Brevet de Technicien Supérieur
Métropole - Antilles - Guyane
Groupement C - Session 2010
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exercice 1
Les deux parties A et B peuvent-être traitées de façon indépendante.
Partie A
1. a) Résoudre l'équation différentielle : où est une fonction de la variable réelle , définie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels,
est la fonction dérivée de et est la fonction dérivée seconde de .
b) Déterminer les nombres réels et pour que la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par soit une solution de l'équation différentielle :
(E) :
c) En déduire les solutions de l'équation (E) sur l'ensemble des nombres réels.
2. Déterminer la solution de l'équation (E) qui vérifie et .
Partie B
Soit la fonction définie sur l'intervalle par .
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal d'unités graphique 2 cm.
1. a) Calculer et étudier son signe.
b) Déterminer la limite de en .
c) Dresser le tableau de variation de la fonction .
2. a Montrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe au voisinage de .
b) Étudier la position de la courbe par rapport à la droite .
c) Tracer l'asymptote et la courbe .
d) Calculer et en déduire l'aire , en cm², de la portion du plan délimitée par la courbe
, la droite et les droites d'équation et . On donnera la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au centième de l'aire .
exercice 2
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats approchés sont à arrondir à 10-2.
Une entreprise fabrique en très grande série une pièce technique de précision en matière plastique.
Les questions posées se rapportent à la mesue d'une des cotes de cette pièce.
A - Loi normale
Soit la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa cote en millimètres.
On suppose que suit la loi normale de moyenne et d'écart-type .
On qualifie de conforme toute pièce dont la cote est comprise entre 59,5 mm et 61,1 mm.
1. Dans cette question on pose . Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production soit conforme.
2. Quelle valeur faut-il donner à l?écart-type pour que la probabilité d'obtenir une pièce conforme soit égale à 0,99.
B - Loi binomiale et loi de Poisson
On admet que 95 % des pièces produites sont conformes.
On note la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 80 pièces prises au hasard dans la production, associe le nombre de pièces non conformes.
La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 80 pièces à un échantillon aléatoire prélevé avec remise.
1. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que l'on ait exactement trois pièces non conformes.
3. On considère que la loi peut-être approchée par une loi de Poisson.
a) Donner le paramètre de cette loi.
b) Calculer la probabilité d?obtenir au plus trois pièces non conformes.
1.a) Résoudre l'équation différentielle où est une fonction de la variable réelle , définie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels, est la fonction dérivée de et est la fonction dérivée seconde de .
On résout l'équation caractéristique associée à cette équation différentielle, soit :
Les solutions de l'équation différentielles sont donc du type :
, soit :
b) Déterminer les nombres réels et pour que la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par soit une solution de l'équation différentielle :
(E) :
Pour que soit une solution de (E), il faut qu'elle vérifie l'équation (E).
On a :
Donc :
En identifiant, on obtient :
On a donc :
c) En déduire les solutions de l'équation (E) sur l'ensemble des nombres réels.
En ajoutant la solution particulière trouvée à la question b à la solution générale de l'équation différentielle sans second membre trouvée à la question a, on obtient la solution générale de l'équation avec second membre (E), donc la solution de l'équation (E) sur l'ensemble est :
2. Déterminer la solution de l'équation (E) qui vérifie et .
solution de (E) donc s'écrit :
et on a :
Ainsi :
Donc :
La solution de l'équation (E) qui vérifie et est donc :
Partie B
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Soit la fonction définie sur l'intervalle par .
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal d'unités graphique 2 cm.
1.a) Calculer et étudier son signe.
Calcul de
La fonction est de la forme
avec :
On a :
Donc :
Signe de
Donc :
La fonction est donc croissante sur l'intervalle
b) Déterminer la limite de en .
Donc :
c) Dresser le tableau de variations de la fonction .
Calcul de
Tableau de variations
2. a) Montrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe au voisinage de .
Si la droite d'équation est asymptote à la courbe au voisinage de , alors on aura
Donc :
b) Étudier la position de la courbe par rapport à la droite D.
La limite trouvée en b tend vers par valeur supérieure puisque l'on a
c) Tracer l'asymptote et la courbe .
d) Calculer et en déduire l'aire , en cm², de la portion du plan délimitée par la courbe , la droite et les droites d'équation et . On donnera la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au centième de l'aire .
Calcul de
Déduction de
L'aire est l'aire en gris présentée dans la figure ci-dessous :
est au-dessus de la droite sur l'intervalle , donc :
Cette intégrale a été calculée précédemment, donc :
L'unité graphique étant de , l'unité d'aire est donc .
L'aire recherchée est donc au centième près :
Eléments complémentaires (non demandé)
On peut remarquer que l'aire demandée est égale à l'aire comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et représentée en vert ci-dessous, aire qui n'est autre que celle dont la valeur est donnée par l'intégrale suivante :
En effet, les aires en rouges ci-dessous sont égales, et les intégrales correspondantes sont égales au signe près. Nous avons donc :
Graphiquement, nous voyons donc que :
Par le calcul :
On a bien :
exercice 2
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats approchés sont à arrondir à .
Une entreprise fabrique en très grande série une pièce technique de précision en matière plastique. Les questions posées se rapportent à la mesure d'une des cotes de cette pièce.
A - Loi normale
Soit la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa cote en millimètres.
On suppose que suit la loi normale de moyenne et d'écart-type .
On qualifie de conforme toute pièce dont la cote est comprise entre 59,5 mm et 61,1 mm.
1. Dans cette question on pose . Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production soit conforme.
La probabilité qu'une pièce prélevée soit conforme sera donnée par :
Si suit une loi normale , soit , alors suit une loi normale centrée réduite et nous avons :
tel que
De ce fait :
Cette probabilité correspond à l'aire en rouge représentée dans la figure (non demandée) ci-dessous :
Or (voir figures non demandées ci-dessous) :
De plus, nous avons (voir figure (non demandé) ci-dessous) :
D'où :
La table de la loi normale centrée réduite indique :
Donc :
2. Quelle valeur faut-il donner à l'écart-type pour que la probabilité d'obtenir une pièce conforme soit égale à 0,99.
On veut :
De la même façon que le développement exposé ci-dessus, nous arrivons à :
Par lecture inverse de la table de la loi normale centrée réduite, nous obtenons :
En prenant une valeur moyenne à , nous obtenons :
B - Loi binomiale et loi de Poisson
On admet que 95 % des pièces produites sont conformes.
On note la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 80 pièces prises au hasard dans la production, associe le nombre de pièces non conformes.
La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 80 pièces à un échantillon aléatoire prélevé avec remise.
1. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Un échantillon est composé de 80 prélèvements indépendants dont l'issue pour chacun d'entre eux est :
- soit le "succès" : la pièce prélevée est non conforme,
- soit "l'échec" : la pièce prélevée est conforme, avec
des pièces sont conformes, donc ne le sont pas, on a donc :
On a donc :
2. Calculer la probabilité que l'on ait exactement trois pièces non conformes.
D'où :
3. On considère que la loi peut-être approchée par une loi de Poisson.
a) Donner le paramètre de cette loi.
est très grand et est très petit, la loi binomiale peut donc être approchée par une loi de Poisson de paramètre , on a donc :
b) Calculer la probabilité d'obtenir au plus trois pièces non conformes.
Pour avoir au plus trois pièces non conformes, il faut obtenir soit aucune pièce non conforme, soit une, soit deux ou soit trois, donc :
Publié par verdurin
le
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