On considère une expérience (par exemple le jet d'un dé). L'ensemble de tous les résultats possibles est supposé fini et noté U.
(dans l'exemple, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
1. Événement
Définition
C'est l'ensemble de tous les résultats caractérisés par une même propriété lors d'une expérience.C'est une partie A de U.
Exemple : le numéro sorti lors d'un jet d'un dé est pair : A = {2, 4, 6}.
2. Événement élémentaire
Définition
C'est l'événement constitué d'un seul résultat. C'est un singleton.
Exemple : Les événements élémentaires du jet d'un dé sont {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.
3. Intersection de deux événements A et B
Définition
C'est l'événement constitué des résultats communs aux événements A et B. C'est la partie AB.
Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un nombre pair et B à l'obtention d'un multiple de 3, alors :
AB = {6}.
Remarque : repérer les « et » dans le texte. Ils caractérisent l'intersection.
4. Evénements incompatibles (ou disjoints)
Définition
Deux événements sont incompatibles si ils n'ont aucun résultat en commun, ce qui correspond à AB = Ø.
Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un nombre impair et B à l'obtention d'un multiple de 4, alors A et B sont incompatibles.
5. Réunion de deux événements
Définition
C'est l'événement constitué des résultats de l'événement A ou de l'événement B. C'est la partie AB.
Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un numéro pair et B à l'obtention d'un numéro supérieur ou égal à 3, alors : AB = {2, 3, 4, 5, 6}.
Remarques : Ne pas confondre AB, caractérisé par « ou », et AB, caractérisé par « et ».
AB contient AB.
6. Événement contraire de A
Définition
C'est l'événement constitué des résultats n'appartenant pas à A.
Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un numéro pair, alors l'événement contraire de A est :
{1, 3, 5} (obtention d'un numéro impair).
II. Probabilités
Lors d'une expérience, on cherche à mesurer par un réel la chance d'obtenir telle ou telle propriété caractérisant un événement.
Lorsque l'expérience est répétée un grand nombre de fois, ce réel peut être la fréquence de l'événement.
1. Définition
La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires composant A.
On note p(A) cette probabilité.
Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un nombre impair et si tous les numéros ont la même chance d'apparaître, alors :
p(A) = p({1}) + p({3}) + p({5}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2.
2. Propriétés
Propriété 1
p()= 0, p(U) = 1 et pour tout événement, 0p(A)1.
Remarque : Ne jamais écrire une probabilité plus grande que 1.
Propriété 2
Si A et B sont incompatibles, alors p(AB) = p(A) + p(B).
Remarques : Cette propriété entraîne que si AC, alors p(A)p(C).
Si A et B sont incompatibles lorsque l'appartenance à AB se traduit par l'appartenance à A « ou bien » à B.
Propriété 3
Si A et B sont quelconques, alors : p(AB)= p(A) + p(B) - p(AB).
Propriété 4
p(événement contraire de A) = 1 - p(A).
3. Équiprobabilité
Définition
On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Remarque : Cela correspond à une expérience où n'intervient que le hasard (dé non pipé, boules indiscernables,...).
Propriété :
Dans le cas d'équiprobabilité p(A) =(nombre de résultats dans A) / (nombre total de résultats).
Remarque : Avant d'appliquer cette formule, ne pas oublier de signaler l'équiprobabilité et l'expression du texte qui la justifie.
Publié par Tom_Pascal
le
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B = {6}.
B.
C, alors p(A)
p(C).
)= 0, p(U) = 1 et pour tout événement, 0
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