Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme
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Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme 
Posté le 06-07-08 à 09:17
Posté par 
jamo jamo 
Bonjour,
ATTENTION : l'image ci-dessous n'est pas l'énigme, elle n'a aucun rapport avec !
voici un petit problème tout simple à comprendre et auquel il est facile de participer.
Mais trouver la solution l'est peut-être moins !
Voilà le principe :
- on prend le nombre 30 et on le décompose sous forme d'une somme de nombre décimaux positifs avec un seul chiffre après la virgule ;
- on calcule le produit de tous les termes de la somme.
Exemple 1 :
et 
Exemple 2 :
et 
Question : trouver la décomposition qui donne le produit maximal.
Je pense posséder la solution optimale, on verra bien si certains trouvent mieux que moi !
Bonne recherche !
PS 1 : Si vous voulez vous amuser à généraliser le problème pour un autre nombre que 30, ne vous privez pas !
PS 2 : Comme je suis sympa, je vous donne un lien vers une vidéo qui devrait vous aider à faire les calculs :
PS 3 : Ne vous inquiétez pas si votre réponse n'est pas cachée une fois que vous l'avez envoyée ; c'est tout à fait normal, chacun ne voit que sa réponse, voir ici le message de Tom_Pascal :
PS 4 : je ne savais pas quoi mettre comme image en rapport avec cette énigme, alors je vous ai mis un petit sudoku (sans savoir s'il possède une solution, je ne l'ai pas essayé) .
jamo jamo Bonjour,
ATTENTION : l'image ci-dessous n'est pas l'énigme, elle n'a aucun rapport avec !
voici un petit problème tout simple à comprendre et auquel il est facile de participer.
Mais trouver la solution l'est peut-être moins !
Voilà le principe :
- on prend le nombre 30 et on le décompose sous forme d'une somme de nombre décimaux positifs avec un seul chiffre après la virgule ;
- on calcule le produit de tous les termes de la somme.
Exemple 1 :
Exemple 2 :
Question : trouver la décomposition qui donne le produit maximal.
Je pense posséder la solution optimale, on verra bien si certains trouvent mieux que moi !
Bonne recherche !
PS 1 : Si vous voulez vous amuser à généraliser le problème pour un autre nombre que 30, ne vous privez pas !
PS 2 : Comme je suis sympa, je vous donne un lien vers une vidéo qui devrait vous aider à faire les calculs :
PS 3 : Ne vous inquiétez pas si votre réponse n'est pas cachée une fois que vous l'avez envoyée ; c'est tout à fait normal, chacun ne voit que sa réponse, voir ici le message de Tom_Pascal :
PS 4 : je ne savais pas quoi mettre comme image en rapport avec cette énigme, alors je vous ai mis un petit sudoku (sans savoir s'il possède une solution, je ne l'ai pas essayé)
.re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 06-07-08 à 09:43
Posté le 06-07-08 à 09:43Posté par Flo08 Flo08
Bonjour,
Apparemment, le chiffre après la virgule peut très bien être un 0...
Je ne suis pas sûre du tout de ma réponse, mais après quelques essais, en décomposant 30 en 3,0 + 3,0 + 3,0 + 3,0 + ... (on dira 3,0 * 10 pour aller plus vite
), le produit obtenu est 310 = 59 049
Interessant, ce sudoku... j'essaierai peut-être de le faire
Flo08 Flo08Bonjour,Apparemment, le chiffre après la virgule peut très bien être un 0...
Je ne suis pas sûre du tout de ma réponse, mais après quelques essais, en décomposant 30 en 3,0 + 3,0 + 3,0 + 3,0 + ... (on dira 3,0 * 10 pour aller plus vite
), le produit obtenu est 310 = 59 049Interessant, ce sudoku... j'essaierai peut-être de le faire
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 06-07-08 à 10:03
Posté le 06-07-08 à 10:03Posté par manpower manpower
Bonjour,
en regardant, pour n variant entre 1 et 30,^n)
, on en déduit que la décomposition aura une somme maximale pour n=11 ( ^{11} \approx 62088,94)
)
Le produit maximal sera donc obtenu pour un produit de 11 facteurs le plus proche possible de 2,7.
Quelques essais, à la calculette, montrent que le maximum sera
avec 
et une valeur approchée de ce maximum est 61998,93 (pas loin du maximum théorique sus-cité).
Merci pour l'énigmo et le sudoku rigolo.
manpower manpowerBonjour,en regardant, pour n variant entre 1 et 30,
Le produit maximal sera donc obtenu pour un produit de 11 facteurs le plus proche possible de 2,7.
Quelques essais, à la calculette, montrent que le maximum sera
et une valeur approchée de ce maximum est 61998,93 (pas loin du maximum théorique sus-cité).
Merci pour l'énigmo et le sudoku rigolo.
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 06-07-08 à 10:22
Posté le 06-07-08 à 10:22Posté par link224 link224
Merde, erreur de touche TAB...
Je reprends :
On a :
et 
et 
Ainsi de suite en disant que
, le produit vaut alors 50630.710256676; puis 
et le produit vaut 59049.
De même
et le produit vaut alors 61767.339628395.
Ensuite, en continuant, le produit diminue, il faut donc bidouiller la dernière opération (] pour trouver le produit maximal)
Je trouve donc un produit maximal en écrivant
et on a :
qui est le produit maximal.
(J'ai mis tous les chiffres de la calculatrice afin d'éviter toute question relative à la précision).
Voilà ce coup-ci j'ai fini, et tant pis pour moi si je me prends un poisson, c'est la faute au clavier
@+
link224 link224Merde, erreur de touche TAB...Je reprends :
On a :
Ainsi de suite en disant que
De même
Ensuite, en continuant, le produit diminue, il faut donc bidouiller la dernière opération (
Je trouve donc un produit maximal en écrivant
qui est le produit maximal.
(J'ai mis tous les chiffres de la calculatrice afin d'éviter toute question relative à la précision).
Voilà ce coup-ci j'ai fini, et tant pis pour moi si je me prends un poisson, c'est la faute au clavier
@+
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 06-07-08 à 10:26
Posté le 06-07-08 à 10:26Posté par Nofutur2 Nofutur2
Il faut que les nombres de la décomposition soient égaux.
Quand on cherche le max du produit, on trouve e pour chaque terme.
