Enigmo 45 : Re-Tour du Petit Prince

Posté par jamo jamo

Bonjour,

le Petit Prince a fait construire une tour sur une de ses planètes. Et il voudrait bien en connaitre la hauteur ...

Comme le Petit Prince a beaucoup de temps à perdre et qu'il a quelques souvenirs de mathématiques, voici la méthode qu'il a utilisée :

- tout d'abord, il a pris une grande corde et a fait tour de sa planète avec (selon un cercle qui passe par le centre de la planète qu'on suppose être une sphère parfaite de 150 km de diamètre) ;
- ensuite, il a rallongé sa corde de telle sorte qu'elle entoure toujours la planète mais en passant aussi par le sommet de la tour (voir schéma ci-dessous) ;
- il a mesuré que le morceau de corde ajouté a une longueur de 6,5 mètres.

Question : Quelle est la hauteur de la tour ? Je veux la réponse avec une précision au centimètre près par rapport à la valeur exacte.

Je rappelle qu'une valeur très proche de la valeur attendue, et même si elle est accompagnée d'une belle démonstration correcte, ne sera pas acceptée : savoir faire l'application numérique avec la précision demandée fait partie de l'énigme !

Bonne recherche.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

On obtient un demi angle au centre de 0,05064064 rd.
Ce qui donne une hauteur de h= 96,270656 m arrondi à h 96,27 m (au cm le plus proche)

Posté par Flo08 Flo08

Bonjour,

D'après mes calculs, la hauteur de la tour est de 96,27 mètres

Posté par 1emeu 1emeu

Bonjour,

bon ça sent le poisson mais je ne trouve pas mon erreur, alors je tente quand même.

Il faut résoudre l'équation
2*sqrt((h+75000)^2-75000^2)-150000*arccos(75000/(75000+h)=6,5

Un petit coup de maple me donne la solution approchée au centimètre suivante : h=0cm (la valeur donnée est de l'ordre de 10^-5 mètres) !!! Je ne trouve d'ailleurs pas ce résultat incohérent, car rajouter 6.5 mètres de corde, c'est très peu.

Si on suppose que c'est 6,5 kilomètres (et non mètres) de corde qui sont rajoutés, on trouve alors le résultat suivant approché au centimètre : h=1760 cm

Vu ces résultats, j'imagine que je n'ai pas compris l'énoncé ou que quelque chose m'a échappé...

Merci pour l'énigme ,

1emeu

Posté par manpower manpower

Bonjour,

celle-là je m'en rappelle bien !
C'est "la terre encordée" proposée par J-P (voir ici )

En adoptant exactement les mêmes notations que je l'avais fait à l'époque ():
h=R(1/cosa-1) ne change pas
et l'on doit résoudre tga-a=3,25/R=3,25/75000.
^{(Bon, je me suis bien embrouillé dans les calculs... j'aurais mieux fait de repartir à zéro!)}

Je trouve ici une valeur approchée de l'angle a0,05064064259 (en radians),
puis une hauteur approximative de la tour de h 96,27066614 m, soit 96,27 m au centimètre près.

Merci pour ce flashback

Posté par mikayaou mikayaou

Bonjour

Cette énigme avait déjà été donnée par J-P en février 2005 :

La Terre encordée



A l'époque, Nofutur2 avait déjà eu un   

--------------------

Avec L = 2R( tan(a) - a ) et H = R( 1/cos(a) - 1 ) où L est la distance ajoutée, R le rayon, a l'angle de décollement et H la hauteur cherchée

là, faut pas se gourer entre diamètre et rayon, ni la précision demandée





je trouve une hauteur de 96,27 m ou 9627 cm avec la précision demandée au centimètre près

si tant est que les bruits de calculs de SQN viennent fausser tout ça, et que je me sois pas planté dans les calculs ou arrondis

Comme dans l'énigme de J-P, cette hauteur de près de 100 m semble inconcevable avec seulement 6,5 mètres ajoutés ! !

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Sauf erreur(s), la hauteur de la tour est 96,27 mètres, en arrondissant comme demandé.

