ENIGMA 23 : Rendez-vous à la bicyclette

Posté par monrow monrow

Salut !

Il est midi! Coll, J-P et mikayaou ont un rendez-vous à 15h avec Tom_Pascal qui se situe dans une autre ville.

Ces trois amis doivent se rendre à cette ville qui se situe à 60 km de leur village. Le problème c'est qu'ils ne disposent que d'une belle bicyclette qui ne peut transporter que 2 personnes à la fois et qui a une vitesse moyenne de 50km/h. Sinon n'oublions pas qu'ils ont aussi des pieds qui leur permettent de marcher à 5km/h.

Décrivez le trajet optimal qu'ils peuvent faire pour ne pas rater leur rendez vous. De combien de minutes sont-ils en avance?

Rendez-vous à l'Enigma 24 où on aura n amis ! (je voulais pas introduire la généralisation ici pour laisser la chance à tous les niveaux )

Bon courage !

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour

en appelant D la distance, v la vitesse à pied et w celle à vélo, je trouve un temps total de parcours de :

T = (3w+v)D/(w(3v+w)) = (3*50+5)60/(50(3*5+50)) = 155*60/(50*65) = 186/65 d'heure

l'écart est de 3 - 186/65 = 9/65 d'heure

écart = 8' et 18"

mais peut-être j'mé trompé

le détail plus tard, si j'ai le temps ( ponçage aujourd'hui... )

Posté par mikayaou mikayaou

maintenant, comme je n'ai pas décrit le trajet dans le premier post, le poisson m'attend...mais j'adoooooooore le poisson

------------------------

en appelant A, B et C les 3 personnes, j'ai supposé que :

AetB partaient en vélo jusqu'à y : A dépose B qui continue à pied vers la destination finale
pendant ce temps C a marché jusqu'à x1
A retourne vers C et ils se rejoignent en x
AetC repartent alors en vélo vers la destination finale où ils arrivent en même temps que B

en utilisant les vitesses v (pied) et w (vélo) et la distance D et en écrivant les équations de type d = vt, je trouve un système

2vx - (w+v)y = D(v-w)
(w+v)x = 2vy

soit

x = 2vD/(w+3v)
y = (w+v)D/(w+3v)

et un temps total de (3w+v)D/(w(3v+w))

Maintenant, il se peut aussi que mon raisonnement ne soit pas celui attendu et qu'il y a plus rapide...

merci pour l'énigme monrow

Posté par matovitch matovitch

Bonjour !

Je trouve une avance de 9 minutes 19 secondes 6 centième.
D'où environ 9 minutes d'avance.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

On suppose que les 3 amis arrivent en même temps, ce qui optimise le trajet.
Pour que le trajet soit optimal, il faut qu'il soit symétrique, donc que A parte avec B en moto, le dépose à une distance l de l'arrivée et retourne chercher C qui est parti à pied, et en plus que le point de rencontre soit à l du début.
Comme les trois partent et arrivent en même temps, le temps pour que B ou C marchent est égal au temps d'un aller retour de la moto.
L/5 = (60-l+60-2l)/50, ce qui donne l=120/13 km
Le temps total est égal à (temps de moto qui roule tout le temps) : t= ( 60-l+60-2l+60-l)/50
T=186/65 = 2,8615h
Les amis arriveront en avance de 0,1385 h soit de plus de 8mn 18s.
A déposera B à 9,23 km de la ville et reviendra chercher C qui aura parcouru 9,23 km au moment de leur rencontre, puis repartira vers la ville. Les trois amis partent et arrivent en même temps.

Posté par jver jver

Le petit croquis explique le résultat.
Sauf erreur, je trouve que x0=660/13, distance atteinte par le vélo avec deux passagers au bout d'un temps 66/65
Le vélo laisse son premier passager à x0 et repart chercher le troisième qui a marché jusqu'en x1=120/13 (en 24/13 heures). Le premier et le troisième  repartent pour atteindre la ville en même temps que le second, à pied, à un instant 186/65.
Ils sont en avance de 9/65 d'heure, ce qui doit faire 8 minutes et des poussières.

Bien sûr, on doit pouvoir améliorer le temps si les 4 personnes peuvent se rencontrer ailleurs que dans la ville:
- d'abord, le quatrième peut venir à la rencontre des 3 autres et se retrouver avant l'heure calculée ci-dessus (en changeant x0, bien entendu);
- je n'ai pas fait le calcul, mais le vélo peut également aller chercher le quatrième et le ramener quelque part vers le milieu!

Posté par Flo08 Flo08

Bonjour,

Coll, J-P et mikayaou partent de la ville A et doivent rejoindre en trois heures maximum la ville B située à 60 km. Pour ce faire, ils disposent d'une bicyclette, que le chef-ingénieur J-P a équipé d'un moteur électrique de son invention pour qu'elle puisse transporter 2 personnes à 50 km/h .
Coll se met en route à midi pile avec ladite bicyclette et J-P comme passager. Il dépose J-P à x km de la ville B et fait demi-tour pour récupérer Mikayaou, qui, au moment où il le rejoint, a parcouru x km à pied. Tous deux se dirigent ensuite vers la ville B, où ils arrivent en même temps que J-P qui a continué à pied.
La figure ci-dessous schématise le trajet de la bicyclette.