En se limitant aux chiffres décimaux avec 1 chiffre après la virgule, on trouve un produit max pour la décomposition suivante :
8 fois le nombre 2,7 et 3 fois le nombre 2,8 ce qui donne un produit de 61998,93...
Nofutur2 Nofutur2Il faut que les nombres de la décomposition soient égaux.Quand on cherche le max du produit, on trouve e pour chaque terme.
En se limitant aux chiffres décimaux avec 1 chiffre après la virgule, on trouve un produit max pour la décomposition suivante :
8 fois le nombre 2,7 et 3 fois le nombre 2,8 ce qui donne un produit de 61998,93...
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 06-07-08 à 12:20
Posté le 06-07-08 à 12:20Posté par Eric1 Eric1
sans grande certitude, mais allons-y tout de meme:
trouvons déja le maximum absolu:
solution de (30/x)^x, donc 62092,7... pour x=11,03 donc les facteurs sont proches de 30/11,03 ~ 2,722
or nos facteurs de doivent posseder au maximum qu'une seule décimale
apres avoir essayé quelques trucs (2,7*9+2,8+2,9), (2,7*10+3), j'obtiens une forme sympatique
2,7*8+2,8*3 ce qui donne presque 61999
sachant que je ne veux pas me lancer dans l'optimisation linéaire en nombre entier (il suffit de toout multiplier par 10 pour se retrouver avec des entiers), avec la méthode de branch and bound entre autres....
étant conscient que quelquefois, certains facteurs solutions sont assez loin de la solution optimale (2,722), je tente tout de même la décomposition suivante:
2,7^8 * 2,8^3
on verra bien s'il fallait vraiment dérouler l'algorithme ou si le hasard suffisait ici...
Eric1 Eric1sans grande certitude, mais allons-y tout de meme:trouvons déja le maximum absolu:
solution de (30/x)^x, donc 62092,7... pour x=11,03 donc les facteurs sont proches de 30/11,03 ~ 2,722
or nos facteurs de doivent posseder au maximum qu'une seule décimale
apres avoir essayé quelques trucs (2,7*9+2,8+2,9), (2,7*10+3), j'obtiens une forme sympatique
2,7*8+2,8*3 ce qui donne presque 61999
sachant que je ne veux pas me lancer dans l'optimisation linéaire en nombre entier (il suffit de toout multiplier par 10 pour se retrouver avec des entiers), avec la méthode de branch and bound entre autres....
étant conscient que quelquefois, certains facteurs solutions sont assez loin de la solution optimale (2,722), je tente tout de même la décomposition suivante:
2,7^8 * 2,8^3
on verra bien s'il fallait vraiment dérouler l'algorithme ou si le hasard suffisait ici...
Produit maximal des termes d'une somme Posté le 06-07-08 à 17:30
Posté le 06-07-08 à 17:30Posté par rogerd rogerd
Bonjour Jamo et merci pour cette énigme qui aura bien occupé un après-midi pluvieux.
On sait que , lorsque la somme est donnée, le produit de n nombres positifs est maximal quand les nombres sont égaux. Si on décompose 30 en une somme de n nombres, le produit est donc inférieur à (30/n)^n. En étudiant la fonction (30/x)^x, on voit que son maximum est atteint entre x=11 et x=12.
De plus pour n=12, 12/n=2.5 et 12 nombres égaux à 2,5 ont un produit égal à 59604,6..
Les valeurs 10 et 13 pour n donnent un (30/n)^n inférieur à 59604. les variations de (30/x)^x montrent alors que les valeurs de n autres que 11 et 12 ne sont pas optimales.
De plus, pour n=11, le partage de 30 en 8 fois 2,7 + 3 fois 2,8 donne un produit égal à 61998,9, meilleur que ce qu'on peut obtenir avec n=12.
Le n optimal est donc 11.
Pour le premier facteur p fixé, le produit ne peut dépasser p.((30-p)/10)^10. En étudiant cette fonction, on voit qu'on n'aura des chances de battre le record de 61998 que si p=2,6 2,7 ou 2,8. Les décompositions de 30 en sommes de la forme a.2,6+b.2,7+c.2,8 ne sont pas légion. On les étudie toutes et on s'aperçoit que la meilleure est celle déjà trouvée, soit
8 facteurs égaux à 2,7 et 3 facteurs égaux à 2,8, qui donne un produit égal à 61998,93185.
rogerd rogerdBonjour Jamo et merci pour cette énigme qui aura bien occupé un après-midi pluvieux.On sait que , lorsque la somme est donnée, le produit de n nombres positifs est maximal quand les nombres sont égaux. Si on décompose 30 en une somme de n nombres, le produit est donc inférieur à (30/n)^n. En étudiant la fonction (30/x)^x, on voit que son maximum est atteint entre x=11 et x=12.
De plus pour n=12, 12/n=2.5 et 12 nombres égaux à 2,5 ont un produit égal à 59604,6..
Les valeurs 10 et 13 pour n donnent un (30/n)^n inférieur à 59604. les variations de (30/x)^x montrent alors que les valeurs de n autres que 11 et 12 ne sont pas optimales.
De plus, pour n=11, le partage de 30 en 8 fois 2,7 + 3 fois 2,8 donne un produit égal à 61998,9, meilleur que ce qu'on peut obtenir avec n=12.
Le n optimal est donc 11.
Pour le premier facteur p fixé, le produit ne peut dépasser p.((30-p)/10)^10. En étudiant cette fonction, on voit qu'on n'aura des chances de battre le record de 61998 que si p=2,6 2,7 ou 2,8. Les décompositions de 30 en sommes de la forme a.2,6+b.2,7+c.2,8 ne sont pas légion. On les étudie toutes et on s'aperçoit que la meilleure est celle déjà trouvée, soit
8 facteurs égaux à 2,7 et 3 facteurs égaux à 2,8, qui donne un produit égal à 61998,93185.
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 06-07-08 à 18:38
Posté le 06-07-08 à 18:38Posté par kioups kioups
Je propose la décomposition :
30=2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.8+2.8+2.8=2.7*8+2.8*3
Le produit obtenu est environ 61 998.9
kioups kioupsJe propose la décomposition :30=2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.8+2.8+2.8=2.7*8+2.8*3
Le produit obtenu est environ 61 998.9
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 06-07-08 à 20:19
Posté le 06-07-08 à 20:19Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06
Bonjour,
Il semble évident qu'on ne doit pas faire intervenir de chiffre inférieur à 1, sous peine de réduire le produit maximal. De même il ne faut pas que la somme des nombres comprenne un chiffre inférieur à 2. Il faut également utiliser le plus de "grands" chiffres dans la somme, afin de maximiser le produit.
