sigma-algebre

Posté par jean1257 jean1257

Bonjour à tous,

Voici un petit problème que je partage avec vous:

Soit un espace mesurable et soient deux mesures finies definies sur tq .

Auriez-vous un exemple (simple) tel que l'ensemble ne soit pas une -algèbre?

Merci pour vos conseils!!

Posté par stokastik stokastik

Salut. D'où sors-tu cette question ? Tu es sûr que c'est possible de trouver un tel exemple ?

Posté par jean1257 jean1257

Bonsoir,

C'est un exercice du livre "Measure Theory" de Donald Cohn (Birkhäuser). p.46 exo 3 pour être exact.
J'ai trouvé un exemple lorsque la mesure est infinie, mais je n'ai rien trouvé pour des mesures finies

Posté par stokastik stokastik

Je crois (pas sûr) que j'ai un exemple avec la mesure de Cantor et la mesure de Lebesgue. Tu connais la mesure de Cantor ?

À part ça, ton exemple avec une mesure de masse totale infinie, il est simple ?

Posté par jean1257 jean1257

Mon exemple avec une mesure infinie est le suivant:

Soit muni de la tribu et soient la mesure grossière (qui vaut si l'ensemble n'est pas vide) et la mesure cardinal.

Je considère alors l'ensemble évidemment, les éléments de sont les ensembles de la forme où , et tous les sous-ensembles de de cardinal fini n'y sont pas.

n'est donc pas stable par passage au complémentaire et ce n'est pas une tribu. C'est plutot simple non?

Pour un exemple de masse totale finie, j'ai pensé à utiliser la mesure de Lebesgue sur [0,1] et une mesure de Stieltjes-Lebesgue de façon à qu'elles coïncident sur l'ensemble vide et sur [0,1] et sur un seul point, de sorte que l'on n'ait pas une tribu, mais je n'ai pas développé, ni vérifié, mon idée.

Sinon qu'est-ce que appelle une mesure de Cantor? Sur un ensemble de Cantor?

Posté par stokastik stokastik

Oui en effet ton exemple est simple.

L'ensemble de Cantor est le support de la mesure de Cantor. C'est l'exemple typique d'une probabilité qui n'a pas d'atome et qui n'admet pas de densité. Tu devrais trouver ça facilement sur Wikipédia.

Posté par jean1257 jean1257

Ok pour la mesure de Cantor, mais je cherche un exemple relativement simple, je vais y réfléchir ce we.

Posté par jean1257 jean1257

Bonjour,

Je pense avoir trouvé un exemple discret pour finir cette histoire. (je reprends les notations ci-dessus)

Soit et .
Je fixe et

si

si

si

si

si .

Alors et sont dans mais leur intersection n'y est pas >> ce n'est pas une tribu.

Voilà, j'espère qu'il n'y a pas d'erreur!!

Posté par stokastik stokastik

Arf non désolé l'intersection est {1,2}...

Posté par jean1257 jean1257

Mince! J'étais fatigué ((

Je vais continuer à chercher...ça doit pas être loin

Posté par stokastik stokastik

Je sais pas. Peut-être qu'on peut démontrer que c'est toujours une sigma-algèbre quand X est fini et que les mesures sont finies ?

Posté par jean1257 jean1257

Mêmes notations.

si ,
si ,
si

Ici si ont même nu-mesure mais l'intersection ({1}! ) n'est pas dans D.

ouf!

Posté par stokastik stokastik

Pas très commode pour vérifier que est une mesure si ?

Posté par stokastik stokastik

Tu n'as énuméré toutes les parties de X... je ne vois pas {3,4} par exemple

Posté par stokastik stokastik

*tu n'as pas énuméré

Posté par stokastik stokastik

Ouais je vois que est une mesure, si on divise par 4, c'est la loi d'une variable aléatoire N qui prend ses valeurs dans {1,2,3,4} telle que P(N=3)=P(N=4)=1/2. Ca va peut-être plus vite de le dire comme ça plutôt que d'énumérer les valeurs de sur chaque partie de {1,2,3,4}.

Posté par jean1257 jean1257

Donc si c'est bien une mesure, le problème est résolu

pas mal comme exercice hein?

Posté par jean1257 jean1257

En fait, j'ai énuméré les valeurs de nu parce que c'est comme ça que j'ai trouvé le contre-exemple.
Et pour trouver cet exemple j'ai essayé de démontrer que c'était une tribu: on tombe sur le fait que l'ensemble D n'est pas forcément stable par intersection (il l'est en revanche pas passage au complémentaire, ce qui était ma première piste, d'où la difficulté de trouver un contre exemple!).

Voilà voilà...

Posté par stokastik stokastik

Arf, je découvre le nouveau design du forum... sur le coup je dirais que ça a perdu du charme... mais bon faut voir comment on s'y habitue