La bicyclette a parcouru à 50 km/h une distance égale à (60 - x) + (60 - 2x) + (60 - x) = 180 - 4x.
J-P et Mikayaou ont parcouru la distance x à 5 km/h et la distance (60 - x) à 50 km/h.
On note t le temps mis par les trois amis pour arriver à destination.
On a donc :
t = (180 - 4x)/50
t = x/5 + (60 - x)/50 = (9x + 60)/50
Soit :
180 - 4x = 9x + 60
13x = 120
x = 120/13 9,23 km.

En remplaçant x par sa valeur dans l'équation t = (9x + 60)/50, on trouve
t 2h 51 mn 41,5 s.

Coll, J-P et mikayaou arrivent donc à leur rendez-vous avec  un peu plus de 8 minutes d'avance

Posté par evariste evariste

X part à pied et Y et Z partent en vélo à midi de la ville A
Y dépose Z à 9,231 km de la ville B , Z fini à pied tandis que Y revient chercher X qu'il retrouve à 9,231 Km de A. Y emmène ensuite X  jusqu'à la ville B où ils arrivent tous les trois ensemble à 14h 51' 42 ''.
Ils ont donc 8' 18'' d'avance à leur rendez-vous.

Posté par link224 link224

Salut monrow!

Le trajet optimal se déroulera comme ceci :
On va dire que Coll et MKY montent sur le vélo au départ et roulent. Pendant ce temps, JP démarre le trajet à pied.
Au bout de de vélo, Coll dépose MKY qui finit le trajet à pied.
Coll fait demi-tour avec son vélo jusqu'à croiser JP. Ce dernier monte sur la bicyclette et nos 2 mathiliens finissent le trajet jusqu'à chez Tom_Pascal, et arriveront en même temps que MKY.

Le trajet aura donc duré , ce qui nous donne 2h51min41sec538miilièmes (en arrondissant au millième). Les invités ont donc environ 8min18sec d'avance, en arrondissant à la seconde.

(J'ai mis les valeurs exactes afin d'éviter toute erreur relative à un quelconque arrondi, non précisé dans l'énoncé)

@+ et merci pour l'énigme.

Posté par lo5707 lo5707

bonjour,

_{ça aussi je l'avais donné en JFF décidément}

Bon, étant un peu fainéant sur ce coup-là, je recopie ma solution:

Il faut toujours au moins une personne sur le vélo, admettons que ce soit toujours la même.
Pour optimiser le trajet, il faut que:
* les trois personnes arrivent en même temps.
* les deux personnes "semi-piétonnes" font les même distances à pied et à moto.

Soit x, la distance parcourue à pied par Coll et J-P
La distance parcourue à vélo par mika est de

Comme ils arrivent en même temps, on a l'équation suivante:

(à gauche, la durée du trajet de Coll et J-P, à droite, celle de mika)

On a

la durée totale vaut:

Ils vont donc mettre environ 2h51' et auront 9 minutes d'avance.


Merci pour l'énigme.

Posté par lo5707 lo5707

A noter la remarque de mika:

Posté par kioups kioups

Coll et JP partent en vélo, mika part à pied.

Après environ 55,082 km, Coll repart dans l'autre sens avec le vélo chercher mika alors que JP continue à pied. Les 3 compères arrivent finalement en même temps au bout de 2h 5 minutes et entre 6 et 7 secondes.

Ils ont donc un peu moins de 55 minutes d'avance.

En gros, à part le "conducteur" du vélo, les deux autres ont passé chacun le même temps à pied et à vélo.

Posté par malice904 malice904

bonjour!!

le meilleur conseil que je puisse leur donner, c'est de faire le trajet en 3 fois: à midi, Coll (qu'on appellera C) part avec JP en velo. Mikayaou (qu'on appellera M) part à pied, désolée...

à 13h12, C dépose JP dans l'autre ville et fait demi-tour. JP a donc 2h48 d'avance, il s'arrête au café d'en face et attend ses compagnons.

aprés un peu plus de 45 km C rencontre M qui monte sur le velo (M l'avait vu arriver de loin, ce qui m'autorise à négliger la vitesse de réaction)

M et C arrivent avec seulement quelques secondes de retard, soit zero minutes d'avance.

Merci pour l'enigme je me suis amusée, et j'espère vous aussi

Je viens juste d'y penser: C aurait pu déposer JP avant la ville, le laisser continuer et faire demi tour à ce moment là!

j'ai pas envie de recommencer bonne chance à tous

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

pour déterminer le trajet optimal, il faut trouver un trajet sans perte, c'est à dire, un trajet où les 3 membres arrivent simultanément.
On peut alors raisonner sur les distances, en découpant les trajets en 3 étapes.
Etape1: (pendant un temps t1)
Deux partent en vélo tandis que le troisième marche à pied.
Etape2: (pendant un temps t2)
L'un revient à vélo chercher celui qui marche tandis que l'autre fini le trajet à pied.
Etape3: (pendant un temps t3)
Les deux retardataires finissent à vélo et rattrape celui qui marchait sur la ligne d'arrivée.