L'idéal est donc de diviser 30 en deux jusqu'à ce que la somme comprenne un chiffre inférieur à deux. En cas de nombre à deux décimales, il suffit de l'arrondir une fois par excès, une fois par défaut.
(S=30 ; P=225)
(S=30 ; P=3164.0625)
(S=30 ; P=39078.80570896)
Le produit maximal est donc : P
39078.8
Le raisonnement est identique pour tout autre nombre mais on ne peut trouver de formule donnant directement le produit (enfin ça m'étonnerait
), sauf si le nombre choisi s'écrit sous la forme 2n avec n
*. Dans ce cas, le produit est : 2^2^(n-1) (comment on met ça en LaTeX ? o_O)
Voilà merci pour l'énigme
PloufPlouf06 PloufPlouf06Bonjour,Il semble évident qu'on ne doit pas faire intervenir de chiffre inférieur à 1, sous peine de réduire le produit maximal. De même il ne faut pas que la somme des nombres comprenne un chiffre inférieur à 2. Il faut également utiliser le plus de "grands" chiffres dans la somme, afin de maximiser le produit.
L'idéal est donc de diviser 30 en deux jusqu'à ce que la somme comprenne un chiffre inférieur à deux. En cas de nombre à deux décimales, il suffit de l'arrondir une fois par excès, une fois par défaut.
Le produit maximal est donc : P
39078.8Le raisonnement est identique pour tout autre nombre mais on ne peut trouver de formule donnant directement le produit (enfin ça m'étonnerait
), sauf si le nombre choisi s'écrit sous la forme 2n avec n*. Dans ce cas, le produit est : 2^2^(n-1) (comment on met ça en LaTeX ? o_O)Voilà merci pour l'énigme
challenge en cours* Posté le 06-07-08 à 21:40
Posté le 06-07-08 à 21:40Posté par ignace10 ignace10
1.7+2+2.3+4.9+3+5.4+2.1+4.6+2.9+3+1.1=30
1.7*2*2.3*4.9*3*5.4*2.1*4.6*2.9*3*1.1=57386.2
ignace10 ignace101.7+2+2.3+4.9+3+5.4+2.1+4.6+2.9+3+1.1=301.7*2*2.3*4.9*3*5.4*2.1*4.6*2.9*3*1.1=57386.2
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 07-07-08 à 00:55
Posté le 07-07-08 à 00:55Posté par Daniel62 Daniel62
Bonjour à tous.
ça fait déjà un moment que je consulte l'ile, et je me décide enfin à m'inscrire.
on demande la composition, voici ma réponse:
2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,8+2,8+2,8 = 30
le produit de tous les termes de la somme est:
2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,8x2,8x2,8 61998,9
il y a donc 11 termes dans cette somme. le produit étant maximum lorsque les termes sont égaux.
donne un peu plus de 2,7 il faut donc adapter: 
le problème pour le cas général est de trouver le nombre de termes en fonction de la somme:
 = ln(30) - 1)
exemple pour une somme égale à 60:
 = ln(60) - 1)
il y donc 22 termes et
on retrouve la même chose que pour 30 mais en double: soit
c'est ma première participation et je découvre le latex grâce à ce site, il y aura donc forcément des erreurs
(par exemple j'ai pas réussi à mettre le signe <<environegal>> dans le latex et le signe multiplié ressemble un peu trop à "x")
voila donc la régle générale à laquelle je pense:
si S représente la somme
nombre de termes =-1))
(arrondi à l'entier le plus proche)
ensuite on retrouve les termes par division.
cette règle est-elle valable pour toute somme (problème à cause des arrondis) ???
essai avec 45:
je trouve 16,55457485 donc arrondi à 17 termes
pour 16 termes: 2,814 x 2,92 = 15311171,98
pour 17 termes: 2,69 x 2,78 = 15334522,07
pour 18 termes: 2,518 = 14551915,23
Daniel62 Daniel62Bonjour à tous.ça fait déjà un moment que je consulte l'ile, et je me décide enfin à m'inscrire.
on demande la composition, voici ma réponse:
2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,8+2,8+2,8 = 30
le produit de tous les termes de la somme est:
2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,8x2,8x2,8
61998,9il y a donc 11 termes dans cette somme. le produit étant maximum lorsque les termes sont égaux.
le problème pour le cas général est de trouver le nombre de termes en fonction de la somme:
exemple pour une somme égale à 60:
il y donc 22 termes et
on retrouve la même chose que pour 30 mais en double: soit
c'est ma première participation et je découvre le latex grâce à ce site, il y aura donc forcément des erreurs
(par exemple j'ai pas réussi à mettre le signe <<environegal>> dans le latex et le signe multiplié ressemble un peu trop à "x")
voila donc la régle générale à laquelle je pense:
si S représente la somme
nombre de termes =
ensuite on retrouve les termes par division.
cette règle est-elle valable pour toute somme (problème à cause des arrondis) ???
essai avec 45:
je trouve 16,55457485 donc arrondi à 17 termes
pour 16 termes: 2,814 x 2,92 = 15311171,98
pour 17 termes: 2,69 x 2,78 = 15334522,07
pour 18 termes: 2,518 = 14551915,23
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 07-07-08 à 07:55
Posté le 07-07-08 à 07:55Posté par piepalm piepalm
Le maximum de la fonction f(x)=x^(n/x) est obtenu pour x=e=2,71...
On s'en approchera au mieux pour une décomposition en 11 termes, dont 8 égaux à 2,7 et 3 à 2,8:
8*2,7+3*2,8=30 et 2,7^8*2,8^3=61998,9318483091
Pour une solution générale, avec un nombre N, la décomposition se fera en un nombre de termes égal à l'arrondi entier de N/e: si le nombre est assez grand (supérieur à 27), on peut obtenir N comme somme de termes égaux à 2,7 ou 2,8...
piepalm piepalmLe maximum de la fonction f(x)=x^(n/x) est obtenu pour x=e=2,71...On s'en approchera au mieux pour une décomposition en 11 termes, dont 8 égaux à 2,7 et 3 à 2,8:
8*2,7+3*2,8=30 et 2,7^8*2,8^3=61998,9318483091
Pour une solution générale, avec un nombre N, la décomposition se fera en un nombre de termes égal à l'arrondi entier de N/e: si le nombre est assez grand (supérieur à 27), on peut obtenir N comme somme de termes égaux à 2,7 ou 2,8...
