Fiche de mathématiques

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Second degré : Equation dans R

(exercices relatifs à cette fiche de cours)

exercice 1

Rappeler les formules qu'il faut connaître pour pouvoir résoudre des équations du second degré.

exercice 2

Sans utiliser de discriminant, résoudre les équations et inéquations suivantes:

a) $3x^2 + 5x = 0$
b) $9x^2 - 1 = 0$
c) $(x+1)(x-2) > 5(x+1)^2$

exercice 3

Résoudre dans

les équations suivantes:
a) $x^2-6x+5 = 0$
b) $2x^2+x+8 = 0$
c) $-x^2+6x+2 = 0$

exercice 4

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
    a)2x² + x - 15 = 0
    b)-x² + x + 2 = 0
    c)x² - $\sqrt{20}$ x + 5 = 0
    d)5x² + 3x + 2 = 0

exercice 5

Discriminant réduit
Soit l'équation ax² + 2b'x + c = 0 et soit $\delta$ ' = b'² - ac.
En utilisant les résultats de cours, discuter suivant le signe de $\delta$ ' le nombre de solutions, et, lorsqu'elles existent, exprimer celles-ci en fonction de $\delta$ ', a et b'.

exercice 6

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations :
7x² - 12x + 5 = 0 et 7x² + 12x + 5 = 0.
Comparer les solutions des deux équations.
Ne pouvait-on pas prévoir ce résultat ?

exercice 7

Trouver trois entiers consécutifs dont la somme des carrés est 509.

exercice 8

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1. x⁴ - 2x² - 8 = 0 ;

2. 3x⁴ - 11x² + 6 = 0 ;

3. 2 x + 5 $\sqrt{\text{x}}$ - 3 = 0 ;

4. $\dfrac{1}{x+4}-\dfrac{3}{3x-5}=\dfrac{7}{10-7x}+\dfrac{3}{3x+20}$ .

exercice 9

Le nombre d'or est la solution positive de l'équation $x^2 - x - 1 = 0$ ; on le note $\varphi$ .

1. Déterminer la valeur exacte de $\varphi$ .

2. Montrer que $\varphi^5 = 5\varphi + 3$ et que $\dfrac{1}{\varphi^2} = 2 - \varphi$ .

exercice 10

Équation du second degré
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1. -x² + 6x -10 = 0

2. x² + 4x - 21 = 0

3. 9x² + 6x + 1 = 0

exercice 11

Factorisation
Etudier le signe du discriminant puis factoriser si possible les expressions suivantes

1. x² + 4x -21

2. 8x² + 8x + 2

3. -3x² + 7x -8

exercice 12

Polynômes et fractions rationnelles Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 1} - \dfrac{3}{x^2 + x - 2}$ .

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ .

2. Factoriser chacun des polynômes $x^2 - 1 \text{ et } x^2 + x - 2$ .

3. a) Déterminer un dénominateur commun aux fractions rationnelles $\dfrac{2x^2}{x^2 - 1}$ et $\dfrac{3}{x^2 + x - 2}$ puis écrire $f(x)$ à l'aide d'une fraction rationnelle, notée $\dfrac{g(x)}{h(x)}$ .
b) Déterminer une racine simple du polynôme g(x).
c) Simplifier l'écriture de $f(x)$ et résoudre l'équation $f(x) = 0$ .

exercice 13

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$
indication : on pourra poser $X = x^2$

exercice 14

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $x - 5\sqrt{x} - 36 = 0$
indication : on pourra poser $X = \sqrt{x}$

Voir la correction

exercice 1

Voir cours

exercice 2

a) $3x^2+5x=0$ .
On factorise par $x$ . On obtient : $x(3x+5)=0$
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
$x=0 \text{ ou } 3x+5=0$
$x=0 \text{ ou } x=-\dfrac{5}{3}$
$S=\lbrace -\dfrac{5}{3}\;;\;0\rbrace$

b) $9x^2-1=0$ . On factorise :
$(3x-1)(3x+1)=0$
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
$3x-1=0 \text{ ou } 3x+1=0$
$x=\dfrac{1}{3} \text{ ou } x=-\dfrac{1}{3}$
$S=\lbrace -\dfrac{1}{3}\;;\;\dfrac{1}{3}\rbrace$

