Fiche de mathématiques

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Exercices étude de fonction et Dérivée

exercice 1

Soit f la fonction définie par f (x) = $\dfrac{1}{4}$ x³ - x² + 1 et (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ).

1. Étudier les variations de f.

2. On appelle A le point de (C) dont l'abscisse est 2.
    a) Déterminer une équation de la tangente (D) à (C) en A. (Écrire cette équation sous la forme y = t(x)).
    b) On pose d(x) = f(x) - t(x). Vérifier que d(x) = $\dfrac{1}{4}$ x(x - 2)².
    c) Préciser la position de la courbe (C) par rapport à la tangente (D).
    d) Dessiner (C) et (D).

exercice 2

Soient (C) et (C') les courbes d'équations respectives y = x³ - 2x + 3 et y = 2x² - 3x + 3.

1. Déterminer les coordonnées des points communs à (C) et (C').

2. Déterminer les équations des tangentes à (C) et (C') en chacun de leurs points communs.

3. Étudier les variations des fonctions : x $\mapsto$ x³ - 2x + 3 et x $\mapsto$ 2x² - 3x + 3.

4. Dessiner (C) et (C') dans le repère (O, $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ).

exercice 3

Soit f la fonction définie sur R-{2} par : f (x) = $\dfrac{\text{a}x^2+\text{b}x+\text{c}}{x-2}$ et (C) sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormal. Déterminez a, b, c pour que (C) ait les propriétés suivantes :
(C) passe par le point A(0 ; 5)
la tangente à (C) au point A est parallèle à l'axe des abscisses ;
la tangente à (C) au point B d'abscisse 1 a pour coefficient directeur -3.
Étudier les variations de la fonction f ainsi obtenue.
Tracer (C).

exercice 4

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{-x^3+5x}{x^2+3}$ et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité 1 cm.

1. a) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$ : $f (x) = ax + \dfrac{bx}{x^2+3}$ .
    b) Montrer que f est impaire. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2. Soit $f'$ la dérivée de $f$ .
    a) Montrer que $f'(x) = \dfrac{(1-x^2)(x^2+15)}{(x^2+3)^2}$ .
    b) Étudier les variations de $f$ .

3. Préciser une équation de la tangente T à la courbe C à l'origine.

4. Soit D la droite d'équation $y = - x$ .
    a) Étudier la position de C relativement à la droite D.
    b) Montrer que, pour tout $x$ non nul : $f (x) + x = \dfrac{8}{x\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}$ .
En déduire la limite de $f (x) + x$ quand $x$ tend vers + $\infty$ . Que peut-on en conclure pour la courbe C ?

5. Tracer D, T et C sur un même graphique. (On précisera les points d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses).

exercice 5

Etude d'une fonction définie sur [-2; 2] par: f (x) = x³ + 2x et C sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthogonal (O, $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ) (unités: 3 cm pour 1 sur (O, $\vec{i}$ ) et 0,5 cm pour 1 sur (O, $\vec{j}$ )).

1. f est-elle impaire?

2. Étudier les variations de f.

3. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.

4. Déduire de l'étude du signe de l'expression f (x) - 2x, la position de la courbe C par rapport à la tangente T, lorsque x varie dans [-2, 2].

5. Construire C et T après avoir déterminé les coordonnées d'une dizaine de points à l'aide d'une calculatrice programmable.

Voir la correction

exercice 1

1. Soit $f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+1$ définie sur $\mathbb{R}$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .
$f'(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x$
On étudie le signe de $f'$ puis on en déduit les variations de $f$ :
$\dfrac{3}{4}x^2-2x=0 \Longleftrightarrow x\left(\dfrac{3}{4}x-2\right)=0$
Donc $S=\left\lbrace0;\dfrac{8}{3}\right\rbrace$
$\begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -\infty & & 0 & & \frac{8}{3} & & +\infty \\ \hline \text{signe} & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \text{variations} & \niveau{1}{2} & \croit & \niveau{2}{2} & \decroit & \niveau{1}{2} & \croit & \\ \hline \end{tabvar}$
Avec :
$f(0)=1$
$f\left(\dfrac{8}{3}\right)=-\dfrac{37}{27}$

