intégrales généralisées

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f : t --> t^-a.ln(t).ArcTan(t)  est continue sur IR^+*

Intégrabilité sur ]0,1] donc en 0 :

|f(t)| = -t^-a.ln(t).ArcTan(t) ~ -ln(t)/t^a-1 = g(t)

En utilisant les intégrales de Bertrand, on montre que g, |f| donc f sont intégrables sur ]0,1] ssi a < 2

Intégrabilité sur [1,+oo[ donc en +oo :

|f(t)| = t^-a.ln(t).ArcTan(t) ~ (pi/2).t^-a.ln(t) = h(t)

En utilisant les intégrales de Bertrand, on montre que h, |f| donc f sont intégrables sur [1,+oo[ ssi a > 1

Donc par continuité de f sur IR^+*, f est intégrable sur ]0,+oo[ ssi  1 < a < 2

Et on peut même montrer que pour 1 < a < 2

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Oui pour 1<a<2,par contre j'aimerais beaucoup savoir comment tu as fait pour trouver la valeur exacte de ces intégrales.

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Le calcul, je l'ai fait avec un logiciel de calcul formel, je n'ai pas réussi à la main ...

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Peux- tu s'il te plait me donner les références de ce logiciel,et est-il possible de le télécharger gratuitement de préférence?

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Méthode : Mise sous forme canonique du dénominateur et changement de variable   pour obtenir du (u²+1)² au dénominateur. Et après ça va tous seul même si les calculs sont assez pénibles

PS : Pour le logiciel, j'utilise Mathématica une version étudiante (donc à durée de vie limitée pour ce logiciel payant).

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C'est plutot .
ton résultat est donc correct à un facteur près(une erreur de calcul certainement!)
J'ai une autre méthode moins fastidieuse à mon sens qui repose sur l'homogéneité de cette intégrale:Tu pourras par exemple remarquer que I(a,b) est une fonction polynomiale homogène de degré 2 et que I(1 ,-j)=I(1,-j²)=0(à justifier bien sur).Si le reste du calcul t'interesse ...
Sinon pour le logiciel j'ai fait une recherche google.Merci qd mme pr le tuyau.

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désolé, j'ai lu les blanké !! Pour me faire pardonner, je pense avoir trouvé comment calculer la première intégrale à la main. je n'ai pas terminé les calculs, mais j'ai bien l'impression que ça aboutit. Par contre, comme je dois m'absenter un petit moment, je ne donne que les grandes lignes. Je donnerai de plus ample détails si jamais vous le souhaitez. Dans le cas où vous ne voulez pas connaitre la méthode et chercher pour vous même, ne lisez pas le prochain blanké.

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L'idée est de remarquer que les fonctions auxquelles on a affaire se comportent bien lorsque l'on remplace t par 1/t. on découpe l'intégrale en 2, entre 0 et 1 puis entre 1 et l'infini. Par un changement de variable, on ramène le deuxième morceau sur [0,1]. On utilise alors la formule liant arctan(t) et arctan(1/t). Du coup, dans les deux intégrale que l'on obtient, on peut développer arctan en série entière et on se retrouve, modulo des arguments d'interversion (normalement ça marche) à calculer une intégrale de ln(t) multiplié par une puissance de t. On se retrouve alors avec deux séries qui se ressemble et la formule obtenue par Romain semble suggérer d'utiliser le développement en série de Fourier de la fonction x->cos(ax). ça semble se confirmer mais à un moment, il faut quand même effectuer des décompositions en éléments simples. Voilà, voilà ! à plus tard et j'espère que ça va marcher !!

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Lorsque tu utilises le développement en série de Fourier de x --> cos(ax).

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En fait, développe plutôt x -> exp(iax) en série de Fourier, même si c'est presque la même chose (après, il faut bien choisir comme tu prends ta fonction périodique)

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je suis encore bloqué car pour l'instant, j'ai presque le même résultat que toi, à la différence que j'ai un signe "moins" qui se balade et que le sinus, je l'ai au dénominateur.

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Tu as raison, le sinus est au dénominateur, faute de compréhension de Mathématica et de Csc qui doit valoir donc 1/sin.

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Il ne te reste juste qu'a revoir ton signe "moins" ! Tu y es presque chapeau.