_{(on peut imaginer d'autres passations du vélo mais, de toutes façons, il y aura des retours en arrière... et en les additionnant cela reviendrait au cas ci-dessus)}

En raisonnant avec ces 3 étapes sur les distances, on obtient 3 équations (une par membre):
  5t1+5t2+50t3=60
  50t1-50t2+50t3=60
  50t1+5t2+5t3=60
Le système admet une unique solution t1=t3= et t2=.
^{(on remarque au passage un résultat prévisible: Deux membres font nécessairement la même distance à vélo et à pied, donc mettent exactement le même temps)}
La durée totale est t=t1+t2+t3=.

Reste à convertir cette fraction d'heure et la soustraire de 3, ce qui donne environ 8 minutes d'avance (8min18s46"... ou h).

Merci pour l'énigme _{et rendez-vous pour la suite à la généralisation} !

Posté par manpower manpower

PS: En période de tour de France, j'en profite pour signaler que 50km/h à deux sur un vélo...
je crois que Coll, J-P et mikayaou ne passeraient pas le contrôle anti-dopage !!

Posté par infophile infophile

Bonjour



Démonstration

Tout d'abord on remarque que pour avoir le meilleur temps de parcours il faut nécessairement que nos 3 amis arrivent ensemble chez Tom_Pascal.

Afin d'optimiser la durée du trajet, un des trois compères - disons mikayaou - restera tout au long du trajet à bicyclette, quant à Coll et J-P ils parcourront la même distance à bicyclette et à pied.

Le parcours qui me semble le plus naturel et efficace est celui-ci : On note le point de départ et la maison de Tom_Pascal.





Le but est de déterminer la distance commune parcourue à pied par Coll et J-P pour que le trajet soit réalisé dans les conditions citées.

Etant donné que on peut calculer en fonction de la distance parcourue par mikayaou :

Au premier aller il parcourt , puis quand il repart dans le sens inverse il parcourt ainsi et enfin en terminant son trajet soit au total

Puisqu'ils arrivent en même temps chez Tom_Pascal et qu'on a des vitesses moyennes, à partir de la relation on peut écrire l'équation :



En effet à gauche c'est le temps mis par J-P et Coll qui parcourent km à 50 km/h et km à 5 km/h, qui est égal au temps mis par mikayaou pour parcourir km à 50 km/h.

On en tire que l'on reporte dans l'un des deux membres.

On trouve ainsi .

Numériquement cela donne soit

Nos trois amis sont donc en avance de sur leur heure de rendez-vous.

Remarque : je pense qu'à 50 km/h mikayaou est près pour le tour de France !

Merci pour l'énigme

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

Bonjour,

Pour que le trajet soit optimal, c'est-à-dire que la durée du trajet soit minimale, il faut que la bicyclette emmène les deux premières personnes jusqu'à un certain point A de manière à ce qu'en ramenant la troisième personne (qu'elle est donc repartie chercher), elle arrive à destination en même temps que les deux premières.

Allez, en avant pour la démonstration :

Pour bien comprendre, je joins une image dans laquelle j'ai représenté la situation sur Excel (j'ai fixé arbitrairement une valeur de 1 pour la durée du premier voyage ce qui nous amène à l'abscisse finale du piéton de 59.1818 alors que l'on attend 60).



On a donc les formules suivantes :


Après résolution de ce petit système, et en posant et avec t la durée en heures du premier trajet, on obtient :

d'où

En reportant cette valeur dans un nouveau tableau du même type que le précédent, on obtient :



Pour résumer, la bicyclette emmène A et B durant 66/65 d'heure, pendant que le piéton C marche à pied. La bicyclette dépose alors A et B puis revient chercher C pendant que A et B marchent vers leur destination. Finalement, la bicyclette transportant C arrive à destination en même temps que A et B.
La durée totale écoulée est donc de heures soit minutes. Ayant trois heures pour arriver (180 minutes), ils arrivent donc avec une avance de : (soit environ 8 minutes et 18 secondes)

Voilà sauf erreur de ma part
Merci pour l'énigme

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour
je pense qu'il y a un pilote permanent qui véhicule un passager, le dépose à un endroit à calculer et va rechercher l'autre de sorte que les deux paasagers marchent la même distance
soit d cette distance
pendant la marche du futur deuxième passager, le pilote parcourt 60-d vers l'avant et 60-2d vers l'arrière, soit 120-3d
comme le pilote va dix fois plus vite que le piéton : 120-3d = 10d; 120 = 13d; d = 120/13
le pilote parcourt 60 - 120/13  = 660/13 = 50,769 km dépose son passager et retourne à la rencontre de l'autre piéton pour le prendre en charge
le pilote aura parcouru 60-d + 60-2d + 60-d = 180-4d = 180 - 480/13 = 1860/13 km
en 1860/650 h
les trois pouvaient arriver après 3 heures = 1950/650 h
ils ont 90/650 h d'avance = 8 minutes d'avance (plus 18 secondes 46 centièmes)

Posté par Daniel62 Daniel62

ma réponse est: d'heure soit environ 8 minutes 18,46 secondes

le trajet est parcouru en 3 étapes.
soit C, J et M les 3 participants

étape 1:
pendant un temps t1:  C part à pied tandis que J et M partent en bicyclette.
C parcourt
J et M parcourent
     en un temps t1
     la distance parcourue par J est
     la distance parcourue par C est
     la distance parcourue par M est

