Enigmo 47 : Les nombres premiers à la guillotine

Posté par jamo jamo

Bonjour,

votre mission, si vous l'acceptez, sera de découper en rondelles un nombre premier !

Observez :

- je prends le nombre premier 593 ;
- je retire le dernier chiffre, le 3, et j'obtiens 59, qui est encore un nombre premier ;
- je retire à nouveau le dernier chiffre, le 9, et j'obtiens 5, qui est toujours un nombre premier.

Question : trouver le plus grand nombre premier pour lequel, en retirant les derniers chiffres un par un, on obtienne une suite de nombres premiers.

J'ai mis 3 étoiles à l'énigme non pas pour la difficulté de compréhension de l'énigme, mais je pense qu'il y a une certaine prise de risque, sauf si on est certain d'avoir trouvé LE plus grand nombre premier qui vérifie cette propriété.

D'ailleurs, je sens que certains viennent de se poser une question : "et si on pouvait trouver un nombre premier "infiniment grand" qui vérifie cette propriété ?".
Alors dans ce cas: donner moi une démonstration solide !
Ou au contraire, prouvez-moi qu'il n'existe pas un nombre premier infirment grand qui vérifie cette propriété.

Quoi qu'il en soit, en supposant qu'il n'existe pas de plus grand nombre premier, et même si quelqu'un le démontre, celui (ou ceux) qui me proposera le plus grand parmi toutes les réponses aura droit à un smiley.

Bonne recherche !

Posté par kioups kioups

Ce nombre doit être 73 939 133.

Je suis parti de 2,3,5 et 7 et j'ai rajouté un chiffre à chaque fois pour obtenir un nombre premier (23,29 pour 2 etc.)

A chaque fois, je bloque sur un nombre à 8 chiffres (ou avant...).

Posté par Nofutur2 Nofutur2

J'ai trouvé quelques propriétés simples de ce nombre :
- le premier chiffre peut être 2,3,5 ou7
- les chiffres suivants sont 1,3,7 ou 9.
- si le premier chiffre est 2 ou 5, il n'y a pas de 1 ou 7 après.
- si le premier chiffre est 3, il y a au max 2 fois le chiffre 1 ou 7 après.
- si le premier chiffre est 7, il y a au max 1 fois le chiffre 1 ou 7 après.

Après un simple recherche "à la main" dans les diverses listes de nombres premiers, on trouve qu'il n'y a pas de nombres de 9 chiffres qui conviennent.
Le plus grand est : 73 939 133..

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Sans aucune certitude: 73 939 133



_{En fait parmi les nombres à 8 chiffres, seuls 5 sont premiers et peuvent "passer à la guillotine". Et mon ordi ne sait pas aller plus loin. Alors, avec un peu de chance...}

Posté par matovitch matovitch

Bonjour !
J'ai peu-être fait des erreurs, mais je trouve 59393339.

Posté par Eric1 Eric1

J'ai un peu peur avec ce genre d'énigme, notamment avec les grands chiffres:

1979339339

Posté par rogerd rogerd

Bonjour Jamo et merci.

Avec l'aide de Maple, je trouve

le nombre 73 939 133 .

Mikayaou ne sera pas ravi par cette réponse. Je lui promets de chercher une solution n'utilisant que le raisonnement...

Posté par link224 link224

Salut jamo!

Il existe un plus grand nombre premier tel qu'en enlevant un par un ses derniers chiffres, le nombre obtenu est premier.
Ce nombre est 73939133.

@+ et merci pour l'énigme.

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

Je trouve comme plus grand nombre premier pour lequel, en retirant les derniers chiffres un par un, on obtienne une suite de nombres premiers.

Merci et A+, KiKo21.

Posté par infophile infophile

Bonjour

J'ai fait un petit programme et je trouve 73 939 133, il n'y a pas plus grand.

Merci pour l'énigme

Posté par xunil xunil

bonjour,

il suffit de montrer que l'ensemble des nombres premiers est infinie, ainsi n'importe quel nombre premier aussi grand soit il ne peut convenir...

démonstration:

Soit l'ensemble des nombres premiers.

