Forum : topologie :
Séparation d'un compact et d'un fermé

Bonjour

citation :
K est un compact de R² et F un fermé de R². SL2(R) agissant continuement sur R², pour tout tel que il existe un voisinage ouvert Ug de g dans SL2(R) vérifiant :

Je n'arrive pas à comprendre comment de la continuité de l'action on peut en déduire l'existence de ce voisinage. C'est sans doute tout bête mais je ne vois pas.

Merci

Fractal

Salut Fractal,


il suffit d'utiliser le fait que       est un compact (par continuité de g) et F un fermé de    .

Il existe donc deux ouverts          tels que           et         .


Par continuité de l'action, il existe un voisinage             de          dans          tel que          , et en particulier tel que        .

Salut Tigweg

citation :
Par continuité de l'action, il existe un voisinage U de g dans tel que

C'est cette étape que je ne comprends pas bien.
agit sur et c'est son action sur les points dont on sait qu'elle est continue, pas son action induite sur les parties de .
Ou alors j'ai raté une étape quelque part?

Fractal

Oui mais gK est compact: pour tout gk de gK, tu définis une boule ouverte Vgk contenant gk  et incluse dans O_1.

On lui associe une boule ouverte Wk contenant k et incluse dans K (g est un homéomorphisme), tel que g(Wk) soit inclus dans Vgk.

On recouvre par ce procédé le compact K par une famille d'ouverts, dont on extrait un sous-recouvrement fini Wk_1,Wk_2,...Wk_n.

On montre ensuite que pour chaque i, il existe un voisinage Ui de g tel que pour tout g' de Ui on ait
  
Or la réunion de tous ces ensembles n'est autre que g'K.

Il en résulte que l'intersection U des Ui convient, sauf erreur.

C'est bon, j'ai compris

Merci !

Fractal

Avec plaisir