Exo défi sup-spé > racine carrée complexe

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 Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 24-08-08 à 15:18
Posté par Nightmare Nightmare 

Bonjour à tous 

Je vous propose cet exercice (dont la résolution ne fait pas forcément appel à de l'analyse complexe rassurez-vous) :

Citation :
Existe-t-il une application continue  vérifiant l'équation fonctionnelle  ? 

A vous de jouer.

 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 24-08-08 à 21:58
Posté par Nightmare Nightmare 

Pas d'idées?
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 01:34
Posté par amatheur22 amatheur22

BONSOIR Nightmare

Posns z=x+iy avec x et y réels et f(z)=P(x,y)+iQ(x,y)avec P et Q fonctions numériques des variables x et y.

[f(z)]²=z donne P²-Q²=x et l'égalité des modules des deux membres de cette égalité donne P²-Q²=.

ceci n'étant évidemment possible que si y=0 et x positif auquel cas f se confond avec la fonction racine carrée usuelle que tt le monde connait.

Conclusion:une telle application n'existe pas !(si elle existe j'aimerais bien faire sa connaissance).[blank][/blank]
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 01:40
Posté par Nightmare Nightmare 

Bonsoir 

Ou utilises-tu l'hypothèse de continuité?
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 01:44
Posté par Nightmare Nightmare 

Je ne comprends de toute façon pas ton argument avec les modules ...

, d'où vient le - ?
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 02:04
Posté par amatheur22 amatheur22

RECTIFICATIF

 l'égalité des modules des deux membres de cette égalité donne P²+Q²=  ,    auquel on adjoint P²-Q²=x.

Ce système donne les expressions de P(x,y) et Q(x,y).
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 02:09
Posté par Nightmare Nightmare 

Non ça ne marche pas, ta méthode permet pour un z donné de trouver ses racines carrées complexes. Effectivement on sait que pour tout z, il existe un f(z) tel que [f(z)]²=z, mais ce n'était pas la question 

La question était de savoir si l'on pouvait "choisir" les racines carrées de nombre complexe de manière continue.
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 17:56
Posté par amatheur22 amatheur22

BONJOUR  Nightmare
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Soit z  un complexe non nul et g une détermination de Logz: gest par définition une fct complexe continue sur un ouvert connexede  privé de 0,et telle que :   . Lafonction f définie par:  sans 0: f(z)= et      f(0)=0, est continue(comme g) et vérifie [f(z)]²=z.
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 18:00
Posté par Nightmare Nightmare 

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Tu définies f sur C tout entier alors g est restreinte à un ouvert connexe de C, il y a un problème.
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 18:03
Posté par Nightmare Nightmare 

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Je pense que tu devrais plutôt t'atteler à montrer qu'une telle fonction n'existe pas plutôt que d'essayer de la trouver  
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 18:53
Posté par amatheur22 amatheur22

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Donc si une telle fonction existait il y aurait une contradiction!reste à chercher à quel niveau (je dois dire que ton problème m'interesse)
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 19:04
Posté par Nightmare Nightmare 

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Effectivement elle n'existe pas. Cela dit peut être qu'il y a une preuve utilisant le logarithme complexe, étant donné qu'on ne peut trouver de logarithme complexe continue sur C tout entier, ça peut peut être mener quelque part, enfin ce n'est pas la preuve que j'ai mais elle peut être intéressante.

 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 19:07
Posté par otto otto

J'allais justement poster ce commentaire indépendemment de la remarque de Nightmare;
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L'existence de la racine carrée est équivalente à celle d'un log complexe continu et c'est plus facile d'aboutir à une contradiction avec  le log je pense.
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 19:08
Posté par otto otto

grrr désolé pour la balise.
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 19:10
Posté par Nightmare Nightmare 

Les grands esprits se rencontrent (phrase totalement narcissique il faut le reconnaitre)
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 19:19
Posté par otto otto

Mais je n'en attendais pas moins de toi...
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 25-08-08 à 19:34
Posté par Nightmare Nightmare 

Ok... Ca règle définitivement nos comptes.
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 27-08-08 à 02:01
Posté par Nightmare Nightmare 

Désirez vous une "correction" ?
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 27-08-08 à 23:15
Posté par amatheur22 amatheur22

Bomsoir  Nightmare

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Personnellement j'ai séché sur un contre exemple éventuel.Je suis donc désireux d'avoir un corrigé.

Merci 
 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 28-08-08 à 02:24
Posté par Nightmare Nightmare 

Salut amatheur22 : 

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Soit f : C -> C continue vérifiant les conditions.

Alors |z|=1 => |f(z)|=1.

On démontre qu'il existe une application continue k de [0,1] dans R telle que pour tout t dans [0,1], 

Alors 

On a l'existence dans p relatif telle que 

Alors pour tout t,  et ainsi 

Mais  Contradiction.

 re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 31-08-08 à 03:48
Posté par amatheur22 amatheur22

Bonjour  Nightmare

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Il me semble que c'est plutot  .En appliquant cette formule pour t=0 et t=1 ,on devrait trouver le meme résultat,ce qui n'est pas le cas (1-1) 

D'où la contradiction.
  re : Exo défi sup-spé > racine carrée complexe Posté le 31-08-08 à 12:52
Posté par Nightmare Nightmare 

Salut 

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Il un t a disparu effectivement !

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