c) $(x+1)(x-2)>5(x+1)^2$ . On regroupe tout dans un seul membre :
$(x+1)(x-2)-5(x+1)^2>0$ . On factorise par $(x+1)$
$(x+1)(x-2-5(x+1))>0$
$(x+1)(-4x-7)>0$
Dans un premier temps, on cherche les valeurs qui annulent le produit de facteurs.
$(x+1)(-4x-7)=0$
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
$(x+1)=0 \text{ ou } (-4x-7)=0$
$x=-1 \text{ ou } x=-\dfrac{7}{4}$
Un trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de a à l'extérieur des solutions.Ici : $a=-4 <0$
donc $(x+1)(x-2)-5(x+1)^2>0$ si $-\dfrac{7}{4}<x<-1$
$S={]-\dfrac{7}{4};-1[}$
Remarque : la résolution de $(x+1)(-4x-7)>0$ pouvait se faire également à l'aide d'un tableau de signes (voir programme de seconde)

exercice 3

a) $x^2-6x+5=0$
Ce polynôme admet une racine évidente $x_1=1$
Or le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a}=5$
d'où la deuxième solution est : $x_2=5$ et $S=\lbrace1;5\rbrace \\$

b) $2x^2+x+8=0$
$\Delta <0$ donc l'équation proposée n'admet pas de solution.
$S=\emptyset$

c) $-x^2+6x+2=0$
Le discriminant est égal à : $\Delta=44$
On obtient : $x_1=\dfrac{-6-\sqrt{44}}{-2} \text{ ou } x_2=\dfrac{-6+\sqrt{44}}{-2}$ que l'on peut simplifier.
$S=\lbrace 3-\sqrt{11}\;;\;3+\sqrt{11}\rbrace$

exercice 4

Pour résoudre de telles équations du second degré, je calcule les discriminants :
a)2x² + x - 15 = 0
$\Delta$ = b² - 4ac = 1 - 4 × 2 × (-15) = 121 = 11²
Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions distinctes :
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-11}{2\times2}=-3$ $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+11}{2\times2}=\dfrac{5}{2}$
D'où : $\boxed{S = \left \lbrace -3 ; \dfrac{5}{2} \right \rbrace}$

b)-x² + x + 2 = 0
$\Delta$ = 1² - 4 × (-1) × 2 = 9 = 3²
Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions distinctes :
$x_1=\dfrac{-1-3}{-2}=2$ $x_2=\dfrac{-1+3}{-2}=-1$
D'où : $\boxed{S = \lbrace -1 ; 2 \rbrace}$

c)x² - 2 $\sqrt{5}$ x + 5 = 0
On reconnait une identité remarquable. Cela s'écrit (x- $\sqrt{5}$ )²=0
Pour cet exemple, le calcul du discriminant était donc peu indiqué. On l'aurait trouvé nul bien entendu.
D'où : $\boxed{S = \lbrace \sqrt{5} \rbrace}$

d)5x² + 3x + 2 = 0
$\Delta$ = 3² - 4 × 5 × 2 = -31
Le discriminant étant négatif, l'équation n'admet pas de solution dans $\mathbb{R}$ .
D'où : $\boxed{S = \emptyset}$

exercice 5

Soit l'équation $(E)\;:\;ax^2+2b'x+c=0$ et soit $\delta '=b'^2-ac$
On pose $b=2b'$ .

Résoudre (E) revient à résoudre l'équation $ax^2+bc+c=0$ dont le discriminant vaut
$\Delta = b²-4ac=(2b')²-4ac=b'²-4ac=4(b'²-ac)=4\delta '$
$\Delta$ et $\delta '$ sont donc de même signe.

Si $\delta ' < 0$ alors (E) n'admet pas de solution
Si $\delta ' = 0$ alors (E) admet une solution double $x_0=-\dfrac{b}{2a}= -\dfrac{-2b'}{2a}=\dfrac {-b'}{a}$
Si $\delta ' > 0$ alors (E) admet deux solutions distinctes

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b'-\sqrt{4\delta'}}{2a}=\dfrac{-2b'-2\sqrt{\delta'}}{2a}=\dfrac{-b'-\sqrt{\delta'}}{a}$
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b'+\sqrt{\delta'}}{a}$

exercice 6

1. $7x² - 12x + 5 = 0 \quad \Delta = b²-4ac = 4 =2²$ On a deux racines distinctes
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-12)-2}{14}=\dfrac 5 7 \text{ et } x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-12)+2}{14}=1$
d'où $S = \lbrace5/7 ; 1\rbrace$