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 07-07-08 à 11:16
Posté le 07-07-08 à 11:16Posté par PIL PIL
Bonjour,
L'idéal serait de prendre 30/e nombres égaux à e !
Je propose de prendre 11 nombres : 8 fois le nombre 2,7 et 3 fois le nombre 2,8. La somme est bien 30 et le produit vaut 61998,93.
PIL PILBonjour,L'idéal serait de prendre 30/e nombres égaux à e !
Je propose de prendre 11 nombres : 8 fois le nombre 2,7 et 3 fois le nombre 2,8. La somme est bien 30 et le produit vaut 61998,93.
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 07-07-08 à 11:33
Posté le 07-07-08 à 11:33Posté par 1emeu 1emeu
Bonjour,
voici ma réponse :
Le maximum est atteint pour la décomposition suivante :
30= 2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.8+2.8+2.8
Le produit est alors 61998.93185
Merci pour l'énigme
1emeu
1emeu 1emeuBonjour,voici ma réponse :
Le maximum est atteint pour la décomposition suivante :
30= 2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.8+2.8+2.8
Le produit est alors 61998.93185
Merci pour l'énigme
1emeu
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 07-07-08 à 18:05
Posté le 07-07-08 à 18:05Posté par lo5707 lo5707
bonjour,
je ne trouve pas mieux que 61998,93185
2,8 + 2,8 + 2,8 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 = 30
2,8 * 2,8 * 2,8 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 = 61998,93185
merci pour cette énigme.
lo5707 lo5707bonjour,je ne trouve pas mieux que 61998,93185
2,8 + 2,8 + 2,8 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 = 30
2,8 * 2,8 * 2,8 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 = 61998,93185
merci pour cette énigme.
enigmo43 Posté le 07-07-08 à 18:59
Posté le 07-07-08 à 18:59Posté par totti1000 totti1000
Pour cette énigme, on veut trouver des termes dont la somme est égale à 30 et le produit soit maximal.
Pour cela il faut que les termes soient égaux ou les plus proches possibles (cf maximiser une surface connaissant le périmètre).
On a donc l'équation (30/x)x avec x le nombre de termes.
On cherche pour quel x la solution de l'équation est maximum, on trouve x=11.
Le problème est que chaque terme est égal à 2,72727272...
On doit donc trouver 11 termes qui se rapproche le plus possibles de 2,72727272...
On a donc comme solution pour cette énigme :
totti1000 totti1000Pour cette énigme, on veut trouver des termes dont la somme est égale à 30 et le produit soit maximal.Pour cela il faut que les termes soient égaux ou les plus proches possibles (cf maximiser une surface connaissant le périmètre).
On a donc l'équation (30/x)x avec x le nombre de termes.
On cherche pour quel x la solution de l'équation est maximum, on trouve x=11.
Le problème est que chaque terme est égal à 2,72727272...
On doit donc trouver 11 termes qui se rapproche le plus possibles de 2,72727272...
On a donc comme solution pour cette énigme :
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 08-07-08 à 00:58
Posté le 08-07-08 à 00:58Posté par infophile infophile
Bonjour
Démonstration
Traitons le cas general, on se donne un entier
que l'on souhaite décomposer en une somme de réels strictements positifs tel que le produit soit maximal.
Soit
une telle décomposition. Notons 
le produit maximal.
Preuve :
Raisonnons par l'absurde et supposons que![3$ \rm \magenta \fbox{\exist i\in \mathbb{[}1,n\mathbb{]}, a_i>4}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$ \rm \magenta \fbox{\exist i\in \mathbb{[}1,n\mathbb{]}, a_i>4})
On pourrait alors écrire
avec 
.
La décomposition s'écrirait
Et le produit associé :
Donc})
Et-2k=2-k<0)
car .
On aurait donc
ce qui est absurde car 
maximal.
Remarque : Si un
alors le produit ne serait pas optimal.
Preuve :
Quitte à réindexer on peut supposer
Supposons 
ie il existe 
tel que 
Ecrivons alors+\(a_1+\frac{k}{2}\)+a_3+...+a_n})
Et donc![3$ \rm \blue \fbox{P-P'=a_3\times \cdots a_n\[a_1(a_1+k)-\(a_1+\frac{k}{2}\)^2\]=-a_3\times \cdots \times a_n\times \frac{k^2}{4}<0}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$ \rm \blue \fbox{P-P'=a_3\times \cdots a_n\[a_1(a_1+k)-\(a_1+\frac{k}{2}\)^2\]=-a_3\times \cdots \times a_n\times \frac{k^2}{4}<0})
D'où
ce qui est absurde car maximal.
On en déduit alors
Supposons que 
et 
ie il existe tel que 
Ecrivons alors+\(a_i+\frac{k}{k+1}\)+...+\(a_i+\frac{k}{i+1}\)+a_{i+2}+...+a_n})
On obtient :
![3$ \rm \blue \fbox{P-P'=a_{i+2}\times \cdots \times a_n\[a_i^i(a_i+k)-\(a_i+\frac{k}{i+1}\)^{i+1}\]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$ \rm \blue \fbox{P-P'=a_{i+2}\times \cdots \times a_n\[a_i^i(a_i+k)-\(a_i+\frac{k}{i+1}\)^{i+1}\]})
Le binôme de Newton donne le signe de l'expression, on a de nouveau :
absurde donc 
Par récurrence forte ces deux points démontre que
D'après le lemme 2 on en déduit que la meilleure décomposition est de la forme })
avec 
. Le produit associé est ainsi ^{n}})
Cherchons la valeur de
qui rende le produit maximal.
Pour cela considérons la fonction^x})
sur ![3$ \rm ]0,+\infty[](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$ \rm ]0,+\infty[)
On dérive cette fonction :![3$ \rm \red \fbox{f'(x)=\(\frac{N}{x}\)^x\[\ln\(\frac{N}{x}\)-1\]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$ \rm \red \fbox{f'(x)=\(\frac{N}{x}\)^x\[\ln\(\frac{N}{x}\)-1\]})
Le facteur étant strictement positif le signe dépend des crochets, et on a clairement un maximum pour
Et donc on choisit![3$ \rm \fbox{n=\[\frac{N}{e}\]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$ \rm \fbox{n=\[\frac{N}{e}\]})
ou ![3$ \rm \fbox{n=\[\frac{N}{e}\]+1}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$ \rm \fbox{n=\[\frac{N}{e}\]+1})
Revenons alors au problème initial où les 
sont des décimaux à un chiffre après la virgule.
