Endomorphismes remarquables d?un espace euclidien
Agrégation : leçon 126 en Maths Générales
E désigne un espace vectoriel de dimension fini muni d'un produit scalaire et de la norme associée.
I. Endomorphismes normaux
Rappel
Soit
est appelé l'adjoint de
.
Soit
une base orthonormale de
si
alors
Proposition 1 ([M]p357-358)
et
sev de
,
stable par
alors
stable par
Proposition 3 ([G]p254)
normal ssi
Lemme 5 ([C]p157)
Si
endomorphisme normal, et si
sous espace de
stable par
alors
stable par
.
II. Endomorphismes symétriques
Définition 6
est dit symétrique ou autoadjoint si
.
est dit antisymétrique si
Exemple :
Si
,
est symétrique.
Remarque :
Si
symétrique, alors
est normal.
avec
et
Proposition 7 ([G]p240)
autoadjoint ssi la matrice de
dans une quelconque base orthonormée est symétrique.
Définition 8
est dite positive si
On note
l'ensemble des telles matrices.
est dite définie positive si
On note
l'ensemble des telles matrices.
Exemple :
Proposition 9 ([M]p359)
Soit
tel que
est un isomorphisme d'espaces vectoriels de
vers
l'ensemble des formes bilinéaires symétriques.
Théorème 10 ([G]p240)
Si
alors il existe une base orthonormée
de
, formée de vecteurs propres pour
.
Si
orthogonale telle que :
soit diagonale
Corollaire 11 ([G]p241)
Si
,
alors il existe
telle que
soit diagonale
Application :
Si
est une forme quadratique, il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice de
est diagonale.
Remarque :
On pourrait aussi réduire les endomorphismes antisymétriques par le Théorème 4.
III. Endomorphismes orthogonaux
Définition 12
est orthogonal si et seulement si il vérifie l'une de ces quatre propositions équivalentes.
l'image par
d'une base orthonormée est une base orthonormée.
On note
l'ensemble des endomorphismes de
qui sont aussi appelés isométries de
.
Remarque :
est un sous groupe de
Si
,
est normal.
est dite orthogonale si
Exemples :
Les symétries orthogonales sont des isométries.
Les matrices de permutations sont des isométries.
Les projections orthogonales ne sont pas des isométries.
Proposition 13 ([G]p252-253)
est une isométrie ssi la matrice de
dans toute base orthonormale est une matrice orthogonale.
Remarque :
Si
on a
On note
qui est un sous groupe distingué de
On définit de même
Proposition 14
et
sont des sous groupes compacts de
Proposition 15 ([G]p252-253)
Remarque :
pair
Application :
est connexe par arcs.
IV. Le groupe orthogonal
Théorème 16 ([MT]p18-19) - Décomposition polaire
Soit
est un homéomorphisme.
Application ([A]p138-140) :
sous groupe compact de
sous groupe compact maximal de
Corollaire 17
et
diagonale à valeurs propres réelles positives telles que
Proposition 18 ([C]p?) - Décomposition d'Iwasawa
Si
alors il existe un unique couple
avec
orthogonale et
triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs tel que:
Proposition 19 ([B]2.7.5 et 8.2.5.2)
Soit
un sous groupe compact de
, il existe une structure euclidienne
-invariante sur
Définition 18
une symétrie orthogonale.
Si
est appelé réflexion.
Si
est appelé renversement.
Proposition 21 ([P]p143)
est le produit d'au plus
réflexions.
Corollaire 22
est le produit d'un nombre pair de réflexions.
Proposition 23 ([P]p143)
Pour
est engendré par les renversements.
Application ([P]p148) :
est simple.
Proposition 24 (([P]p150))
Soit
.
Alors pour
et
est simple.
Proposition 25 ([P]p152)
Tout automorphisme de
est intérieur.
Remarque [P] :
est le groupe dérivé de
et si
c'est aussi celui de
.
alors
ou
avec
.
est commutatif est isomorphe à
On peut noter que le groupe
est composé de :
,
, les rotations et les produits de 3 réflexions.
Proposition 26 ([MT]p125-127)
Bibliographie
[A]: M.Alessandri "Thèmes de géométrie"
[C]: M.Cognet "Algèbre bilinéaire"
[G]: X.Gourdon "Algèbre"
[MT]: R.Mneimné, F.Testard "Groupes de Lie Classiques"
[M]: D.Monasse "Cours MP-MP
*"
[P]: D.Perrin "Cours d'algèbre"