Suite et intégrale

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Suite et intégrale

Posté le 04-07-08 à 10:43

Posté par nangbao

Bonjour,

j'ai un problème pour la résolution de cet exercice, en effet, je n'arrive pas a trouvé le solution.
Je révise en vue d'un éventuel oral de rattrapage !

Soi une suite Un définit par $Un = \int_0^{n} x^2e^{-x} dx$
Montrer que Un est croissant

meci !

re : Suite et intégrale

Posté le 04-07-08 à 10:47

Posté par mikayaou

bonjour

par positivité , pour x>0, de y = x²e^-x ?

re : Suite et intégrale

Posté le 04-07-08 à 10:58

Posté par TiT126

bonjour à tous les deux

$3$u_{n+1} - u_n = \Bigint_0^{n+1}x^2e^{-x}dx-\Bigint_0^n x^2e^{-x}dx \\ =\Bigint_0^{n+1}x^2e^{-x}dx+\Bigint_n^0 x^2e^{-x}dx \\ =\Bigint_n^{n+1}x^2e^{-x}dx$

Or n > n+1 et x²e^-x>0 sur

donc sur [n;n+1]

Donc : $3$\Bigint_n^{n+1}x^2e^{-x}dx > 0$
$3$u_{n+1} - u_n > 0 \\ u_{n+1} > u_n$

Donc (u_n) est croissante

re : Suite et intégrale

Posté le 04-07-08 à 11:00

Posté par blackhole

typiquement, pour montrer qu'une suite est croissante, on montre que $U_{n+1}-U{n}$ est positive.

re : Suite et intégrale

Posté le 04-07-08 à 11:00

Posté par TiT126

Citation :
n < n+1

désolé

re : Suite et intégrale

Posté le 04-07-08 à 13:37

Posté par dhalte

Et si tu montrais que $3$f(x) =\int_0^xt^2e^{-t}dt$ était strictement croissante pour tout x>0 ?

C'est très simple à montrer... Puisque la dérivée vaut $3$x^2e^{-x}>0$

Alors tu auras f(n+1) > f(n), c'est à dire $3$u_{n+1}>u_n$

re : Suite et intégrale

Posté le 04-07-08 à 17:05

Posté par mikayaou

on peut aussi tout simplement le "sentir" en voyant voir croître la zone verte au fur et à mesure que n croît :

re : Suite et intégrale

Posté le 04-07-08 à 17:06

Posté par mikayaou

...mais ça ne démontre rien

ça met simplement sur la voie que si x²e^-x est positive, ça le fait...

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