
y=1/4-x/2
Ainsi:
x²+y²=5x²/4-x/4+1/16

On veut montrer que:
x²+y²1/20
Montrons donc que:
x²+y²-1/200

On sait que:
x²+y²-1/20=5x²/4-x/4+1/16-1/20=1/4(5x²-x+1/4-1/5)
Et :
1/4-1/5=1/20
Donc:
x²+y²-1/20=1/4(5x²-x+1/20)=1/80(100x²-20x+1)
Donc:
x²+y²-1/20=1/80(10x-1)²0

bonjour
une généralisation
ax + by = 1
a²x² + b²y² + 2abxy = 1
(x²+y²)(a²+b²) = a²x² + b²x² + a²y² + b²y²
= (a²x² + b²y² + 2abxy) + (b²x² + a²y² - 2abxy)
= 1 + (bx - ay)² >= 1
(x²+y²)(a²+b²) >= 1
(x²+y²) >= 1/(a²+b²)
ici 2x+4y = 1
x²+y² >= 1/(2²+4²)
x²+y² >= 1/20

bonjour

en procédant par le calcul de la distance d'un point à une droite, c'est encore plus rapide

la distance du point A(x_A;y_A) à la droite (D) : ax+by+c = 0 vaut :



--------------

avec A=O(0;0) la distance vaut

on a donc :



A vérifier

Question aux pros du latex :
existe-t-il le signe supérieur ou égal où la barre du signe égal est parallèle à celle du signe supérieur ?

mikayaou,

Ce signe existe en Latex, mais n'est pas reconnu par toutes les versions de Latex.

Sur les versions de Latex qui le reconnaissent (pas sur l'île), il sécrit: \geqslant

merci J-P

y a-t-il un moyen mnémotechnique pour retenir geqslant ?

je vois bien le g et le eq mais pas le slant ?

merci

Bonjour,

mika>>

merci PE

salut les amis il ya des solution juste comme celle de J-P (Correcteur) il y a aussi d'autre juste presque tous, mais il ya d'autre que je n'ai po compris, nous ne somme pas de mm pays, alors qu'elle est la dernier class au college, pour nous c'est la troisieme.

bonjour

jette un œil vers la fin de cette page pour voir les équivalences des systèmes de niveaux scolaires

bonjour Mikayaou
encore faut-il connaître la formule de la distance d'un point à une droite, ou savoir la retrouver, ce qui n'est pas évident
néanmoins, on peut déduire ici un cousin du théorème de Pythagore
dans un triangle rectangle, l'inverse du carré de la hauteur à l'hypoténuse est la somme des inverses des carrés des côtés de l'angle droit

en effet, PM-bonsoir-, cette dernière formule est bien plus connue

c'est pour celà que la connaissance du niveau du posteur est in-dis-pen-sable

... ou alors on résout au plus basique comme dans ma réponse.

Besoin de quasi aucune connaissance...

oui, c'est la méthode classique, algébrique pure

celle de la distance à la droite est un peu plus géométrique et demande de "voir" un peu plus les choses

par ailleurs, la formule de d( A ; (D) ) est assez facile à mémoriser et je l'ai vue utilisée dans des exos de 1°, je crois

on fait bien mémoriser "produit des pentes = -1 pour deux droites perpendiculaires", sans demander de le redémontrer ...