2. Soit A(2; $y$ ) $\in$ (C).
2. a) $f$ est dérivable en 2 donc (D) existe bien.
$a=2$ $f(a)=-1$ $f'(a)=-1$
Ainsi, (D) a pour équation :
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$
$y=-1(x-2)-1$
$y=-x+1$
Donc $t(x)=-x+1$

2. b) Posons $d(x)=f(x)-t(x)$
$d(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+1+x-1$
$d(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+x$
$d(x)=\dfrac{1}{4}x(x^2-4x+4)$
$d(x)=\dfrac{1}{4}x(x-2)^2$

2. c) Position relative de (C) par rapport à (D).
Il faut étudier le signe de la différence des deux fonctions $t(x)$ et $f(x)$ soit, étudier le signe de $d(x)$ .
$\begin{tabular}{|c|ccccccc|} \hline x&-\infty&&0&&2&&+\infty \\ \hline \text{signe}&&-&0&+&0&+&& \hline \end{tabular}$
Ainsi,
sur ] $-\infty$ ;0[: $f(x)-t(x)<0\Longleftrightarrow f(x)<t(x)$
sur ]0;2[ $\cup$ ]2; $+\infty$ [: $f(x)-t(x)>0\Longleftrightarrow f(x)>t(x)$

2. d)

5 exercices d'études de fonction, dérivation - première : image 8

exercice 2

Soit (C) courbe d'équation $y=x^3-2x+3$ . Posons $f(x)=x^3-2x+3$ définie sur $\mathbb{R}$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc $f'(x)=3x^2-2$ .
Soit (C') courbe d'équation $y=2x^2-3x+3$ . Posons $g(x)=2x^2-3x+3$ définie sur $\mathbb{R}$ .
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc $g'(x)=4x-3$ .

1. Déterminer les coordonnées des points communs à (C) et (C') revient à déterminer les solutions de l'équation :
$x^3-2x+3=2x^2-3x+3$
$\Longleftrightarrow x^3-2x^2+x=0$
$\Longleftrightarrow x(x^2-2x+1)=0$
$\Longleftrightarrow x(x-1)^2=0$
Ainsi, $S=\left\lbrace0;1\right\rbrace$ et (C) et (C') ont deux points communs $\alpha$ et $\beta$ d'abscisse respective 0 et 1
Calcul de leur ordonnée :
$g(0)=3$
$g(1)=2$
Les points communs à (C) et (C') sont donc $\alpha(0;3)$ et $\beta(1;2)$ .

2. Tangente à (C) en $\alpha$ :
$f$ est dérivable en 0 donc la tangente existe bien
$a=0$ ; $f(a)=3$ ; $f'(a)=-2$
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$
$y=-2x+3$ .
Tangente à (C') en $\alpha$ :
$g$ est dérivable en 0 donc la tangente existe bien.
$a=0$ ; $f(a)=3$ ; $f'(a)=-3$ [nl $]y=-3x+3$
Tangente à (C) en $\beta$ :
$f$ est dérivable en 1 donc la tangente existe bien.
$a=1$ ; $f(a)=2$ ; $f'(a)=1$
$y=x+1$
Tangente à (C') en $\beta$ :
$g$ est dérivable en 1 donc la tangente existe bien.
$a=1$ ; $f(a)=2$ ; $f'(a)=1$
$y=x+1$