A+

Posté par piepalm piepalm

Si a est l'angle au centre entre le rayon de la tour et l'un des points de contact de la corde, R le rayon de la planète, la longueur de corde entre le point de contact et le sommet de la tour est R*tana, donc la longueur ajoutée est l=2R(tana-a) et la hauteur de la tour h=R(1/cosa-1).
Le calcul numérique donne a=0,0401986 rd, soit h=121,276 m arrondi à 121,28 m.
A noter que si l'on remplace tan et cos par les premiers termes de leurs développements (tana-a=a^3/3, 1/cosa-1=a^2/2) on obtient h=(9Rl^2/32)^1/3, ce qui donne une précision pas mauvaise: h=121,24m: seuls les centimètres sont faux!  

Posté par Eric1 Eric1


la hauteur de la tour est:
96,27m

Posté par link224 link224

Salut jamo!

La tour du Petit Prince a une hauteur de 78409cm (arrondi au cm).

@+ et merci pour l'énigme!

Posté par yoyodada yoyodada


je dirais que la tour a pour hauteur 96 mètres et 27 centimètres.
En espérant ne pas avoir fait de boulette...

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour
la hauteur de la tour est de 9627 centimètres ou 96,27 mètres
si h est la hauteur de la tour en mètres et g l'angle compris entre le rayon à l'extrémité duquel la corde commence à s'élever et la ligne de la tour :
g = arccos(75000/(75000+h)
la moitié de l'arc ne touchant pas la corde est 75000g
la portion de corde entre le sol et le sommet de la tour est 75000*tan(g)
la différence des deux longueurs est 3,25 m quand h est compris entre 96,270 m et 96,271 m

le schéma permet de se rendre compte que la mesure en radian d'un angle aigu est toujours plus petite que sa tangente

Posté par infophile infophile

Bonjour



Démonstration

Soit le rayon de la planète.

La longueur de la corde se calcule de deux manières :





En égalisant on a

Par ailleurs le triangle étant rectangle en par construction on a

D'où

A la calculatrice je trouve

Toujours dans le triangle on a

On en tire

Numériquement on trouve



Merci pour l'énigme

Posté par rogerd rogerd

Bonjour Jamo et merci pour cette énigme.

En reliant les diverses quantités , je forme l'équation donnant alpha, le demi-angle au centre : 75000(tg(alpha) - alpha)=3,25.
Une résolution approchée me donne alpha=0,0506406...
J'en déduis la distance du sommet de la tour au centre de la planète, puis

la hauteur de la tour à 1 cm près: 96,27m  

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour,
cette fois ci l'image apparait bien dans l'aperçu, merci.

ma réponse pour la hauteur de la tour est de:

j'appelle O le centre de la sphère et C le sommet de la tour.
je considère un plan quelconque qui passe par OC et qui coupe la sphère en un cercle.
du point C je trace les tangentes au cercle: AC et BC
j'appelle H la hauteur de la tour et x l'angle

on a:  AC = BC = R.tg(x)
          arc AB = 2.R.x
          
          AC = R.tg(x)
          OA = OC.cos(x) R = (R + H).cos(x)
          H = OC - R        


Longueur de la corde:
    - avant:  2..R
    - après:  2..R - 2.R.x + 2.R.tg(x)
    - la différence des 2 longueurs est de 6,5 m
         2.R.tg(x) - 2.R.x = 6,5
        

on arrive au point le plus délicat, il s'agit de trouver x à partir de cette formule !!!
pour une première approximation j'utilise le développement limité pour la tangente
    

et j'obtiens un angle en radian de x 0,05065797
cependant la précision ne sera pas suffisante pour trouver la bonne réponse (on trouve 96,33 avec cette valeur)
il faut donc affiner et trouver une valeur plus exacte.
pour cela j'ai utilisé le programme suivant (en Basic):
    Dim i&
    Dim R As Long
    Dim D As Double
    Dim H As Double
    Dim x As Double
    
    R = 75000
    x = 0.05065797
    
    D = 6.5 / 2 / R
    For i = 1 To 10000
        x = Atn(D + x)
        Next
    H = R / Cos(x) - R

la valeur trouvée de x est réinjectée dans la formule de départ
ce qui permet d'arriver au résultat après 10000 boucles
à partir de x on trouve facilement la valeur de la tour      

merci pour l'énigme.