étape 2:
pendant un temps t2:  C continue à pied, J retourne en direction de C, M continue à pied
la distance séparant C de J est alors de
à remarquer que J va 10 fois plus vite que C
pendant que J parcourt 10, C parcourt 1 soit les
C parcourt
J parcourt
M parcourt
     en un temps t2 =  
     la distance parcourue par J est
     la distance parcourue par C est
     la distance parcourue par M est

étape 3:
J et C repartent ensemble en bicyclette en direction de la ville B
M continue toujours à pied, il lui reste une distance d à parcourir pour arriver à B
pour J et C il reste à parcourir
à noter que la distance entre C et M est constante puisqu'ils avancent à la même vitesse.
on a d=5xt3 et 45xt1+d=50xt3
d'où on tire:
     en un temps t3 =  t1
     la distance parcourue par J est
     la distance parcourue par C est
     la distance parcourue par M est

récapitulons:
total des temps = t1 + + t1 =

distance parcourue par C: + + soit

distance parcourue par M: + + soit

distance parcourue par J: - + soit

vitesse moyenne =

pour parcourir 60km il faudra un temps de soit 2h51m41s

Posté par rogerd rogerd

Bonjour Monrow et merci.

Sur le dessin joint,représentant les horaires (distances parcourues en fonction du temps), le trajet du vélo apparaît en jaune, celui du piéton en violet.

mika met coll sur le porte-bagage et le dépose un peu plus loin, à l'instant  t1 (point A).
coll continue à pied tandis que mika revient chercher J-P qui a commencé à pied.
Il le récupère à l'instant 20t1/11 (équation très simple donnant lepoint B)
Ils repartent en vélo et rattrapent coll à l'instant 31t1/11 (autre équation simple donnant le point C).
Les horaires dessinent un quadrilatère OBCA qui est en fait un parallélogramme car les côtés opposés sont parallèles.
Quand les trois amis se retrouvent en C, on se retrouve dans les conditions initiales. C'est donc reparti pour de nouveaux parallélogrammes.
Sur mon dessin, j'en ai représenté 3. En fait, le troisième est inachevé, la barre des 60 km ayant été franchie, d'abord par le piéton, ensuite par le vélo.
C'est bien sûr le temps mis par le dernier arrivé qui doit être pris en compte.
On voit que quel que soit la stratégie adoptée, la vitesse moyenne du dernier arrivé est inférieure à la pente de la droite OC,
La meilleure stratégie est donc celle où la vitesse moyenne est la pente de OC.
Il est possible de l'obtenir, par exemple en choisissant t1 de sorte que quand  mika rattrape coll, il ait fait exactement les 60 km (le point C est à la barre des 60 km et il n'y a donc qu'un seul parallélogramme).
On trouve t1=66/65 (en heures), ce qui conduit à une durée totale du trajet de    2 heures 51 minutes 42 secondes.

Ils auront donc un peu plus de 8 minutes d'avance.

Pour résumer le trajet optimal:

mika met coll sur le porte bagage, le dépose à un instant bien choisi et revient au devant de JP (qui a commencé à pied) alors que coll continue à pied. Ayant récupéré JP, il repart à la poursuite de coll et le rejoint devant chez Tom

Posté par kioups kioups

Bon, je me suis planté dans mes calculs...

Le conducteur du vélo fait demi-tour entre le km 50.769 et 50.77. Et les trois compères arrivent en même temps au bout de 2h51 minutes et une bonne 40 de secondes. Ils ont donc moins de 9 minutes d'avance !

Posté par Eric1 Eric1

Une personne part à pied en direction de la ville. Les deux autres partent à bicyclette. Des deux, un laisse l'autre dans un endroit assez proche de l'arrivée pour qu'il finisse le trajet à pied. Pendant ce temps, celui restant à bicyclette repart en arrière chercher le premier, et dès qu'ils se rencontrent, ils repartent dans le bon sens pour arriver en même temps que le troisième.


Soit x2 le temps passé depuis midi où quelqu'un est déposé de la bicyclette
Et x1 le temps où les 2 autres se rencontrent

Et X le temps total...

Donc on a 3 équations à 3 inconnues:
5x1+50(X-x1)=60
50x2+5(X-x2)=60
x1=(100/55)x2

Ce qui donne: X=372/130
x2=(12-372/130)/9
x1=(20/11)x2

Donc le temps passé depuis midi est de  2,86153846 heures

Ils sont donc arrivés 8.30769231 minutes, soit 8 minutes et 46 secondes en avance

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Tout d'abord, une petite image:



Appelons A,B et C nos trois compères.

Le vélo va dix fois plus vite que les piétons.

Lorsque C, à pied, a parcouru la distance d, A et B, à vélo ont parcouru 10d.

A dépose B, et revient vers C. A et C sont alors à 9d l'un de l'autre. A parcourt donc les 10/11èmes de cette distance, soit 90d/11,
pendant que C parcours le 11/ème, soit 9d/11, B parcourant dans le même temps la distance 9d/11.

