Exo défi sup > corps fini, CNS de diagonalisabilité

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Polynôme minimal scindé à racines simples! mais quand apprend-on ça?

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Si f est diagonalisable on écrit sa matrice dans une base où elle est diagonale. Appelons cette dernière M.
Vu que k n'a que p éléments, d'après fermat, pour tout a€k, a^p-a=0 et donc M^p-M=0, ie f^p=f.
Réciproquement, si f^p=f alors le poly minimal de f divise X^p-X lequel est scindé à racine simple sur k=Fp. par suite le poly minimal est scindé à racines simples et f est diagonalisable.