2. $7x² + 12x + 5 = 0 \quad \Delta = b²-4ac = 4 =2²$ , toujours deux racines distinctes
$x_1'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-12-2}{14}=-1\text{ et } x_2'=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-12+2}{14}=\dfrac{-5}{7}$
d'où $S = \lbrace -1 ; - 5/7\rbrace$

on constate que les solutions $x_1 = - x_2', \text{ et } x_2 = - x_1'$
les discriminants sont égaux, ce qui est sans surprise puisque l'on y fait intervenir le carré de b : 12² = (-12)²
concernant les racines :
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-12)-2}{14}=-\dfrac{-12+2}{14}=-x_2'$
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-12)+2}{14}=-\dfrac{-12-2}{14}=-x_1'$
Pour les deux équations, le produit des racines était identique, et les sommes des racines étaient opposées.
A titre d'exercice, on pourrait démontrer ce constat dans le cas général c'est à dire pour des équations du type $ax²-|b|x+c=0 \quad \text{et} \quad ax²+|b|x+c=0$ , avec a, b et c réels.

exercice 7

soit n le second nombre entier : les 3 nombres s'écrivent donc n-1 ; n ; n+1
à la lecture de l'énoncé, on pose l'équation suivante : $(n-1)² + n² + (n+1)² = 509$ soit $n²-2n+1+n²+n²+2n+1 = 509$ ce qui donne $3n² = 507$ ou encore $n² = 169 = 13²$
On obtient : n = -13 ou n = 13

vérification :
(-14)² + (-13)² + (-12)² = 509 et 12² + 13² + 14² = 509. Les deux possibilités conviennent.
Conclusion : les entiers consécutifs sont donc : -14, -13, -12 d'une part et 12, 13, 14 d'autre part.

exercice 8

1. $x^4 - 2x² - 8 = 0$
on effectue un changement de variable en posant $X = x²$ ; on notera que $X\ge 0$
$x^4 - 2x² - 8 = 0 \Longleftrightarrow X² - 2X - 8 = 0$
résolvons par factorisation :
$X² - 2X - 8 = (X-1)² -1-8 = (X-1-3)(X-1+3) = (X-4)(X+2)$
$X² - 2X - 8 = 0 \Longleftrightarrow X=4 \text{ ou } X=-2$ (-2 solution non retenue car négative)
$X=4 \Longleftrightarrow x²=4 \Longleftrightarrow x = -2 \text{ ou } x = 2$ d'où $S = \lbrace-2 ;2\rbrace$
$\longrightarrow$ remarque : $x^4 - 2x² - 8 = 0$ est une équation dite bicarrée : elle ne contient que des puissances paires de l'inconnue x.

2. $3x^4 - 11x² + 6 = 0$
on effectue un changement de variable en posant $X = x²$ ; on notera que $X\ge 0$
$3x^4 - 11x² + 6 = 0 \Longleftrightarrow 3X² - 11X + 6 = 0$
Utilisons le discriminant : $\Delta = b²-4ac = 11² - 4\times3\times 6 = 49=7²$ d'où deux racines distinctes $x_1=2/3 \text{ et } x_2=3$ toutes deux positives
$X = 2/3 \Longleftrightarrow x² = 2/3 \Longleftrightarrow x = \sqrt{\dfrac{2}{3}} \text{ ou } x = -\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
$X = 3 \Longleftrightarrow x² = 3 \Longleftrightarrow x = -\sqrt 3 \text{ ou } \sqrt 3$
d'où $S = \left\lbrace -\sqrt 3 \;;\; -\sqrt{\dfrac{2}{3}} \;;\;\sqrt{\dfrac{2}{3}} \; ;\; \sqrt 3 \right\rbrace$

3. (E) : $\dfrac{1}{x+4}-\dfrac{3}{3x-5}=\dfrac{7}{10-7x}+\dfrac{3}{3x+20}$ .
on résout sur R\{-20/3 ; -4 ; 10/7 ; 5/3} (car on exclut les valeurs interdites)
on réduit au même dénominateur
$\dfrac{1}{x+4}-\dfrac{3}{3x-5}-\dfrac{7}{10-7x}-\dfrac{3}{3x+20}=0$

$\dfrac{(3x-5)(10-7x)(3x+20)-3(x+4)(10-7x)(3x+20)-7(x+4)(3x-5)(3x+20)-3(x+4)(3x-5)(10-7x)} {(x+4)(3x-5)(10-7x)(3x+20)}=0$