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

La hauteur de la tour est égale à
avec une précision au centimètre près par rapport à la valeur exacte.

Si j'ai bonne mémoire, il y a déjà eu une énigme de ce type. Je fais des recherches...

En attendant, merci et A+, KiKo21.

Posté par veleda veleda

bonjour jamo
        S
       /.
      / .
     /  .
    /   A
H       .    K
        O
    
H et K sont les  tangentes à la sphère issues de S le sommet de la statue SA qui repose en A sur la planète
je note
x l'angle HOA
R le rayon de la planète en km
L la longueur totale de la corde
h =SA=S0-OA=S0-R la hauteur de la statue:h=R/cosx -R

L=2SH+2R(-x)    (1)  x en radians
d'aprés le texte on a aussi
L=2R+6,5.10_-3  (2)

(1) et (2)=>tanx-x=6,5.1O^-3/150=0,43333..10^-4

sur [0,/2[ la fonction f définie par f(x) =tanx-x est strictement croissante
f(0,05063200)=0,4331 10^-4
f(0,0506495489)=0,4335.10^-4
f(0,0506407285)=0,4333330.10^-4

on en déduit SO=R/cosx=75/cosx=75,09627099km
d'où
h=0,09627099km  soit h=9627cm par défaut

j'ai fait un effort pour faire cet exercice car je n'aime pas du tout ce genre de calculs que je fais évidement à la main

merci pour cet énigmo

Posté par ITMETIC ITMETIC

Soit R le rayon de la planète, h la hauteur de la tour, l la longueur de la corde allant du sommet de la tour au point de tangence avec la planète, alpha l'angle entre le pied de la tour et le point de tangence et a la corde du pied de la tour à ce même point de tangence (voir schéma)

On a les égalités suivantes

a=R l=R tan()
l-a=6.5/2=3.25

d'où tan()-=3.25/150000=2.16667 10^-5

après calculs on obtient =0.04019859…rd et l=6033.0389…m

Par ailleurs R²+l²=(R+h)² d'où l'équation h²+2Rh-l²=0 qui permet d'obtenir l=-R+racine(R²+l²)=121.2761… que l'on arrondit à 121.28 m

La tour fait donc 121.28 mètres de haut

Posté par mikayaou mikayaou

Re bonjour

Je m'intéressais à la courbe H = f(L)

pour des petites longueurs L devant R, on peut utiliser les DL avec un angle a très petit, DL qu'on va se limiter à a^3 :

tan(a) = a + a^3/3 et cos(a) = 1 - a^2/2

de tan(a) - a = L/2R (1),  on tire a^3 = 3L/2R

de H = R(1/cos(a) - 1) (2), on tire H = R/(2/a² - 1)

soit :



En représentant cette courbe pour les petites valeurs de L :

¤ les croix bleues sont les calculs réels par (1) et (2) où la valeur de a obtenue en (1) est reportée dans (2)

¤ la courbe rouge est celle obtenue par DL

à l'épaisseur du trait, on ne voit pas de différence /D

Cependant, on trouve, pour L = 6,5 m et R = 75000 m, une différence de 9 cm :


Je reposterai une autre étude si le(s) temps ( durée et météo ) me le permet(tent)

Posté par torio torio

A+
Torio

Posté par mikayaou mikayaou

En fait, et pour terminer, je désirais savoir jusqu'à quel valeur de L, l'approximation ne s'avérait pas trop fausse

Pour cela, je suis passé en coordonnées réduites en divisant L et H par R

Ainsi, on a des pourcentages de R comme distance ajoutée (x=L/R) et hauteur de la tour (y=H/R)

on a alors les deux courbes, la rouge liée aux DL et les points bleus réels issues des équations :



et



En représentant ces courbes dans un même repère, pour évaluer l'écart, on constate que l'on peut aller jusqu'à une longueur de corde égale à 0,3% de R ( trois pour mille de R, ce qui est beaucoup ) pour n'avoir une différence entre les deux courbes qui vaille 1%


Tout ceci mériterait d'être vérifié, car les calculs sont fastidieux avec de grands risque d'erreurs...