3. Étude des variations de $f$ :
Soit $f(x)=x^3-2x+3$ définie sur $\mathbb{R}$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .
$f'(x)=3x^2-2$
On cherche les solutions de l'équation $f'(x)=0$ :
$\Longleftrightarrow 3x^2-2=0$
$\Longleftrightarrow 3x^2=2$
$\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{2}{3}$
$\Longleftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ou $x=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
$\begin{tabular}{|c|ccccccc|} \hline x&-\infty&&-\sqrt{\dfrac{2}{3}}&&\sqrt{\dfrac{2}{3}}&&+\infty \\ \hline \text{signe}&&+&0&-&0&+& \\ \hline \text{variation}&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&& \hline \end{tabular}$
Étude des variations de $g$ :
Soit $g(x)=2x^2-3x+3$ définie sur $\mathbb{R}$ .
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .
$g'(x)=4x-3$
On cherche les solutions de l'équation $g'(x)=0$ :
$\Longleftrightarrow 4x-3=0$
$\Longleftrightarrow 4x=3$
$\Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$
$\begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline x&-\infty&&3/4&&+\infty \\ \hline \text{signe}&&-&0&+& \\ \hline \text{variation}&&\searrow&&\nearrow&& \hline \end{tabular}$

5 exercices d'études de fonction, dérivation - première : image 9

exercice 3

Soit $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x-2}$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\lbrace2\rbrace$ .

C passe par le point A(0;5) :
$\Longleftrightarrow f(0)=5$
$\Longleftrightarrow \dfrac{a0^2+b0+c}{0-2}=5$
$\Longleftrightarrow \dfrac{c}{-2}=5$
$c=-10$

La tangente à (C) au point A(0;5) est parallèle à l'axe des abscisses :
Posons $u(x)=ax^2+bx+c$ et $v(x)=x-2$
$u'(x)=2ax+b$ $v'(x)=1$
$D_u'=\mathbb{R}$ $D_v'=\mathbb{R}$
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}\backslash\lbrace2\rbrace$ .
$f'(x)=\dfrac{(2ax+b)(x-2)-ax^2-bx-c}{(x-2)^2}=\dfrac{2ax^2-4ax+bx-2b-ax^2-bx-c}{(x-2)^2}$
$f'(x)=\dfrac{ax^2-4ax-2b-c}{(x-2)^2}$
Donc,
$f'(0)=0$
$\Longleftrightarrow \dfrac{a0^2-4a0-2b-c}{(x-2)^2}=0$
$\Longleftrightarrow \dfrac{-2b-c}{4}=0$
$\Longleftrightarrow \dfrac{-2b}{4}-\dfrac{10}{4}=0$
$\Longleftrightarrow b=5$

La tangente à (C) au point B(1; $y$ ) a pour coefficient directeur -3 :
$\Longleftrightarrow f'(1)=-3$
$\Longleftrightarrow \dfrac{a1^2-4a1-2(5)+10}{(x-2)^2}=-3$
$\Longleftrightarrow a=1$
Ainsi, on a déterminé $a$ , $b$ et $c$ pour que (C) réponde aux trois propriétés proposées. Il est possible de vérifier que l'on ne s'est pas trompé en affichant le graphique à sur la calculatrice et en vérifiant les 3 propriétés graphiquement.
Soit $f(x)=\dfrac{x^2+5x-10}{x-2}$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\lbrace2\rbrace$
$f$ est dérivable sur D_f
$f'(x)=\dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2}=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^2}$
$\begin{tabular}{|c|ccccccccc|} \hline x&-\infty&&0&&2&&4&&+\infty \\ \hline \text{signe}& &+&0&-&\|&-&0&+& \\ \hline \text{variation}&&\nearrow&&\searrow&&\searrow&&\nearrow&& \hline \end{tabular}$

5 exercices d'études de fonction, dérivation - première : image 10

exercice 4

1. a) Si $f(x)=ax+\dfrac{bx}{x^2+3}$
$f(x)=\dfrac{ax(x^2+3)+bx}{x^2+3}$
$f(x)=\dfrac{ax^3+3ax+bx}{x^2+3}$
Par identification :
$a=-1$
$3a+b=5 \Longleftrightarrow -3+b=5 \Longleftrightarrow b=8$
Donc $f(x)=-x+\dfrac{8x}{x^2+3}$

1. b) Soit $f(x)=-x+\dfrac{8x}{x^2+3}$ et D_f= $\mathbb{R}$
D_f symétrique par rapport à 0
$f(-x)=x-\dfrac{8x}{x^2+3}=-f(x)$
Donc $f$ est impaire et sa courbe représentative C est symétrique par rapport à l'origine du repère.