Lorsque A rejoint C, ils se trouvent alors à 90d/11 + 9d/11 = 99d/11 de B.
A ce moment, C est à une distance x de l'arrivée, et A et C à une distance 10x de l'arrivée,
avec 10x-x = 90d/11+9d/11 (voir shéma)
Donc 9x = 99d/11, soit x = d.
Distance à parcourir par A et C à vélo: 10x = 10d. A,B et C arrivent alors en même temps.

Distance totale parcourue par le vélo:
10d+90d/11+10d = 310d/11
Distance entre les deux villes: 10d+9d/11+d (voir shéma) = 60 km.
D'où 130d/11 = 60 km.

La distance parcourue par le vélo est donc (310d/11)/(130d/11)*60 km à 50 km/h,
ce qui représente un temps de 31/13*60/50 heures = 31/13*60/50*60 minutes,
soit environ 171 mn et 41,5 s.
Le temps de roulage du vélo représentant la durée totale du voyage,
A,B,C disposant de 180 minutes arrivent donc environ huit minutes en avance.

Je ne pense pas qu'il y ait plus rapide.

_{Ca me rappelle une certaine histoire de bananes à amener au marché}

A+,
gloubi

Posté par piepalm piepalm

On va présenter une solution qui permettra ensuite la généralisation.
Pour transporter tout le monde d'une ville à l'autre, deux vont prendre place sur la mobylette (car à 50 km/h, si c'est un vélo, bonjour l'EPO!), aller jusqu'à un certain point, déposer le passager qui termine à pied, faire demi-tour pour récupérer le troisième qui s'est avancé à pied, et arriver à destination finale en même temps que le piéton (c'est toujours le même qui conduit, et celui-ci ne rentre pas en compte dans le calcul).
On va donc rebrousser chemin pendant un temps t, et aller de l'avant pendant un temps t+60/50=t+6/5. Quand on rebrousse chemin, deux piétons parcourent 2*5t=10t, et quant on va de l'avant, le piéton parcourt 5t+6, et le passager parcourt 50t+60. Soit un total de 65t+66 qui doit correspondre à la distance totale parcourue par ceux autres que le conducteur, soit 2*60=120; donc t=54/65.
Le temps de parcours total est somme du temps mis pour le parcours vers l'avant, et le parcours à rebours, soit T=2t+1,2=108/65+6/5=186/65=3-9/65.
L'avance au rendez-vous sera donc 9/65 h soit environ 8,3 mn

Posté par geronimo 652 geronimo 652

bonjour,
Même en vacance, la physique est au rendez-vous!
Je ne sais pas si mon raisonnement est bon, enfin essayons tout de même.
voici comment j'ai raisonné:
Ces trois amis partent à midi. Deux d'entre eux vont partir en byciclette. Pour parcourir les 60 km, ils vont metrre 1h 12min. Mais pendant ce temps-là, celui resté seul est parti à pieds en marchant à 5 km.h^-1. En 1h 12min, il parcourt 6km. Des deux à byciclette, un est descendu et l'autre  part chercher son ami parti à pieds. Avec sa byciclette, il doit parcourir 54km (60-6),ce qu'il fait en 1h 05min (plus precisément 1,08). Or durant ce temps l'ami à pieds a continué de marcher. En 1h 05min, il a parcouru 5,4km, parcouru en 7min (soit 0,108) par la byciclette. par conséquent, l'ami en byciclette rejoint donc l'ami à pieds en 58min (soit 0,972). les trois amis arrivent donc à destination en 2h 10min (soit 2,172). Ils ont donc 50 min d'avance, temps durant lequels ils peuvent boire un bon verre... d'eau, évidement.
bon, il n'y a plus qu'à espéré que ce soit juste. Merci pour ce jeu et à +

Posté par dhalte dhalte

Bonjour.

Les trois amis vont mettre au minimum 2h51'41'' pour franchir cette distance. Comme ils avaient 3 heures devant eux, ils arriveront avec 8'19'' d'avance.

Les secondes sont peut-être superflues, la précision du résultat étant largement supérieure à celle du phénomène physique (on ne tient pas compte des temps que le cycliste va mettre à charger/décharger ses passagers, par exemple).

Temps optimal : sera obtenu si les personnes sont constamment en mouvement durant tout le processus.
L'idéal est donc que les trois arrivent tous en même temps.

Vitesse du marcheur : v0, du vélo : v1,
Schéma des différentes étapes du parcours :
0-------1'---2----------------1---2'-----3

p0  : départ du marcheur A et du vélo qui transporte B et C. On pose p0=0
p1  : endroit où le vélo dépose B et repart vers A
t1  : durée du transport de B de p0 à p1
p1' : position du marcheur A quand le vélo dépose B en p1
p2  : position de A quand le vélo le rejoint
t2  : durée du retour du vélo vers A
p2' : position de B quand le vélo rejoint A
p3  : position de B quand le vélo, qui transport A et C le rejoint. C'est aussi l'arrivée.
t3  : durée du transport de A jusqu'à p5.

On cherche à évaluer t1+t2+t3

On remarque tout de suite que, puisque les marcheurs vont à la même vitesse, p2'-p1 = p2-p1'
Ce qui nous donne aussi p2'-p2 = p1-p1'.

Appelons d cette distance : d=p2'-p2=p1-p1'. Elle est utile pour la généralisation.