Supposons fini ie où pour tout entier naturel (non nul) , est un nombre premier et . donc est k le plus grand élément de E.

Soit

comme pour tout entier naturel i, , alors n'est divisible par aucun des (aucun nombre premier ne divise 1).

or si un nombre est composé alors il admet au moins un diviseur premier strict.

Par contraposée de cette implication, est premier ce qui est absurde car .

ainsi est infinie.

(par ailleurs le plus grand nombre premeir connu à ce jour est le nombre de Mersenne M44:

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour à tous,

voici ma réponse :

j'ai pas de théorie particulière, mais je sais que c'est le plus grand nombre qui a cette propriété.

j'ai utilisé la méthode bourrin en essayant tous les nombres, en remarquant que le premier chiffre ne peut être que 2,3,5,7 et pour les suivants: 1,3,7,9
il y a 5 nombres de 8 chiffres:
  73939133
  59393339
  37337999
  29399999
  23399339

il suffit de taper le premier nombre dans Google pour avoir confirmation.

Posté par Quent225 Quent225

Bonjour,

Je trouve 73939133

Posté par torio torio

Il me semble qu'il n'y a pas de nombre de 9 chiffres qui vérifie la condition.

Voir la liste ci-dessous avec le plus grand nombre de 8 chiffres.
A+
Torio

Posté par Flo08 Flo08

Bonjour,

Mes connaissances en mathématiques ne me permettant pas d'élaborer une démonstration, j'ai procédé à une recherche méthodique sur des sites internet qui proposent des listes de nombres premiers ( ), en commençant par les nombres premiers à un chiffre, puis deux, puis trois, etc...
Lorsqu'on arrive à des nombres à 9 chiffres, seuls deux nombres premiers satisfont la condition demandée :
197 933 933    et    233 393 999
Dans les deux cas, on obtient un nombre divisible par 3 en ajoutant 1 ou 7. On ne peut donc éventuellement obtenir de nouveaux nombres premiers qu'en ajoutant 3 ou 9. J'ai donc testé sur ce site les nombres suivants :
1 979 339 333   premier
1 797 339 339   premier
2 333 939 993   non premier
2 333 939 999   premier
J'ai ensuite repris les trois nombres retenus, et refait le test pour chacun d'eux en ajoutant 3, puis 9 à la fin. Aucun des nombres ainsi formés n'est premier.
Sauf erreur, le plus grand nombre premier qui, lorsqu'on retire un a un les derniers chiffres, forme une suite de nombres premiers est donc :

2 333 939 999

---------------------------
Sachant que je n'ai pas élaboré moi-même les outils qui m'ont permis d'obtenir ce résultat, j'ai préféré détailler ma démarche en citant mes sources, afin que Jamo puisse décider s'il accepte ou non cette "méthode" comme valide.

Posté par DiabloBoss DiabloBoss

La réponse est 73.939.133

Posté par piepalm piepalm

Il y a quatre nombres de 8 chiffres qui conviennent, dont le plus grand est 73939133. Aucun d'entre eux ne donnent de nombre de 9 chiffres...

Posté par evariste evariste

pas mieux que :
7 393 913 393

Posté par karatetiger karatetiger

Alors après quelque test je dirais qu'il n'y en a pas une infinité et que le plus grand d'entre eux est 73939133

Posté par jarod128 jarod128

Bonjour,
je l'ai fait en testant tout simplement: je commence par 2 3 5 7 et j'ajoute un chiffre pour avoir un nombre premier et ainsi de suite. Quelques remarques d'arithmétiques élémentaires me donnent que "peu" de cas à tester. Puis je regarde dans une liste de nombre premier suffisamment grande...
Je propose donc: 73939133.
Merci

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

Bonjour,

Ayant déjà entendu parler de ces nombres "raccourcissables à droite", après une rapide recherche sur google, je dirais que le plus grand nombre possible est . Après pour ce qui est de la démonstration, là c'est pas de mon niveau

(Evidemment tout ceci en restant d'accord sur le fait que 1 n'est pas un nombre premier )

A bientôt

Posté par TitouanR TitouanR

7393933 mais ma reponse est risquee !!