Moi je reprends mes calculs demain

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pour le signe "moins", c'est bon c'est réglé mais j'ai toujours le sinus au dénominateur. En y regardant de plus près, j'ai l'impression que ceci est plus logique car lorsque a s'approche de 2, on doit avoir un problème mais avec le résultat que tu as écrit, lorsque a tend vers 2, ça tend vers une limite finie. Cela dit, loin de moi de douter des compétences de mathémathica !!

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ah ben, je me disais bien !!

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Effectivement,je ne me suis pas donné la peine de le vérifier.Par contre, je suis très intéressé par les détails de tes calculs.Pour la première intégrale,je n'ai pas demandé à la calculer,mais très intéressé aussi par son éventuel calcul à la main que  kaiser nous propose.

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J'en suis resté à :  I = I₁ + I₂ + I₃

avec :







Je ne vois pas comment faire intervenir le développement en série de fourier de x --> exp(iax)

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Je reprends les notations de Romain :

Tout d'abord, on utilise le développement en série entière de la fonction arctangente.
Pour tout t dans [0,1], on a :



Ainsi, on a :



et



Ensuite, grâce au théorème des séries alternées, on montre qu'il y a convergence uniforme de ces deux séries sur ]0,1[ et donc on peut intervertir l'intégrale et la somme (si besoin est, je pourrais éventuellement détailler ce passage). On a donc :




et



On est donc amené à calculer une intégrale du type où b est un réel > -1. Grâce à une IPP faisant disparaître le log, on trouve que cette intégrale vaut (on peut aussi reprendre le résultat donné par Romain dans son message précédent par l'intégrale , et non , je suppose ? )


Du coup, on obtient :




et





A présent, passons aux décompositions en éléments simples.


Je considère la fraction rationnelle (avec b un réel distinct de 1)

On sait que l'on peut écrire F sous la forme suivante (



Pour trouver , on multiplie par (X-b)² et on évalue en b.
Pour trouver , on multiplie par (X-1) et on évalue en 1.
Pour trouver , on multiplie F par X, on remplace X par une variable réelle x que l'on fait tendre vers l'infini : on obtient alors que

Ainsi,

Par suite, en remplaçant X par 2n+2 :

1) avec b=a, on a



et



2) de la même manière, mais avec b=2-a, on obtient :





d'où





C'est là où doit faire intervenir le développement en série de Fourier.

On considère donc la fonction f -périodique définie par :



(où b est un réel non entier)

Pour tout entier n, on a :



f est clairement de classe C1 par morceaux et régulière donc d'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f converge simplement vers f. En particulier, en x=0, ça converge vers f(0)=1.

Ainsi,

cette série peut être considérée comme une série de fonctions de la variable b appartenant à .
l'idée est de la dérivée en prouvant qu'on peut : la série converge en tout point et la série des dérivées est clairement normalement convergente (donc uniformément) sur tout compact inclus dans donc on peut dériver terme à terme.
En dérivant, il vient l'égalité :




par suite, en prenant b=a/2, on obtient l'égalité :



d'où le résultat !!(enfin !!)

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Merci d'avoir pris le temps de tout rédiger.

J'ai presque atteint l'étape de la décomposition de éléments simples. Enfin, j'ai bien décomposé, mais j'avais des problèmes de signes.

Mais là où je n'arrivais pas à conclure, c'était avec le développement en série de Fourier. Je me suis placé sur ]0,2pi[, j'ai pas exactement pareil. Et le pire, c'est qu'il fallait dériver le tout ensuite ... Très bien vu !!

En tout cas chapeau et merci pour la démo ( et hop, dans les favoris )

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Pour tout t dans [0,1[ :



C'est vrai aussi en 1 Ok, mais bon le développement en série entière c'est pour x dans ]-1,1[ ^^

Même si on peut prolonger en 1 en utilisant par exemple le TSA ( ou CSSA ou Théo de Leibniz ).

C'était juste pour chipoter cette magnifique démo histoire que tu vois qu'on a pris la peine de la lire !!

T'as du en mettre du temps pour tapper tout ça

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Quoique j'ai un doute, ça doit dépendre des profs, parce que sur wiki on donne bien le développement de ArcTan sur [-1,1] :

=>

Je retire donc ce que j'ai dis

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Merci !
Effectivement, ça a pris un peu de temps !
Sinon, pour l'histoire du développement série entière, effectivement, c'était peut-être un abus de langage. Enfin, bref, comme tu dis, ça doit dépendre !

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Je tiens à te remercier ne serait-ce que pour la peine de la saisie et à te féliciter pour la beauté de la démonstration et du résultat (belle formule finale).
Encore un grand merci et bravo!