Théoriquement on devrait prendre![3$ \rm n=\[\frac{30}{e}\]=11](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$ \rm n=\[\frac{30}{e}\]=11)
et le produit serait ^{11}\approx 62088,9)
Les 11 termes à sommer doivent donc être voisins de e soit 2,7 avec les conditions de l'énoncé.
D'où la décomposition optimale
Supplément
Merci pour l'énigme très instructive !
infophile infophileBonjour Citation :
La décomposition qui donne le produit maximal est :
à savoir ^8.(2,8)^3\approx 61 998,9)
La décomposition qui donne le produit maximal est :
Traitons le cas general, on se donne un entier
Soit
Citation :
Lemme 1 : On a![3$ \rm \forall i\in \mathbb{[}1,n\mathbb{]}, 1\le a_i\le 4](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$ \rm \forall i\in \mathbb{[}1,n\mathbb{]}, 1\le a_i\le 4)
Lemme 1 : On a
Preuve :
Raisonnons par l'absurde et supposons que
On pourrait alors écrire
La décomposition s'écrirait
Et le produit associé :
Donc
Et
On aurait donc
Remarque : Si un
Citation :
Lemme 2 : La décomposition
rend le produit optimal si et seulement si 
.
Lemme 2 : La décomposition
Preuve :
Quitte à réindexer on peut supposer
Ecrivons alors
Et donc
D'où
On en déduit alors
Ecrivons alors
On obtient :
Le binôme de Newton donne le signe de l'expression, on a de nouveau :
Par récurrence forte ces deux points démontre que
Cherchons la valeur de
Pour cela considérons la fonction
On dérive cette fonction :
Le facteur étant strictement positif le signe dépend des crochets, et on a clairement un maximum pour
Et donc on choisit
Théoriquement on devrait prendre
Les 11 termes à sommer doivent donc être voisins de e soit 2,7 avec les conditions de l'énoncé.
D'où la décomposition optimale
Citation :
Je me suis amuse à résoudre le sudoku en image :
Je me suis amuse à résoudre le sudoku en image :
Merci pour l'énigme très instructive !
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 08-07-08 à 08:33
Posté le 08-07-08 à 08:33Posté par plumemeteore plumemeteore
bonjour
2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.8 * 2.8 * 2.8
= 2.78 * 2.8³ = 61998,93184830912
le produit de termes de même somme en même nombre est maximal quand ces termes sont égaux
le produit de termes de même somme est maximal quand ces termes sont égaux et se rapprochent le plus de e
analogie
parmi les polygones de même nombre de côtés et de même périmètre, le plus grand est le polygone régulier
le cercle est la plus grande des figures de même périmètre
plumemeteore plumemeteorebonjour2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.8 * 2.8 * 2.8
= 2.78 * 2.8³ = 61998,93184830912
le produit de termes de même somme en même nombre est maximal quand ces termes sont égaux
le produit de termes de même somme est maximal quand ces termes sont égaux et se rapprochent le plus de e
analogie
parmi les polygones de même nombre de côtés et de même périmètre, le plus grand est le polygone régulier
le cercle est la plus grande des figures de même périmètre
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 08-07-08 à 11:51
Posté le 08-07-08 à 11:51Posté par gloubi gloubi
Bonjour,
La décomposition suivante me semble donner le produit le plus élevé:
30 = 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,8 + 2,8 + 2,8
et 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,8 x 2,8 x 2,8 61998,9318
où 2,7 et 2,8 sont les décimaux à un chiffre après la virgule qui encadrent le mieux «e», la base des logarithmes népériens.
Pour un entier N quelconque, il faut utiliser E(N/e) termes tous égaux à 2,7 ou 2,8 ... je crois
gloubi gloubiBonjour,La décomposition suivante me semble donner le produit le plus élevé:
30 = 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,8 + 2,8 + 2,8
et 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,8 x 2,8 x 2,8
61998,9318où 2,7 et 2,8 sont les décimaux à un chiffre après la virgule qui encadrent le mieux «e», la base des logarithmes népériens.
Pour un entier N quelconque, il faut utiliser E(N/e) termes tous égaux à 2,7 ou 2,8 ... je crois
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 08-07-08 à 11:53
Posté le 08-07-08 à 11:53Posté par kiko21 kiko21
Bonjour,
la décomposition qui donne le produit maximal est à mon avis :
2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,8+2,8+2,8=8*2,7+3*2,8=30
2,7*2,7*2,7*2,7*2,7*2,7*2,7*2,7*2,8*2,8*2,8=(2,7)8+(2,8)3=3061998,9
On verra bien....
Merci et à +, KiKo21.
kiko21 kiko21Bonjour,la décomposition qui donne le produit maximal est à mon avis :
2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,8+2,8+2,8=8*2,7+3*2,8=30
2,7*2,7*2,7*2,7*2,7*2,7*2,7*2,7*2,8*2,8*2,8=(2,7)8+(2,8)3=30
61998,9On verra bien....
Merci et à +, KiKo21.
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 08-07-08 à 16:02
Posté le 08-07-08 à 16:02Posté par TiT126 TiT126
Salut,
Pas facile ce genre d'énigme...On ne sait pas trop par ou commencer.
J'ai donc imposer pour avoir une idée de la solution que tout les nombre de la somme devaient être égaux.
J'ai donc étudié la fonction = x^{\frac{30}{x}})
J'ai trouvé que elle possédait un maximum pour x = e
J'ai l'impression que e30/e = 62092.67 est la valeur maximale que l'on peut atteindre même en considérant que les chiffres peuvent êtres différant.
Cependant il reste des problèmes : e à plus d'un chiffre après la virgule, pour cela nous allons prendre le décimale le plus proche de e : 2.7
Ensuite 30 n'est pas divisible par 2.7, il faut donc essayer de trouver 30 avec une somme de chiffres les plus proches possibles de 2.7
Voila ce qui m'amène à cette solution :
Sur les enigmes de ce genre le poisson est plus que probable mais qui ne tente rien n'a rien
TiT126 TiT126Salut,Pas facile ce genre d'énigme...On ne sait pas trop par ou commencer.