Posté par bizbiz bizbiz

Salut !
Je trouve que la hauteur de la tour est (avec une précision au centimètre près bien sûr)
Merci.

Posté par mikayaou mikayaou

Bonjour

Une dernière courbe, que j'avais omis de vous donner hier, est celle en coordonnées réduites pour une longueur de L variant de 0 à R, soit un x variant de 0 à 100% de R,

Comme SIneQuaNon sait parfaitement représenter des courbes paramétrées en t, je lui ai fait tracer, en bleu :



Pour que L < R, soit x < 1, il faut t solution de tan(t) - t = 1/2, soit t < 0,97

----------

Par ailleurs, sachant que la courbe, en rouge, pour les petites valeur de L est donnée par :



On a alors la représentation suivante, où l'on constate bien l'écart se creusant quand L, soit x, augmente :


Indirectement, c'est un joli exercice de tangente en un point d'une courbe paramétrée...

Bonne lecture !

Posté par dhalte dhalte

Bonjour,

r:rayon de la planète : 150/2 km = 7 500 000 cm
l:allongement de la corde : 6,5 m = 650 cm
h : hauteur de la tour : résultat 9627 cm

Pythagore dans HPO : : :
angle dans HPO :
allongement de la corde
Élimination de HP et de :
Physiquement, cette expression ne peut qu'être strictement croissante, la longueur du segment PH ne pouvant qu'être supérieure à celle de l'arc d'angle .

Recherche numérique par dichotomie du zéro de l'expression



Remarque : la pente de la tangente (évaluée numériquement) au voisinage de la solution est environ 10.
Pour une erreur de mesure de 1 cm de l'allongement, c'est une erreur de mesure de 10 cm de la hauteur de la tour.

Posté par evariste evariste

96,27 m

Posté par kioups kioups

Je trouve une tour de 96,27 m. de hauteur.

La longueur de la corde initiale est d'environ 471 239 m. (longueur d'un cercle de diamètre 150 000 m).

Les segments [BS] et [CS] sont tangents à la planète, donc les triangles OBS et OCS sont respectivement rectangles en B et C.

J'ai donc pris différentes valeurs de l'angle BOC, calculer la longueur de l'arc de cercle BOC dans ces différents cas, puis la longueur du segment [BS].

Une fois que j'ai trouvé un écart de 6,5 m entre la longueur initiale et ma nouvelle longueur, j'ai calculé la longueur [AS], la longueur de ma tour !

Posté par xtasx xtasx

Bonjour,

Je trouve que la tour est haute de de 96,27m en arrondissant au centimètre près.

Merci !

++

Posté par 1emeu 1emeu

Ah bon ben j'ai refait le pb, redonné les équations à Maple, qui donne à présent le résultat beaucoup plus vraisemblable suivant : 96.27 m

tant pis...

Posté par mikayaou mikayaou

Bonjour,

La question de l'approximation entre les deux courbes, DL en rouge et courbe paramétrée en bleu, me turlupinait d'autant que le résultat de 0,3% de R d'allongement avait été obtenu le 19/07/2008 à 00:19 par tâtonnement, et je n'en étais pas sûr

Je rappelle ce que je cherchais :

Je voulais savoir jusqu'à quelle valeur d'allongement, l'approximation de la courbe bleue avec la courbe rouge était vraie à n%

En coordonnées réduites, la courbe rouge est représentative de f : y = f(x)