2. a) Soit $f(x)=\dfrac{-x^3+5x}{x^2+3}$ et D_f= $\mathbb{R}$
Posons
$u(x)=-x^3+5x$ et $v(x)=x^2+3$
$u'(x)=-3x^2+5$ $v'(x)=2x$
$D_u'=\mathbb{R}$ $D_v'=\mathbb{R}$
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$f'(x)=\dfrac{(-3x^2+5)(x^2+3)-2x(-x^3+5x)}{(x^2+3)^2}$
$f'(x)=\dfrac{-3x^4-9x^2+5x^2+15+2x^4-10x^2}{(x^2+3)^2}$
$f'(x)=\dfrac{-x^4-14x^2+15}{(x^2+3)^2}$
$f'(x)=\dfrac{(1-x^2)(x^2+15)}{(x^2+3)^2}$

2. b) Soit $f'(x)=\dfrac{(1-x^2)(x^2+15)}{(x^2+3)^2}$
$x^2+15>0$
$(x^2+3)^2>0$
$1-x^2=0 \Longleftrightarrow x=1;x=-1$
$\begin{tabular}{|c|ccccccc|} \hline x&-\infty&&-1&&1&&+\infty \\ \hline \text{signe}& &-&0&+&0&-& \\ \hline \text{variation}&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&& \hline \end{tabular}$

3. $a=0$ ; $f(a)=0$ ; $f'(a)=\dfrac{5}{3}$
$y=f'(a)(x-a)-f(a)$
$y=\dfrac{5}{3}x$

4. a) Soit D la droite d'équation $y=-x$
$f(x)+x=\dfrac{8x}{x^2+3}$
$\begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline x&-\infty&&0&&+\infty \\ \hline \text{signe}&&-&0&+&& \hline \end{tabular}$
sur ] $-\infty$ ;0[ : $f(x)-(-x)<0 \Longleftrightarrow f(x)<-x$
sur ]0; $+\infty$ [ : $f(x)-(-x)>0 \Longleftrightarrow f(x)>-x$
Il suffit de faire la différence entre C et D puis étudier le signe de l'expression ainsi obtenue.
C est en dessous de D sur ]- $\infty$ ;0[
C est au dessus de D sur ]0;+ $\infty$ [

4. b) $f(x)-(-x)=\dfrac{-x^3+5x}{x^2+3}+x$
$f(x)-(-x)=\dfrac{-x^3+5x+x^3+3x}{x^2+3}$
$f(x)-(-x)=\dfrac{8x}{x^2+3}$
$f(x)-(-x)=\dfrac{8x}{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}$
$f(x)-(-x)=\dfrac{8}{x\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}$
La limite de $f(x)-(-x)$ est nulle
D'ou la droite d'equation $y=-x$ est un asymptote de C_f

5.

5 exercices d'études de fonction, dérivation - première : image 11

exercice 5

Soit $f(x)=x^3+2x$ et D_f=[-2;2]
1.
D_f est symétrique par rapport à 0
$f(-x)=-f(x)$
Donc $f$ est une fonction impaire.

2. $f$ est dérivable sur [-2;2]
$f'(x)=3x^2+2$
$\begin{tabular}{|c|ccc|} \hline x&-2&&2 \\ \hline \text{signe}&&+& \\ \hline \text{variation}&&\nearrow&& \hline \end{tabular}$

3. Équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.
$a=0$ ; $f(a)=0$ ; $f'(a)=2$
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$
$y=2x$

4. $f(x)-x=x^3$
$\begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline x&-2&&0&&2 \\ \hline \text{signe}&&-&0&+&& \hline \end{tabular}$
sur]-2;0[ : $f(x)-2x<0 \Longleftrightarrow f(x)<2x$
sur]0;-2[ : $f(x)-2x>0 \Longleftrightarrow f(x)>2x$

5.

5 exercices d'études de fonction, dérivation - première : image 12

Publié par lolo947 le 13-01-2020

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