$\longrightarrow$ une astuce pour alléger ce calcul littéral : le numérateur est la somme de 4 termes ; on repère les facteurs communs, puis on factorise par exemple les 1er et 4ème termes d'une part,

${\red{(3x-5)(10-7x)}}(3x+20)-3(x+4){\red{(3x-5)(10-7x)}}={\red{(3x-5)(10-7x)}}[(3x+20)-3(x+4)]= 8(3x-5)(10-7x)$

puis les 2ème et 3ème termes d'autre part :

$-3{\red{(x+4)}}(10-7x){\red{(3x+20)}}-7{\red{(x+4)}}(3x-5){\red{(3x+20)}}= -{\red{(x+4)}}{\red{(3x+20)}}[3(10-7x)+7(3x-5)]=5(x+4)(3x+20)$

ainsi
$(E) \Longleftrightarrow 8 (3x-5)(10-7x) + 5 (x+4)(3x+20) = 0 \\ \phantom{(E)} \Longleftrightarrow - 153 x² + 680x = 0\\ \phantom{(E)} \Longleftrightarrow x( -153x + 680) = 0 \\ \phantom{(E)} \Longleftrightarrow x= 0 \text{ ou } x = 40/9$
Conclusion : S = {0 ; 40/9}

exercice 9

1. soit l'équation $x² - x - 1 = 0$
$\Delta = b²-4ac = (-1)²-4\times 1\times (-1) = 5 > 0$ d'où 2 racines distinctes $\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-\sqrt 5}{2} < 0 \text{ et } \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+\sqrt 5}{2} =\phi > 0$

2. a. $\phi$ est solution de l'équation $x² - x - 1 = 0$ ; donc $\phi$ ² - $\phi$ - 1 = 0, soit $\phi$ ² = $\phi$ + 1
$\phi³ =\phi* \phi² = \phi(\phi+ 1) =\phi² + \phi = \phi+1 +\phi = 2\phi+ 1$
$\phi^4 = \phi* \phi³ = \phi(2\phi+ 1) = 2\phi² + \phi = 2(\phi+1) +\phi= 3\phi+ 2$
$\phi^5 = \phi* \phi^4 = \phi(3\phi + 2) = 3\phi² + 2\phi= 3(\phi+1) + 2\phi = 5\phi + 1$

2. b.
on a établi précédemment que $\phi² =\phi + 1$
par ailleurs $\phi² - \phi- 1 = 0 \Longleftrightarrow \phi(\phi-1) = 1 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\phi}= \phi-1$
donc $(1/\phi)² = (\phi-1)² = \phi² - 2\phi + 1 = \phi + 1 - 2\phi + 1 = 2 - \phi$

exercice 10

1. $\Delta < 0$ donc l'équation $-x^2+6x-10=0$ n'admet aucune solution dans R

2. $\Delta > 0$ donc l'équation $x²+4x-21=0$ admet 2 solutions réelles $S=\lbrace -7\;;\; 3\rbrace$

3. $\Delta = 0$ donc $9x²+6x+1$ est un carré, le carré de $3x+1$
$9x²+6x+1=0\Longleftrightarrow (3x+1)²=0 \Longleftrightarrow x=-\dfrac 1 3$ et $S=\left\lbrace-\dfrac 1 3 \right\rbrace$

exercice 11

1. $\Delta$ > 0 donc x² + 4x - 21 se factorise en : (x + 7)(x - 3).

2. $\Delta = 0$ donc $8x^2 + 8x + 2$ se factorise en : $8\left(x + \dfrac{1}{2} \right)^2$

3. $\Delta$ < 0 donc -3x² + 7x -8 ne se factorise pas

exercice 12

1. $f$ n'est pas définie si les dénominateurs s'annulent, c'est-à-dire : $x^2 - 1 = 0 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} x^2 + x - 2 = 0$
$x^2 - 1 = 0 \Longleftrightarrow (x - 1)(x + 1) = 0 \Longleftrightarrow x = 1 \text{ ou } x = -1$
$x^2 + x - 2 = 0$
Calculons le discriminant : $\Delta$ = b² - 4ac = 1 - 4 × (-2) = 9
Le polynôme admet donc deux racines : $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-1 - \sqrt9}{2} = -2$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-1 + \sqrt9}{2} = 1$
Donc les deux valeurs interdites liées au polynôme $x^2 + x - 2$ sont -2 et 1.
D'où : D_f = $\mathbb{R} \backslash \lbrace -2; -1; 1 \rbrace$