Quant à la courbe bleue, toujours en coordonnées réduites, elle est donnée en paramétré par :



l'écart vaut   et l'erreur relative vaut  

je cherche alors t tel que soit





avec n = 1, SineQuaNon trouve une valeur de t = 0,168 qui, reportée dans x(t) fournit la valeur de x = 0,0032


Je confirme alors bien la valeur obtenue par tâtonnement :

Jusqu'à un allongement de 0,32 % de R ( soit ici 240 m ), l'approximation de l'allongement par la courbe rouge est valable à moins de 1% d'erreur

Je pense, cette fois-ci, avoir fait le tour sur cette jolie énigme de J-P

Par ailleurs, si vous voyez une erreur de raisonnement ou de calcul, n'hésitez pas à me le signaler

Posté par kinderman kinderman

Bonjour,
la corde étant tangente au cercle, elle est perpendiculaire au rayon, donc
(75000)^2 + 3,25^2 =(75000+H)^2
Donc H^2 + 150000H -3,25^2 = 0 pour H=7,0415*10^(-5)m = 7,0415*10^(-3)cm
Voilà!

Posté par karatetiger karatetiger

Bon aller je balance ma connerie mais je dois me planté quelque part mais je refais et refais les calculs et j'arrive toujours à une valeur de tour dérisoire donc on va dire que en arrondissant je trouve 0cm,lol. Merci pour le poisson

Posté par totti1000 totti1000

On note l la longueur de la corde qui touche la terre...
On a l=(+2a)r.
On note L la longueur totale de la corde, on a alors:
L=2r+6,5 et L=l+2x.
On a x=((r+h)²-r²)
On a w+a=/2.
cos(w)=(r/(r+h)) d'où w=arccos(r/(r+h)).
a=(/2)-arccos(r/(r+h)).
Or l=(+2a)r.

Au final on a L=r(+2((/2)-arccos(r/(r+h)))+2(((h+r)²-r²)).
D'où la hauteur h de la tour: 9627cm valeure arrondie au cm près...

Posté par Poldenys Poldenys

Enigmo 45
J'appelle S le sommet de la tour , A son pied , B et C les points de tangence de la corde qui enserre la planète
en passant par S et O le centre de la planète .
Je note h = SA , l = SB = SC , R = OB = OC , ,k la longueur de l'arc AB et e l'écart trouvé entre les 2 cordes . e = 2l - 2k , l = R tan x , k = Rx (x en radians) , e = 2R(tan x - x)
tan x - x = ce qui donne tan x - x
x étant voisin de 0 , j'utilise le développement en série de tan x au voisinage de 0
Prenons d'abord tan x ~    ,ce qui donne
x = 0,05065797  comme , h = 96,336629
Essayons maintenant en prenant le terme suivant du developpement :
ce qui donne x = 0,05065802 et h = 96,33680 . Le terme n'influe que sur la 4ème décimale de h .Comme il est demandé une valeur approchée
au cm près , soit 0,01 en m , c'est bon j'ai la valeur demandée  h = 96,34 m

Posté par ben314-2 ben314-2

Vraiment affreux, ce truc, je me suis cassé les dents dessus pendant pas mal de temps!
Bon, je propose 96 m et 27 cm. Je ne sais pas si c'est bon, mais au moins c'est plausible (j'ai trouvé d'abord sept centièmes de millimètres, puis -225 Km).

Posté par ThierryMasula ThierryMasula

Bonsoir jamo,



On fait comment pour les accentués en ?
Une énigme comme je les aime... Merci.

Posté par lyonnais lyonnais

Bonjour



Je note a l'angle que fais la position à partir de laquelle le fil est tendu par rapport à la verticale (cette angle est très petit, puisque la tour est de taille infime à l'échelle de la planète)

J'ai alors par Pythagore :

AB²+AD² = BD²  d'où  :  (h+R)² = R² + AD²  (1)

De plus :

AE = R.sin(a)  et  sin(pi/2 - a) = AE/AD   donc  AD = R.tan(a)  (2)

Or on a aussi d'après les informations :

l(ext) + l(int) = 2.pi.R
l(ext) + 2AD = 2.pi.R + d   (problème symétrique donc AD = CD)

avec  l(int) = 2.a.R  d'où :

AD = (1/2).(d + 2.a.R)  (3)

Il faut que (2) = (3)

On utilise le fait que a est très petit donc :  tan(a) = a + a³/3 + o(a³)

Ainsi on obtient :  a = (3d/(2R))^1/3 = 0.050658 rad

D'où au final en se servant de (1), h vérifie :

h² + 2R.h - (1/4).(d + 2.a.R)² = 0

la seule solution positive est :





Sauf erreurs ...

