Calcul matriciel

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Calcul matriciel

Posté le 04-07-08 à 15:27

Posté par Organix

Bonjour,
Alors, en fait, j'ai une question sur le calcul matriciel... (Elle a été posée à l'examen d'entrée d'ingénieur civil à l'ULB (univ de Bruxelles))
La voici : Sous quelles conditions les deux matrices ci-dessous ont le même déterminant ?
[a⁴ a² 1                     [a  b   c
b⁴  b² 1              et     a³ b³ c³
c⁴  c² 1]                      1  1  1]

J'ai essayé en simplifiant les deux matrices puis en calculant leur déterminant, et à la fin j'obtiens l'égalité suivante :
(a+c)(b+c)(a+b)=a+b+c
Je suis pas sûr que ce soit la méthode à utiliser... Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Merci d'avance

Edit Coll : forum modifié

re : Calcul matriciel

Posté le 04-07-08 à 15:48

Posté par gui_tou

Hello

Le premier déterminant vaut $3$\fbox{d_1=-(a+b)(a-b)(c+b)(c-b)(a+c)(a-c)$

Le deuxième vaut $3$\fbox{d_2=(a+c+b)(c-b)(a-b)(a-c)$

Il est clair que si a, b et c ne sont pas deux à deux distincts, $3$d_1=d_2=0$

Dans le cas contraire, on a :

$3$d_1=d_2 \\ \Leftright -(a+b)(a-b)(c+b)(c-b)(a+c)(a-c)=(a+c+b)(c-b)(a-b)(a-c) \\ \Leftright -(a+b)(c+b)(a+c)=(a+c+b)$

... A toi

re : Calcul matriciel

Posté le 04-07-08 à 16:04

Posté par Organix

J'avais trouvé le même résultat avant de poser la question, mais je ne voyais pas trop comment continuer ...

Pour la suite, je peux distribuer et dans ce cas j'obtiens des carrés. Si je considère que a est est la variable, je peux l'isoler à la manière d'un polynôme. J'aurais donc ma solution pour le paramètre a, et il me suffit de recommencer pour b et c.

On peux aussi voir que si un paramètre en vaut un autre, le troisième doit valoir 0.

Vous avez peut-être trouvé d'autres solution ?

re : Calcul matriciel

Posté le 04-07-08 à 16:07

Posté par gui_tou

Mouais j'ai pas trop d'idée à partir de $3$-(a+b)(c+b)(a+c)=(a+c+b)$

Par contre,

Citation :
On peux aussi voir que si un paramètre en vaut un autre, le troisième doit valoir 0.

Ah non si a=b ou a=c ou b=c alors d₁=d₂=0 et on ne peut pas simplifier les déterminants pour aboutir sur $3$-(a+b)(c+b)(a+c)=(a+c+b)$ car on diviserait par 0.

re : Calcul matriciel

Posté le 04-07-08 à 16:12

Posté par Organix

Si un paramètre vaut l'opposé d'un autre, pardon...

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