Posté par lyonnais lyonnais

Bonjour

Ma réponse :



J'ai testé jusqu'au 51 millionième nombre premier qui est le ... 1 003 162 753

Alors voici la liste des nombres qui marchent classés par nombre de chiffres qui les composent :

2 chiffres --> 9 nombres  -->  max : 79

3 chiffres --> 14 nombres  -->  max : 797

4 chiffres --> 16 nombres  -->  max : 7 393

5 chiffres --> 15 nombres  -->  max : 73 939

6 chiffres --> 12 nombres  -->  max : 739 399

7 chiffres --> 8 nombres  -->  max : 7 393 933

8 chiffres --> 5 nombres  -->  max : 73 939 133

9 chiffres --> il n'y en a pas !

Donc je me suis arrété là ... Voila, sauf erreurs

Posté par totti1000 totti1000

Le plus grand nombre premier qui vérifie cette propriété est 73939133.

Posté par 1emeu 1emeu

Bonjour,

voici ma réponse : 73939133

On calcule de la façon suivante :
les nombres à 1 chiffre qui vérifent la propriété sont 2,3,5,7

les nombres à n chiffres qui vérifient la propriété (n>1) sont ceux premiers de la forme ab, où a est un nombre à (n-1) chiffres vérifiant la propriété et .

En itérant, on trouve l'ensemble fini des nombres qui vérifient la propriété. On montre ainsi qu'il n'existe aucun nombre de 9 chiffres vérifiant la propriété (donc tout nombre vérifiant la propriété à strictement moins de 9 chiffres). Le plus grand est alors 73939133


Merci pour l'énigme

1emeu

Posté par davidh davidh

Bonjour,

Je propose le nombre 73939133.

Je ne prends pas beaucoup de risque, même si je ne connais pas la démonstration. J'ai trouvé ceci en cherchant un algorithme efficace pour tester si un nombre est premier ou non...

Posté par dhalte dhalte

Avec les derniers pièges dans lesquels mon âme trop ingénue s'est précipitée, je redoute le pire.

Je crois me souvenir que 1 n'est pas considéré comme nombre premier, aussi tout nombre débutant par 1 ne peut convenir.

J'ai alors à vous proposer la solution 73939133.

Remarque: il existe 4 autres nombres de même longueur que celui donné, mais bien sûr inférieurs :
    '59393339
    '37337999
    '29399999
    '23399339

Ce résultat dépend fortement de la base décimale. Qu'en est-il dans une autre base ?

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,
je tente  7879733 vu que le logiciel de decomposition de nombre que j'ai ne va pas plus loin que 9999999

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

facile celle-là... !
en faisant une recherche pour avoir une table de nombres premiers, le premier lien a été celui de wikipedia où figure la réponse à l'énigme !
Un peu dommage... mais tellement de choses ont déjà été faite sur les nombres premiers que cela n'est pas étonnant finalement.

Enfin, le résultat semble confirmé ici .
le plus grand nombre premier tronquable à droite est donc : 73 939 133
(car 7,79,797,7393,73939,739399,7393933,73939133 sont tous premiers).

Merci quand même pour l'énigmo.

Posté par ThierryMasula ThierryMasula

Re-bonjour jamo,

Sauf erreur d'aiguillage dans l'arborescence, le plus grand nombre premier vérifiant les conditions de l'énoncé est
Merci pour l'énigme (pour toutes tes énigmes en fait, ta besace semble inépuisable!)

Posté par Poldenys Poldenys

Enigmo 47

  73939133   Salut jamo

Posté par lennou lennou

peut etre 753 ou 77753 car ces 3 chiffres sont premiers

Posté par gegele gegele

je penses que c'est 79797979797979797979....
Parce que 79 est un nombre premier qui comporte comme premier chiffre (7) un chiffre premier. De plus, 97 est aussi un nombre premier.