Equations des différents mouvements :
Première étape
v1t1=p1
v0t1=p1'

Deuxième étape
v1t2=p1-p2
v0t2=p2-p1'
v0t2=p2'-p1

Dernière étape
v1t3=p3-p2
v0t3=p3-p2'

On en tire d=(v0+v1)t2=(v1-v0)t1=(v1-v0)t3, donc t3=t1
Calcul de d :
p3=p2+v1t3=p2+v1t1=p2+v1d/(v1-v0)
p2=p1-v1t2=v1(t1-t2)=v1d(1/(v1-v0)-1/(v1+v0))

Ce qui donne
p3=v1d(2/(v1-v0)-1/(v1+v0)), ce qui permet de calculer 'd'

t1+t2+t3=2t1+t2=d(2/(v1-v0)+1/(v1+v0)), c'est la durée totale du trajet.

Application numérique:
p3=60, v1=50, v0=5

Posté par Nanoo2b Nanoo2b

Bonjour,
Pour optimiser le trajet, Coll et J-P devrait partir en vélo ensemble, pendant que Mikayaou part à pied. Après une 50aine de km (précisément 50km 756m) Coll dépose J-P qui continue à pied, et retourne chercher Mikayaou (qui avait commencé à avancer). Ils se rencontrent à environ 9km 228m du départ puis repartent ensemble en vélo. Ils rejoignent J-P en arrivant à destination après 2h 51min 50sec 4dixièmes, soit avec environ 8min d'avance.

Posté par torio torio

A+
torio

Posté par geronimo 652 geronimo 652

Rebonjour,
pour jusitifier mes calculs, j'ai utilisé v=d/t... comme tout le monde je pense!

Posté par rijks rijks

Hello,
Pour moi le trajet optimal :
t=0 Coll et J-P partent en vélo et mikayaou à pied
t=Alpha Coll dépose J-P sur le chemin et continu à pied tandis que Coll retourne chercher mikayaou
t=Beta Coll prend mikayaou et se rendent au rendez-vous.
t=final Coll,J-P et mikayaou arrivent simultanément au rendez-vous.

J'ai calculé les temps en minute :
Alpha=792/13 min 61min
Beta=1440/13 min 111min
final=2232/13 min 172min

Ils arrivent donc avec une avance de 8min environ. ((180-2232/13)min)

Posté par Florian671 Florian671

Bonjour,

Voici ce que je ferais :

Coll et JP prennent le vélo alors que Mikayayou commence par marcher.

Coll et JP pédalent jusqu'au kilomètre 50 ce qui leur prend :

50/50 = 1 heure

En une heure Mikayayou aura lui fait, 5 km.

Coll reste à la vile d'arrivée alors que JP va chercher Mikayayou. On résout donc l'équation

Soit x le temps en heure

50 - 50x = 5 + 5x
45       = 55x
45/55    = x
9/11     = x

En 9/11 heure Mikayayou aura fait :

5*(9/11) = 45/11 km

Au total il aua fait :

45/11 + 5 = 45/11 + 55/11 = 100/11

Il doivent ensuite faire le chemin retour qui mesure :

60 - 100/11 = 660/11 - 100/11 = 560/11

Il mettront donc :

(560/11)/(50) = (560/11)*(1/50) = 560/550 = 56/55 heure

Au final ils auront mis :

1 + 9/11 + 56/55 = 55/55 + 45/55 + 56/55 = 156/55 170.18 min

Ils arriveront donc environ :

180 - 170.18 = 9.82 minutes avant le rendez-vous.

Il doit être possible de faire plus court mais je n'est pas trouvé mieux

Bonne journée

Florian

Posté par veleda veleda

bonjour,
le trajet n'étant pas réalisable à pied les 3 amis doivent se partager le vélo
voici ce que je propose

     --JP+C--> (50km/h)                --JP-->(5km/h)            
0__________________________________|A(t)____________________|R(t")
                                   .                        .              
                                 <--C--(50km/h) .                        .
______________|B(t')________________                        .
              .                                             .
0--M-->(5km/h).                                             .
______________.                                             .
              .                                             .
              .               --C+M-->(50km/h)                
_____________|______________________________________________|R(t")
_
les  trois amis partent de O à l'instant t=0

*M part courageusement à pieds à 5km/h
*C et JP utilisent le vélo à 50km/h, lorsqu'ils arrivent au temps t(à déterminer) en un point A situé sur la route avant le lieu de rendez vous Cfait demi tour avec le vélo pour aller chercherM
il le rencontre en B au temps t' , ils repartent alors tous les deux à vélo pour rejoindre JPet  le rejoignent au temps t" en R
on a donc
OA=50t=5t'+50(t'-t) => t'=(20/11)t
0R=50t+((t"-t)=5t'+10(t"-t') => t"=t+t'
d'où
t"=(31/11)t
et OR=50t+5t'=50t+(100t)/11=(650/11)t
si l'on peut choisir t pour que OR=60  R est le lieu du rendez vous
0R=60<=>t=(66/65) donc t"=(31/11)(66/65)=(186/65)<3 donc les trois amis seront au rendez vous avant 15h
entre 14h51 et 14h52 donc avec un peu plus de 8 minutes  d'avance(exactement 108/13 de minute)

pour répartir plus équitablement les efforts physiques à fournir on peut scinder le trajet en trois parcours de 20km
les trois amis se retrouvent pour la première fois au temps t₁"=(62/65)en R₁
c'est alors C qui part à pied.....
aprés la seconde rencontre en R₂ c'est JP qui part à pied....
cela ne change pas la durée du parcours total  sauf erreur de ma part bien sûr
merci jamo pour cet enigmo 23 ,je vais essayer de trouver le temps de chercher le 24




            

Posté par xtasx xtasx

Bonjour,

voici ma réponse, en arrondissant au mètre les distances et à la seconde les temps:

le trajet optimal est le suivant:

Deux montent sur le vélo et parcourent pendant que le dernier part en marchant. Un descend alors du vélo et continue en marchant pendant que l'autre revient chercher celui qui marche.

