[Vacances sup] Matrices semblables

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 [Vacances sup] Matrices semblables Posté le 11-07-08 à 00:28
Posté par monrow monrow 

Salut ! 

Un petit exo :

Citation :

Soient  et  telles que 

Calculer 

Réponses blanquée !

Bonne réflexion ! 
 re : [Vacances sup] Matrices semblables Posté le 11-07-08 à 02:40
Posté par Nightmare Nightmare 

Salut 

 Cliquez pour afficher
Je dirais : .
 re : [Vacances sup] Matrices semblables Posté le 11-07-08 à 02:47
Posté par Fractal Fractal

Salut monrow

 Cliquez pour afficher
Sauf erreur je trouve que BA est semblable à la matrice diagonale .

Je peux te donner ma démo si tu veux 

Fractal 
 re : [Vacances sup] Matrices semblables Posté le 11-07-08 à 08:38
Posté par La-Berlue-hu-hu La-Berlue-hu-hu

Salut
 Cliquez pour afficher
Excuse-moi Nightmare, tu pourrais m'expliquer comment tu parviens à ce résultat?

Car j'ai seulement pu montrer que AB et BA ont même trace or Tr(9I3)=27 et Tr(AB)=9. Cela dit, peut être que je me suis trompée dans ma preuve qui est de simplement noter les éléments de A (a,b,c,d,e,f,g,h,i), ceux de b (k,l,m,n,o,p,q,r,s) de calculer AB puis BA et de remarquer que l'addition des éléments diagonaux de AB correspond à celle de BA.  
 re : [Vacances sup] Matrices semblables Posté le 11-07-08 à 08:43
Posté par La-Berlue-hu-hu La-Berlue-hu-hu

Re 
 Cliquez pour afficher
J'ai pu trouver mon erreur toute seule finalement, pas besoin de te déranger .
 re : [Vacances sup] Matrices semblables Posté le 11-07-08 à 09:39
Posté par monrow monrow 

Nightmare>> Cliquez pour afficher
 mais c'est plutôt 9I2 

Frcatal>> Cliquez pour afficher
 Matrices semblables Posté le 11-07-08 à 19:35
Posté par Fradel Fradel

Le problème repose sur les deux propriétés suivantes :

1 -  Les matrices A.B et B.A ont les mêmes valeurs propres non nulles.

2 -  Les espaces propres associés à une même valeur propre non nulle sont de même dimension.

La solution est alors évidente.

Au fait, qui a une démonstration pour chacune de ces propriétés?
 re : [Vacances sup] Matrices semblables Posté le 12-07-08 à 00:43
Posté par Fractal Fractal

Citation :
Le problème repose sur les deux propriétés suivantes :

1 -  Les matrices A.B et B.A ont les mêmes valeurs propres non nulles.

2 -  Les espaces propres associés à une même valeur propre non nulle sont de même dimension.

La solution est alors évidente.

Au fait, qui a une démonstration pour chacune de ces propriétés?

Pour ma part, je ne me suis pas servi de ces propriétés, juste de l'injectivité de A et de la surjectivité de B.

Fractal 
 [Vacances sup] Matrices semblables Posté le 12-07-08 à 08:08
Posté par Fradel Fradel

Bonjour,

oui Fractal, je vois bien que rg(A.B)=2 implique que A est injective et B surjective, mais comment parviens-tu à  B.A = 9.I ? 
 re : [Vacances sup] Matrices semblables Posté le 12-07-08 à 09:21
Posté par Fractal Fractal

En blanké pour laisser les autres chercher :
 Cliquez pour afficher
On élève AB au carré, ce qui donne .

Ensuite, l'injectivité de A implique qu'il est simplifiable à droite, et la surjectivité de B implique qu'il est simplifiable à gauche, ce qui donne BA = 9I2.

Fractal 
 [Vacances sup] Matrices semblables Posté le 12-07-08 à 10:18
Posté par Fradel Fradel

Merci Fractal, c'est beau, c'est rapide, c'est simple. Parfois on se sent bête !
  re : [Vacances sup] Matrices semblables Posté le 12-07-08 à 11:47
Posté par simon92 simon92

Citation :
Parfois on se sent bête !

a côté de fractal, c'est plutot souvent que parfois

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