Posté par yoyodada yoyodada

bonjour jamo,
après une recherche de liste de nombres premiers sur le net, je suis tombé sur la liste des "tronquables à droite", dans laquelle j'ai l'impression que la réponse à l'énigme était donnée...

Ayant essayé de démontrer cette réponse sans grand succès, je propose quand même que la réponse est
73 939 133.

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

Le plus grand nombre premier vérifiant la propriété est en effet 73939133.

On trouve cette famille de nombre premiers sous différents noms : nombres premiers raccourcissables, nombres premiers tronquables, ou encore nombre premiers résistants.

Celui qu'il fallait trouver est le plus grand nombre premier raccourcissable "par la droite".
J'ai été très sympa, je n'ai pas demandé le plus grand nombre premier raccourcissable "par la gauche qui est 357 686 312 646 216 567 629 137.
Là, je crois que le taux de réussite aurait été plus faible.

Pour information, je vous donne 3 liens vers des pages qui parlent de ces nombres :




En ce qui concerne une éventuelle démonstration, il suffit d'un petit programme informatique programmé astucieusement pour qu'il ne soit pas trop lent pour prouver qu'on obtient bien le plus grand nombre. (mais un programme informatique est-il une démonstration ? )

xunil >> tu me démontres que l'ensemble des nombres premiers est infini ... mais cela n'a pas de rapport avec l'énigme, tu aurais du la lire avec plus d'attention !

Posté par xunil xunil

bonjour jamo,

oui j'ai pas compris l'énoncé comme tu le sous entendais cependant je vois bien un problème...

je m'explique:

l'ensemble des nombres premiers est infini.
encore aujourd'hui, nous cherchons des nombres premiers de plus en plus grand (on en est au M44). Ainsi comment peut on déterminer le plus grand nombre premier qui vérifie ta propriété ? là franchement pour moi c'est un peu absurde puisque rien ne nous prouve que tes conditions si elles sont vérifiées par le nombre 73939133, elles peuvent être vérifiées par un nombre plus grand que nos techniques informatiques( puisqu'il suffit d'un programme) ne peuvent déterminer...

Posté par xunil xunil

et justement tu soulèves toi même une partie du problème:



forcément je n'ai pas assez d'expérience dans les maths mais jusque là et surtout en arithmétique, je considère l'outil informatique comme une aide et qui est parfois limitée et dès que je peux l'éviter je le fait. non pas que je sois contre l'informatique mais l'union maths/info n'est pas compatible...

Posté par kioups kioups

xunil : tu as plusieurs personnes qui ont "montré" que 73 939 133 est le plus grand nombre cherché. La méthode n'est pas très compliquée, on veut le plus grand nombre possible vérifiant la propriété, il suffit de partir des nombres premiers à 1 chiffre : 2, 3, 5 et 7. Il suffit ensuite de les prolonger chiffre par chiffre comme l'a décrit torio notamment.

Ca n'est pas une démonstration rigoureuse, mais je crains que cela soit irréfutable !

Posté par jamo jamo

Le nombre 73939133 possède 8 chiffres.

Pour prouver que c'est le plus grand qui vérifie la propriété que j'ai demandé, il suffit de prendre tous les nombres premiers à 9 chiffres, un par un, et de tester s'ils vérifient la propriété.

Or, aucun nombre à 9 chiffres ne fonctionne, donc celui à 8 chiffres trouvé est bien le plus grand.



L'informatique a permis de faire de grand progrès en math. D'ailleurs, on doit l'informatique a de grands mathématiciens.

Il est vrai que certains n'aiment pas que des choses soient démontrées par l'informatique : par exemple le théorème des 4 couleurs, qu'on a démontré par informatique, et qu'il serait humainement impossible à faire à la main (encore que, je crois que des progrès ont été fait depuis ...)

Mais ici, avec mon petit problème pas bien compliqué, aucun risque de se tromper, l'informatique nous aide bien à conclure !

Posté par xunil xunil

bon je ne comprend pas cette méthode ...

cependant pourquoi n'y en aurait il pas un un 9, 10,... chiffres ?