J'ai donc imposer pour avoir une idée de la solution que tout les nombre de la somme devaient être égaux.
J'ai donc étudié la fonction
J'ai trouvé que elle possédait un maximum pour x = e
J'ai l'impression que e30/e = 62092.67 est la valeur maximale que l'on peut atteindre même en considérant que les chiffres peuvent êtres différant.
Cependant il reste des problèmes : e à plus d'un chiffre après la virgule, pour cela nous allons prendre le décimale le plus proche de e : 2.7
Ensuite 30 n'est pas divisible par 2.7, il faut donc essayer de trouver 30 avec une somme de chiffres les plus proches possibles de 2.7
Voila ce qui m'amène à cette solution :
Sur les enigmes de ce genre le poisson est plus que probable mais qui ne tente rien n'a rien
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 08-07-08 à 18:40
Posté le 08-07-08 à 18:40Posté par ThierryMasula ThierryMasula
Bonsoir jamo,
Etape 1: On divise 30 par e :
. Il faudra décomposer 30 en 11 termes.
Etape 2: On divise 30 par 11:
.
Puisque les termes ne peuvent avoir qu'un chiffre après la virgule, on décompose donc 30 en une somme de termes égaux à 2,7 (8x) et 2,8 (3x).
Solution :
et 
PS 1 : Avec tout autre nombre, comme on l'a fait pour 30, il faut décomposer en une somme dont les termes sont le plus proche de e.
Jolie petite énigme, merci.
ThierryMasula ThierryMasulaBonsoir jamo,Etape 1: On divise 30 par e :
Etape 2: On divise 30 par 11:
Puisque les termes ne peuvent avoir qu'un chiffre après la virgule, on décompose donc 30 en une somme de termes égaux à 2,7 (8x) et 2,8 (3x).
Solution :
PS 1 : Avec tout autre nombre, comme on l'a fait pour 30, il faut décomposer en une somme dont les termes sont le plus proche de e.
Jolie petite énigme, merci.
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 09-07-08 à 17:40
Posté le 09-07-08 à 17:40Posté par dhalte dhalte
Bonjour
Produit maximal d'une suite de décimaux positifs de précision maximale et de somme > 1 données
Somme 30
Précision 0,1
1) il y a au moins un décimal dans la suite
La somme est positive.
2) il y a au moins un décimal supérieur à 1 dans la suite
Le produit d'une suite de décimaux positifs < 1 est < 1
3) Soit S1 une suite donnée, et a>1. S'il existe b<a-0,1, alors
la suite S2 obtenue en remplaçant a par a-0,1 et b par b+0,1 est meilleure que S1
(a-0,1)(b+0,1)=ab+(a-b)0,1-0,01
or a-b>0,1, donc (a-b)0,1-0,01>0
(a-0,1)(b+0,1)>ab
Pour un nombre n de termes donné, la suite constituée de termes dont la différence est 0 ou 0,1 est donc la meilleure
Calcul du terme inférieur : le décimal de précision donnée le plus grand inférieur ou égal au rapportsomme / nombre de termes
Calcul du nombre de termes supérieurs : (somme-nbTermes*b)/précision
Le produit maximal est atteint quand il y a 8*2.7 et 3*2.8. Ce maximum est alors 2.7^8*2.8^3=61998.93184830912
dhalte dhalteBonjourProduit maximal d'une suite de décimaux positifs de précision maximale et de somme > 1 données
Somme 30
Précision 0,1
1) il y a au moins un décimal dans la suite
La somme est positive.
2) il y a au moins un décimal supérieur à 1 dans la suite
Le produit d'une suite de décimaux positifs < 1 est < 1
3) Soit S1 une suite donnée, et a>1. S'il existe b<a-0,1, alors
la suite S2 obtenue en remplaçant a par a-0,1 et b par b+0,1 est meilleure que S1
(a-0,1)(b+0,1)=ab+(a-b)0,1-0,01
or a-b>0,1, donc (a-b)0,1-0,01>0
(a-0,1)(b+0,1)>ab
Pour un nombre n de termes donné, la suite constituée de termes dont la différence est 0 ou 0,1 est donc la meilleure
Calcul du terme inférieur : le décimal de précision donnée le plus grand inférieur ou égal au rapportsomme / nombre de termes
Calcul du nombre de termes supérieurs : (somme-nbTermes*b)/précision
Le produit maximal est atteint quand il y a 8*2.7 et 3*2.8. Ce maximum est alors 2.7^8*2.8^3=61998.93184830912
Ma réponse Posté le 09-07-08 à 19:11
Posté le 09-07-08 à 19:11Posté par thiblepri thiblepri
Bonjour,
Je pense que l'optimum est en :
61998,9318483091
C'est à dire pour:
*
Car, en effet: 2.7*8+2.8*3=30
thiblepri thiblepriBonjour,Je pense que l'optimum est en :
61998,9318483091
C'est à dire pour:
Car, en effet: 2.7*8+2.8*3=30
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 11-07-08 à 02:38
Posté le 11-07-08 à 02:38Posté par Fractal Fractal
Bonjour
La décomposition
me donne 
, et il s'agit, sauf erreur, de la solution optimale
Fractal
Fractal FractalBonjour La décomposition
Fractal
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 13-07-08 à 09:54
Posté le 13-07-08 à 09:54Posté par karatetiger karatetiger
alors je dirais 2,7x11+2,8x3=30 et donc 2,78x2,83= environ 61998,93
karatetiger karatetigeralors je dirais 2,7x11+2,8x3=30 et donc 2,78x2,83= environ 61998,93slt tt le monde Posté le 13-07-08 à 13:47
Posté le 13-07-08 à 13:47Posté par clmb clmb
Je décompose 30
1,1 + 2,2 + 3,3 + 5,4 + 7,6 + 10,4 = 30
Je fais le produit
1,1 * 2,2 * 3,3 * 5,4 * 7,6 * 10,43408,56
clmb clmbJe décompose 301,1 + 2,2 + 3,3 + 5,4 + 7,6 + 10,4 = 30
Je fais le produit
1,1 * 2,2 * 3,3 * 5,4 * 7,6 * 10,4
3408,56re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 14-07-08 à 07:56
Posté le 14-07-08 à 07:56Posté par ITMETIC ITMETIC
D'une façon générale le produit de n nombres de somme donnée S sera maximal quand tous les termes seront égaux. Chaque nombre vaut alors S/n et le produit (S/n)n.