Posté par davidh davidh

Bonjour,

Si h est la hauteur de la tour, en posant les variables telles qu'indiquées sur le dessin, on a

a + h = d sin
d - R = 6,5/2
R cos = R - a
R sin = d cos

où h est la hauteur de la tour. Avec R = 75000 m

On trouve h = 96,27 m

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

Je ne savais pas que ce problème avait déjà été proposé en énigme sous une autre forme :
Cela dit, comme elle datait de plus de 3 ans, beaucoup ne la connaissaient pas.

Dans cette énigme, on pouvait être tenté à un moment donné d'utiliser un petit développement limité afin de simplifier une expression, ce qui permettait de trouver une formule qui donnait explicitement la valeur de la hauteur en fonction de tout le reste.
Malheureusement, cela ne donnait qu'une valeur approchée dont la précision est insuffisante par rapport à celle que j'ai demandé !

Donc, il fallait résoudre numériquement comme on le pouvait l'équation qui permettait d'obtenir une valeur approchée de l'angle, puis on finissait facilement le calcul.

Posté par lyonnais lyonnais


Mal m'en a pris.

Mais bon, content d'avoir participé ...

Posté par Poldenys Poldenys

Salut Jamo , salut à tous
Jamo je te remercie pour ton enigme et pour tout le mal que tu te donneen général
.Je plaide coupable pour celle-ci , j'ai fauté lourdement! J'avais opté pour
un petit developpement limité comme lyonnais en m'arrêtant au terme du 3è degré.
J'ai bien pensé à prendre le terme du 5è degré , mais je n'ai pas recalculé l'angle sérieusement !
ce que j'ai refait pour ma gouverne hors délais :pour l'angle : 0.0506397787 et pour h : 96,267378
ce qui pouvait donc convenir .
Salut et fraternité

Posté par lyonnais lyonnais

Je suis quand même un peu dégouté.

J'avais utilisé mon logiciel de calcul formel pour trouver des solutions à :

d + 2aR = 2Rtan(a)

Et il ne m'en donnait pas !!

Alors que la je prend ma calto et elle trouve 5 solutions dont :

a = 0.050640642575998

Ce qui me donne :



Alala ... Enfin

Posté par Poldenys Poldenys

Salut à tous

Après l'aveu de la faute , la rectification des erreurs :
Dans ma réponse je prends tan x - x et non tan x comme je l'ai écrit !
Dans ma réponse "posthume" je prends tan x - x
Je trouve après un nouveau calcul h = 96,271 ( et non h = 96,267378 comme supra) ce qui m'aurait permis de
répondre confortablement 96,27 contrairement à 96,267...qui peut conduire à une valeur inférieure à 96,265
en prenant des termes supplémentaires !!
Pour le fun j'ai encore pris tan x-x h = 96,2709
Et encore tan x - x h = 96,2709
Les valeurs de h obtenues décroissent mais ça commence à piétiner! Alors la 4ème décimale ??
Bon je m'arrête là , j'ai bien mérité mon arête de poisson !!

Posté par hicham00 hicham00

bien .d'apres mes calculs j'ai constaté que personne n'a trouvé les miens et je suis perturbé est ce moi ou les autres qui sont juste.
voilà la résultat mais la démonstration apres
la hauteur est h=60.63m=6063cm
si c'est vrai je vais la démontre.

Posté par jamo jamo

hicham00 >> l'énigme est cloturée depuis un bon moment, et la bonne réponse est 96,27m.