2. D'après la question précédente, nous pouvons en déduire :
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$

3. a) Le dénominateur commun aux fractions rationnelles $\dfrac{2x^2}{x^2-1}$ et $\dfrac{3}{x^2+x-2}$ est donc : $(x - 1)(x + 1)(x + 2)$ , donc $f$ s'écrit également :
$f(x) = \dfrac{2x^2(x + 2)}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)} - \dfrac{3(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)}\\ f(x) = \dfrac{2x^2(x+2) - 3(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}\\ f(x) = \dfrac{2x^3+4x^2-3x-3}{(x-1)(x+1)(x+2)}$
Nous avons donc : $g(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x - 3 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} h(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)$

3. b) Une racine évidente de g est 1, car 2 + 4 - 3 - 3 = 0
g( $x$ ) est donc factorisable par $(x - 1)$ et, comme l'écriture polynômiale est unique, g peut s'écrire : $g(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)$
Déterminons a, b et c :
$(x - 1)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c\\ = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c$
Identifions les coefficients à l'aide des équations suivantes :
a = 2
b - a = 4 $\Longleftrightarrow$ b = 4 + a $\Longleftrightarrow$ b = 6
-c = -3 $\Longleftrightarrow$ c = 3
Vérifions : c - b = 3 - 6 = -3
D'où : Pour tout réel $x$ , $g(x) = (x - 1)(2x^2 + 6x + 3)$

3. c) On peut donc en déduire que $f$ s'écrit :
Pour tout réel $x$ appartenant à D_f, $f(x) = \dfrac{(x - 1)(2x^2 + 6x + 3)}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)}$ , soit $f(x) = \dfrac{2x^2 + 6x + 3}{(x + 1)(x + 2)}$

Résolvons l'équation $f(x)$ = 0 :
$f(x) = 0 \Longleftrightarrow \dfrac{2x^2 + 6x + 3}{(x+1)(x+2)} = 0$
L'ensemble de définition de cette équation est $\mathbb{R} \backslash \lbrace -1; -2 \rbrace$ .
$2x^2 + 6x + 3 = 0 \Longleftrightarrow x^2 + 3x + \dfrac{3}{2} = 0$
Utilisons la méthode du discriminant : $\Delta$ = b² - 4ac = 9 - 4 × 1 × $\dfrac{3}{2}$ = 9 - 6 = 3
Les deux racines sont donc : $x_1 = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-3-\sqrt3}{2} \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} x_2 = \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-3+\sqrt3}{2}$ .
Elles appartiennent toutes deux à l'ensemble de définition de l'équation.
D'où : les solutions de l'équation $f(x)$ = 0 sont : $\left \lbrace \dfrac{-3-\sqrt3}{2} ; \hspace{5pt} \dfrac{-3+\sqrt3}{2} \right \rbrace$

exercice 13

Posons $X = x^2$ , donc $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$ équivaut à :
$X^2 - 3X - 4 = 0$
$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$
L'équation admet donc deux solutions :
$X_1 = \dfrac{3 - 5}{2} = -1$ et $X_2 = \dfrac{3 + 5}{2} = 4$
Or $X = x^2$ , donc :
$x^2 = -1$ ou $x^2 = 4$

$x^2 = -1$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{R}$ .
$x^2 = 4$ équivaut à x = 2 ou x = -2

D'où : $\boxed{S = \lbrace-2; 2\rbrace}$

exercice 14

Posons $X = \sqrt{x}$ , $x - 5\sqrt{x} - 36 = 0$ équivaut à :
$X^2 - 5X - 36 = 0$
Calculons le discriminant : $\Delta = 25 + 4 \times 36 = 169 = 13^2$
L'équation admet donc deux solutions :
$X_1 = \dfrac{5 - 13}{2} = -4$ et $X_2 = \dfrac{5 + 13}{2} = 9$
Or $X = \sqrt{x}$ , donc :
$\sqrt{x} = -4$ ou $\sqrt{x} = 9$

$\sqrt{x} = -4$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{R}$ .
$\sqrt{x} = 9$ équivaut à x = 81

D'où : $\boxed{S = \lbrace81\rbrace}$

Publié par malou/carita le 19-10-2020

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