Posté par jamo jamo

Il n'y en a pas de 9 chiffres, car il suffit d'essayer tous les nombres de 9 chiffres et montrer que ça ne marche pas, c'est aussi simple que ça !

Posté par xunil xunil

ah ok en fait tout va bien ... le max c'est 9 chiffres! oué benh c'est un peu tirer par les cheveux mais ca reste sympa... fallait y penser.

excusez moi

@+

Posté par kioups kioups

Xunil : si un nombre à 9 chiffres vérifient la propriété, il faut que le nombre à 8 chiffres obtenu en enlevant le chiffre des unités la vérifie aussi.

Torio te donne la liste des nombres à 8 chiffres qui conviennent. Tu peux essayer tout ce que tu veux, tu ne parviendras pas à obtenir un nombre premier en rajoutant 1, 3, 7 ou 9 derrière ces nombres.

CDFQ !

Posté par kioups kioups

jamo : pourquoi essayer tous les nombres premiers à 9 chiffres alors qu'il suffit d'essayer avec les 5 nombres premiers à 8 chiffres qui conviennent déjà !

Posté par totti1000 totti1000

Bonjour, si l'outil informatique montre qu'il n'en existe pas à 9 chiffres, alors tout autre nombre plus grand (à 10, 11 chiffres etc...) ne pourra pas verifier cette proprieté...
En effet si on a un nombre à n chiffre (n>9) à un moment dans son découpage on va avoir un nombre à 9 chiffre, et a partir de ce moment la on sait qu'il est impossible que cela verifie la proprieté, puisque a un moment dans son découpage des neuf derniers chiffres il y en aura forcément un qui ne sera pas premier...

Posté par jamo jamo



Oui, je sais, je disais ça pour donner une méthode qui n'est pas du tout optimale !

Posté par Eric1 Eric1

je suppose que c'est un problème de conception
J'avais obtenu cela...

[1,2,3,5,7]
[11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79]
[113, 131, 137, 139, 173, 179, 191, 193, 197, 199, 233, 239, 293, 311, 313, 317, 373, 379, 593, 599, 719, 733, 739, 797]
[1319, 1373, 1399, 1733, 1913, 1931, 1933, 1973, 1979, 1993, 1997, 1999, 2333, 2339, 2393, 2399, 2939, 3119, 3137, 3733, 3739, 3793, 3797, 5939, 7193, 7331, 7333, 7393]
[13997, 13999, 17333, 19139, 19319, 19333, 19739, 19793, 19937, 19973, 19979, 19991, 19993, 19997, 23333, 23339, 23399, 23993, 29399, 31193, 31379, 37337, 37339, 37397, 59393, 59399, 71933, 73331, 73939]
[139991, 139999, 193337, 197933, 199373, 199379, 199739, 199799, 199931, 199933, 233993, 239933, 293999, 373379, 373393, 593933, 593993, 719333, 739391, 739393, 739397, 739399]
[1399913, 1399919, 1399999, 1979339, 1997999, 1999331, 1999339, 2339933, 2399333, 2939999, 3733799, 5939333, 7393913, 7393931, 7393933]
[13999133, 19793393, 19993319, 23399339, 29399999, 37337999, 59393339, 73939133]
[197933933]
[1979339333, 1979339339]
[]

Donc je me demande...
pourquoi 197933933 (9 chiffres) n'est pas premier?

Posté par totti1000 totti1000

Re, aucun rapport avec l'enigme, mais lorsqu'une enigme d'un mois passé n'est pas encore corrigé, il est toujours possible d'y répondre (meme quand le mois est deja fini)???
A part ca Nofutur2 semble bien parti pour le mois de juillet...

Posté par jamo jamo



Je ne sais pas s'il est premier, mais il ne peut pas marcher pour ce que j'ai demandé : si on lui supprime les chiffres 1 par 1, on va tomber sur 933933 qui n'est pas premier !

Posté par Quent225 Quent225

Bonjour,

Eric>> 1 n'est pas premier, que je sache