Pour S=30 la valeur sera maximale pour n=11. Chaque terme vaut à ce moment 30/11=2.7272... et le produit vaut 62088,9428...
Mais ici on impose que les nombres de la décomposition soient des décimaux à un seul chiffre après la virgule
Pour que le total soit 30 il faudra prendre 3 nombres à 2.8 et 8 nombres à 2.7
Le produit total sera alors de
2.8
2.82.82.72.72.72.72.72.72.72.7=61988.9318...
ITMETIC ITMETICD'une façon générale le produit de n nombres de somme donnée S sera maximal quand tous les termes seront égaux. Chaque nombre vaut alors S/n et le produit (S/n)n.Pour S=30 la valeur sera maximale pour n=11. Chaque terme vaut à ce moment 30/11=2.7272... et le produit vaut 62088,9428...
Mais ici on impose que les nombres de la décomposition soient des décimaux à un seul chiffre après la virgule
Pour que le total soit 30 il faudra prendre 3 nombres à 2.8 et 8 nombres à 2.7
Le produit total sera alors de
2.8
2.82.82.72.72.72.72.72.72.72.7=61988.9318...Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 14-07-08 à 21:53
Posté le 14-07-08 à 21:53Posté par geronimo 652 geronimo 652
Bonsoir, même le 14 juillet les maths sont au rendez-vous!
je pense avoir trouvé...Pour avoir le plus grand produit, je pense qu'il faut décomposer le nombre 30 avec le plus de nombre avoisinant... 2! En effet, décomposer le nombre 30 par 0 ou 1 serait stupide car le produit serait un petit nombre...
Par conséquent, je me suis arrangé à décomposer le nombre 30 avec des nombres dont la moyenne est 2.
Donc voici mon résultat:
1,9+2,1+1.8+2,2+1,7+2,3+1,6+2,4+1,5+2,5+1,4+2,6+1,3+2,7+2=30
et le produit de tout ça donne 22 732,4
Dommage qu'il fallait une virgule sinon ça donnait 215=32 768
espérons que ce soit juste... sinon merci pour cette énigme et @ +
geronimo 652 geronimo 652Bonsoir, même le 14 juillet les maths sont au rendez-vous!je pense avoir trouvé...Pour avoir le plus grand produit, je pense qu'il faut décomposer le nombre 30 avec le plus de nombre avoisinant... 2! En effet, décomposer le nombre 30 par 0 ou 1 serait stupide car le produit serait un petit nombre...
Par conséquent, je me suis arrangé à décomposer le nombre 30 avec des nombres dont la moyenne est 2.
Donc voici mon résultat:
1,9+2,1+1.8+2,2+1,7+2,3+1,6+2,4+1,5+2,5+1,4+2,6+1,3+2,7+2=30
et le produit de tout ça donne 22 732,4
Dommage qu'il fallait une virgule sinon ça donnait 215=32 768
espérons que ce soit juste... sinon merci pour cette énigme et @ +
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 15-07-08 à 08:53
Posté le 15-07-08 à 08:53Posté par xtasx xtasx
Bonjour,
Je ne suis pas du tout certain, mais voici quand même ma réponse:
, et
Merci !
xtasx xtasxBonjour,Je ne suis pas du tout certain, mais voici quand même ma réponse:
Merci !
Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 15-07-08 à 11:09
Posté le 15-07-08 à 11:09Posté par geronimo 652 geronimo 652
rebonjour,
ah non... la grosse gaffe!
je trouvais plus, toujours en décomposant avec 2 mais de cette façon:
2*2,1*2,2*2,3*2,4*2,5*2,6*2,7*2,8*2,9*1,9*3,6= 49 716,5
mais vu que j'ai déjà répondu, c'est perdu!
Ne pas confondre vitesse et précipitation
geronimo 652 geronimo 652rebonjour,ah non... la grosse gaffe!
je trouvais plus, toujours en décomposant avec 2 mais de cette façon:
2*2,1*2,2*2,3*2,4*2,5*2,6*2,7*2,8*2,9*1,9*3,6= 49 716,5
mais vu que j'ai déjà répondu, c'est perdu!
Ne pas confondre vitesse et précipitation
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 15-07-08 à 20:12
Posté le 15-07-08 à 20:12Posté par wiat wiat
Coucou!
Je prends 8 fois le nombre 2,7 et 3 fois le nombre 2,8.
Le résultat obtenu est donc 2,7^8*2,8^3, soit environ 61998,9.
L'idée est qu'il faut minimiser l'écart entre les nombres choisis. Si l'on prend toujours le même nombre x=30/z, le résultat est x^z=(30/z)^z, qui est maximal quand z=30/e. Or 30/e est compris entre 11 et 12.
Si on choisit 11, on trouve x entre 2,7 et 2,8, et donc, pour obtenir 30, il faut sommer 8 fois 2,7 et 3 fois 2,8. On vérifie qu'en prenant z=12 on obtient un plus petit produit.
La méthode se généralise donc à tout autre nombre que 30.
wiat wiatCoucou!Je prends 8 fois le nombre 2,7 et 3 fois le nombre 2,8.
Le résultat obtenu est donc 2,7^8*2,8^3, soit environ 61998,9.
L'idée est qu'il faut minimiser l'écart entre les nombres choisis. Si l'on prend toujours le même nombre x=30/z, le résultat est x^z=(30/z)^z, qui est maximal quand z=30/e. Or 30/e est compris entre 11 et 12.
Si on choisit 11, on trouve x entre 2,7 et 2,8, et donc, pour obtenir 30, il faut sommer 8 fois 2,7 et 3 fois 2,8. On vérifie qu'en prenant z=12 on obtient un plus petit produit.
La méthode se généralise donc à tout autre nombre que 30.
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 17-07-08 à 22:34
Posté le 17-07-08 à 22:34Posté par veleda veleda
bonsoir jamo
je propose la décomposition du nombre 30 en la somme de 12 nombres décimaux égaux à 2,5
le produit des éléments de cette somme est 59604,64478
merci pour cet enigmo
veleda veledabonsoir jamoje propose la décomposition du nombre 30 en la somme de 12 nombres décimaux égaux à 2,5
le produit des éléments de cette somme est 59604,64478
merci pour cet enigmo
enigmo43 Posté le 19-07-08 à 17:03
Posté le 19-07-08 à 17:03Posté par Poldenys Poldenys
11 termes dont 8 égaux à 2.7 et 3 égaux à 2.8
produit obtenu voisin de 61998.93
Poldenys Poldenys11 termes dont 8 égaux à 2.7 et 3 égaux à 2.8produit obtenu voisin de 61998.93
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 21-07-08 à 20:21
Posté le 21-07-08 à 20:21Posté par matovitch matovitch
Bonjour !