Celui en vélo vient donc récupérer le dernier à du départ. Une fois sur le vélo, ils se dirigent vers l'arrivée, où tous les trois arrivent en même temps.

Le temps de parcours total est de 2h 51min 42sec, ils arrivent donc avec 8 minutes et 18 secondes d'avance.

Merci pour l'énigme !

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

Coll prend le vélo et emmène J-P pendant que Mikayaou part à pied au même instant.
Coll dépose J-P au bout de 660/13 50,77 kms et retourne à la rencontre de Mikayaou. J-P termine à pied les 120/13 9,23 kms.
Coll retrouve Mikayaou après 540/13 41,54 kms en sens inverse, l'embarque sur son vélo et l'emmène à son tour sur 660/13 50,77 kms pour arriver en même temps que J-P au rendez-vous fixé par Tom_Pascal.
La durée du trajet est, en considérant que Coll ne perd pas de temps en débarquant et en embarquant ses passagers, de 1860/(13x50) 2,86154 h soit 2h 51min 41,54sec
En partant à midi, nos trois compères auront 9/65 0,138546 h soit d'avance.

Merci et A+, KiKo21.

P.S. Le plus équitable serait que J-P échange avec Coll sur un tiers de la distance parcourue ensemble à vélo. Idem pour Mikayaou avec Coll. Ainsi chacun des trois compères se reposera sur 1320/39 33,85 kms.
Il faut quand même qu'ils soient sacrément costauds !!!

Posté par 1emeu 1emeu

Bonjour,

voici le trajet que j'ai choisi :
J-P et mikayaou partent à vélo.
J-P dépose mikayaou à 660/13 km (environ 51 km) du départ puis retourne chercher Coll, et va jusqu'à l'arrivée avec lui. Les trois compères arrivent ainsi simultanément.

Ils arrivent ainsi avec 8 minutes d'avance au rendez-vous

C'est le mieux que j'ai trouvé...

Merci pour l'énigme ,

1emeu

Posté par totti1000 totti1000

L'objectif est de trouver le point x, pour que deux des trois amis partent en vélo jusqu'à x, qu'un y soit déposé, l'autre retourne chercher
le 3ème au point de rencontre R, et tous arrivent en meme temps au km 60... d est le point ou arrive celui qui est a pied, au moment ou les deux autres arrivent au point x en vélo...
Par calcul on trouve d = x/10 , puis R = (10x/55) et enfin on arrive à x = 660/13.
On peut alors calculer le temps total du parcours, qui est (186/65) heures, ce qui correspond après arrondi à 2h52min.
D'où une avance d'environ 8 minutes...

Posté par bizbiz bizbiz

Salut,

Je propose le trajet suivant :
Tout d'abord : Coll et Mikayaou partiront à vélo et J-P attendera .
Ensuite : Mikayaou déposera Coll à environ 51 km du départ puis il retournera pour chercher J-P, et ira avec lui jusqu'au lieu du Rendez-vous. (On peu changer le rôle de chaque personne bien sûr)

Ils arrivent avec 8 minutes d'avance ! (Tom_Pascal ne sera certainement pas faché )

(je vais essayer de resoudre la généralisation ! )
Merci .

Posté par ITMETIC ITMETIC

Bonjour,

C part à pied et JP et M sur le vélo.
A x km de l'arrivée JP continue à pied et M revient chercher C (qui a parcouru y km) pour terminer le trajet à vélo

Le temps sera optimal quand M et C arrivent en même temps que JP (on a alors x=y)
JP et C ont fait x km à pied et 60-x en vélo
M aura fait (60-x)+(60-2x)+(60-x)=180-4x en vélo

Les temps de trajets seront de x/5+(60-x)/50 pour JP et C
Et de (180-4x)/50 pour C

Les temps étant égaux on en déduit
x/5+(60-x)/50=(180-4x)/50 qui permet d'obtenir x=120/13=9.2307…km

Le temps de trajet est alors de (180-480/13)50=2.8615…h soit 2h 51 mn et 41 s

Les trois amis arrivent alors avec un peu plus de 8 minutes d'avance

Posté par yoyodada yoyodada

selon moi, les 3 amis doivent faire ainsi:
supposant qu'ils partent de la ville A vers la ville B:

2 d'entre eux, disons Mikayaou et Coll partent à vélo vers la ville B, à une vitesse de 50km/h pendant que JP les suit à pieds.