Je sens le piège, mais je dirais 2,5*12 = 30 et 2,512 = 59604,644775...
matovitch matovitchBonjour !Je sens le piège, mais je dirais 2,5*12 = 30 et 2,512 = 59604,644775...
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 22-07-08 à 13:48
Posté le 22-07-08 à 13:48Posté par yoyodada yoyodada
sans conviction du tout, mais bon je tente le coup quand même:
30 = 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.8 + 2.8 + 2.8
et 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.8 * 2.8 * 2.8 = 61998.93185
C'est le produit max que j'ai trouvé !
yoyodada yoyodadasans conviction du tout, mais bon je tente le coup quand même:30 = 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.8 + 2.8 + 2.8
et 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.8 * 2.8 * 2.8 = 61998.93185
C'est le produit max que j'ai trouvé !
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 22-07-08 à 16:06
Posté le 22-07-08 à 16:06Posté par alexandros alexandros
2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5=30
2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5=59604.64478
alexandros alexandros2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5=302.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5=59604.64478
Enigmo 43 Posté le 23-07-08 à 00:28
Posté le 23-07-08 à 00:28Posté par jarod128 jarod128
Bonjour,
voilà ma proposition:
on montre facilement que le produit recherché est majoré par e^(30/e) environ 62092,67.
Je propose: 30=2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,8+2,8+2,8
et le produit vaut 2,7^8x2,8^3 environ 61998,93 très proche du majorant.
Merci
jarod128 jarod128Bonjour,voilà ma proposition:
on montre facilement que le produit recherché est majoré par e^(30/e) environ 62092,67.
Je propose: 30=2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,8+2,8+2,8
et le produit vaut 2,7^8x2,8^3 environ 61998,93 très proche du majorant.
Merci
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 23-07-08 à 11:53
Posté le 23-07-08 à 11:53Posté par davidh davidh
Bonjour,
je propose une décomposition en 11 termes : 8 fois 2,7 et 3 fois 2,8
2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,8 * 2,8 * 2,8 61998,9
voilà un problème original
davidh davidhBonjour,je propose une décomposition en 11 termes : 8 fois 2,7 et 3 fois 2,8
2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,8 * 2,8 * 2,8
61998,9voilà un problème original
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 23-07-08 à 20:48
Posté le 23-07-08 à 20:48Posté par ben314-2 ben314-2
Pour maximiser le produit en gardant une somme constante, il faut avoir des termes égaux. Il n'y a donc qu'à maximiser (30/n)^n, et on arrive finalement à n=e.
D'où je dirais 11 termes, 8 à 2,7, 3 à 2,8 après bidouillage, soit un produit de 61998,9.
ben314-2 ben314-2Pour maximiser le produit en gardant une somme constante, il faut avoir des termes égaux. Il n'y a donc qu'à maximiser (30/n)^n, et on arrive finalement à n=e.D'où je dirais 11 termes, 8 à 2,7, 3 à 2,8 après bidouillage, soit un produit de 61998,9.
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 24-07-08 à 11:34
Posté le 24-07-08 à 11:34Posté par jamo jamo
Clôture de l'énigme
Je m'attendais à un taux de réussite moins important, alors bravo à toux ceux qui ont réussi et ont même proposé des démonstrations.
En effet, le principe général consiste à décomposer le nombre avec des nombres le plus proche possible de e.
Ainsi, avec des décimaux à 1 chiffre après la virgule, il faut mettre un maximum de 2,7 puis s'arranger un peu sur la fin avec ce qui reste.
Si j'avais imposé des entiers, il faut mettre un maximum de 3, et des 2 avec ce qui reste éventuellement.
D'ailleurs, ce petit jeu est utilisable dès les plus petites classes (en imposant des nombres entiers bien entendu), dès qu'on sait faire des additions et des multiplications.
C'est l'occasion de faire une petite compétition !
Et dans certaines classes, il est possible de faire une ébauche de démonstration en expliquant qu'il vaut mieux mettre des 2 ou des 3 qu'autre chose ...
jamo jamo Clôture de l'énigme
Je m'attendais à un taux de réussite moins important, alors bravo à toux ceux qui ont réussi et ont même proposé des démonstrations.
En effet, le principe général consiste à décomposer le nombre avec des nombres le plus proche possible de e.
Ainsi, avec des décimaux à 1 chiffre après la virgule, il faut mettre un maximum de 2,7 puis s'arranger un peu sur la fin avec ce qui reste.
Si j'avais imposé des entiers, il faut mettre un maximum de 3, et des 2 avec ce qui reste éventuellement.
D'ailleurs, ce petit jeu est utilisable dès les plus petites classes (en imposant des nombres entiers bien entendu), dès qu'on sait faire des additions et des multiplications.
C'est l'occasion de faire une petite compétition !
Et dans certaines classes, il est possible de faire une ébauche de démonstration en expliquant qu'il vaut mieux mettre des 2 ou des 3 qu'autre chose ...
re : Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme Posté le 24-07-08 à 12:06
Posté le 24-07-08 à 12:06Posté par Flo08 Flo08
Bonjour,
J'ai vu mon erreur trop tard en passant ma formule en logarithme... ça m'apprendra à répondre trop vite
Quant au sudoku de l'illustration, je me suis amusée à le résoudre et j'ai trouvé ça :
(Dommage que tu ne l'aies pas proposé en énigmes, ça m'aurait fait un smiley de plus )
Flo08 Flo08Bonjour,J'ai vu mon erreur trop tard en passant ma formule en logarithme... ça m'apprendra à répondre trop vite
Quant au sudoku de l'illustration, je me suis amusée à le résoudre et j'ai trouvé ça :
(Dommage que tu ne l'aies pas proposé en énigmes, ça m'aurait fait un smiley de plus
)Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 4276,19 %23,81 %
Temps de réponse moyen : 127:00:46.
Nombre de participations : 42
76,19 %23,81 %32 
10
10Temps de réponse moyen : 127:00:46.
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