- le vélo s'arrête au bout d'un temps t0 = 1.0153846 heures : ils ont parcouru 50,76923 kilomètres.  
Coll lache mikayaou et fait demi tour vers la ville A et JP qui les suit à pieds.
Ensuite, mikayaou poursuit à pieds vers la ville B à 5km/h.

Coll récupère JP à t1 = 1,846154 heures, à exactement 9,23077 kilomètres de la ville A.
Coll et JP poursuivent ainsi en vélo jusqu'à B: il leur reste 50,76923 kilomètres qu'ils parcourent à une vitesse de 50 km/h, et mettront donc t = 1,0153846 heures.
Ils arriveront donc à t3 = t1 + t = 2,8615386 heures.

De son côté, mikayaou marche vers B depuis la date t0 = 1.0153846 h, date à laquelle il avait parcouru  50,76923 kilomètres. il parcourera les 9,23077 kilomètres restant à 5km/h et mettra t' = 1,846154 heures.
Il arrivera donc à B à la date t4 = t0 + t' = 2,8615386 heures, soit exactement à la même heure que Coll et JP.

ils arriveront donc à la date 12 + 2,8615386 h =
14 h 51' 42"
ils auront donc 8 minutes et 18 secondes d'avance sur l'heure de leur RDV.

Posté par jarod128 jarod128

Bonjour,
voici ma proposition:
il faut maximiser le temps à 2 sur le vélo.
Les 2 premiers partent en vélo à midi et le troisième à pied. A l'instant t1, le deuxième laisse le premier continuer à pied et revient en arrière avec le vélo chercher le premier. Il le rejoint à l'instant t2. Le premier termine son parcours à pied et arrive en même temps que ses copains qui terminent eux à vélo à l'instant t3.
On obtient alors un système d'équations (attention de bien parler de position et non de distance parcouru pour celui qui est reparti en arrière...)
Sa résolution donne t1=3/5   t2=27/55   et    t3=12/11    en heure.
Donc je propose que Coll et J-P partent en vélo et mikayaou à pied à midi. Puis à 12h36 J-P retourne en arrière avec le vélo chercher mikayaou. Quand il le rejoint, il reprend avec lui le "bon" chemin à vélo. Ils arriveront au rendez-vous en même temps que Coll.
Or t1+t2+t3= 24/11 Environ 130,9 minutes. On en conclut qu'ils mettront moins de 2 heures et 11 minutes et donc qu'ils auront 49 minutes d'avance.
Merci.

Posté par Poldenys Poldenys

les 3 amis démarrent ensemble à midi .Coll part à pied , J-P le "cycliste"emmène Mikayaou comme passager .A l'instant t1 , J-P dépose Mikayaou qui continue à pied et J-P retourne à la rencontre de Coll .A l'instant t2 , J-P rejoint Coll et le prend en charge . A l'instant t3 les 3 amis  arrivent ensemble sur leur lieu de rendez-vous .

  Calcul de t1 , t2 , t3 et x0 (distance parcourue par J-P à l'instant t1), calcul que les 3 amis
ont dû faire avant le départ pour pouvoir arriver ensemble .
Equations horaires des différents mobiles :                   Coll sur [0,t2]  x = 5t
J-P et Mikayaou sur [0,t1]  x = 50t  ,                        J-P sur [t1,t2]  x = -50t + 2x0
J-P et Coll    sur [t2,t3]  x = 50t +120 -4x0 ,          Mikayaou sur [t1,t2]  x = 5t +0,9x0  
  
   Arrivée commune : x = 60 et t = t3 .Dans l'équation de Mikyaou  60 = 5t3 + o,9x0 ce qui donne  50t3 = 600 - 9x0  .     Dans l'équation de J_P et Coll  60 = 50t3 + 120 - 4x0 ce qui donne          50t3 = 4x0 - 60  . De ces 2 égalités vient x0 = 660/13 (50,76km)  D'où        
t1 = 66/65  (1h00min55s soit à 13h00min55s )
t2 = 24/13  (1h50min46s soit à 13h50min46s )
t3 = 186/65 (2h51min42s soit à 14h51min42s )
   Le RDV étant fixé à 15h les 3 amis arrivent avec plus de huit minutes d'avance      

Posté par Arcadius Arcadius

J'ai fais les calculs mais j'ai trop la flemme de les détailler. Si jamais Coll et J-P partent ensemble à vélo en même temps que mika à pied (pov' mika), et qu'au bout d'une heure et 4minutes J-P abandonne Coll sur le bas côté qui continuera à pied et repart chercher mika qui a fait son bout de chemin, ils arriveront tous en même temps, au bout de deux heures et 22 minutes.

En prenant l'heure à laquelle tu as ecris le message comme heure de départ ils arriveront tous en même temps à 13h30, donc avec 1h30mn d'avance.

J'espere que j'ai fais ce qui était demandé.. Car je ne vois pas d'horaire de départ.

Posté par Arcadius Arcadius

Désolé j'avais mal lu, donc en partant a midi ils arriveront tous à 14h22, avec 38minutes d'avance donc.
Encore désolé.

Posté par monrow monrow

ENIGME CLOTUREE

Pas trop dure comme énigme je pense, et c'est clair d'après vos réponse qui ont été presque toutes correctes

Merci pour votre participation

Posté par kioups kioups

Arf, répondu trop vite...