Fiche de mathématiques

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Vecteurs et Repérages

I. Vecteurs

Définition :

Soient A et B deux points distincts.
Le vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ se caractérise par :
   Sa direction : celle de la droite (AB) (et des parallèles à (AB)).
   Son sens : du point A au point B.
   Sa norme : la longueur du segment [AB]. Elle est notée || $\overrightarrow{\text{AB}}$ ||.

Cas particulier :
Lorsque A = B, le vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ s'appelle vecteur nul, noté $\vec{0}$ .

vecteurs et repérages - seconde : image 1

Définition :

Deux vecteurs sont égaux, s'ils ont $\left \lbrace \begin{array}{l} \text{même direction} \\ \text{même sens} \\ \text{même norme} \\ \end{array} \right.$

Propriété :

Soient A, B, C et D quatre points.
$\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} \Longleftrightarrow$ ABDC est un parallélogramme.
$\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} \Longleftrightarrow$ D est l'image du point C par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ .

vecteurs et repérages - seconde : image 5

Relation de Chasles :

Pour tous points A, B et C, on a : $\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{AC}}$ .

vecteurs et repérages - seconde : image 6

Règle du parallélogramme :

Pour tous points A, B et C, on a : $\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}$ tel que ABDC est un parallélogramme éventuellement aplati.

vecteurs et repérages - seconde : image 7

II. Colinéarité de deux vecteurs

1. Multiplication par un réel

Définition :

Soit un réel $k$ non nul et un vecteur $\vec{u}$ non nul.
Le vecteur $k\vec{u}$ se caractérise par :
   la même direction que $\vec{u}$
   $\left \lbrace \begin{array}{l} \text{le même sens de}~\vec{u}~\text{si}~k > 0 \\ \text{le sens contraire de}~\vec{u}~\text{si}~k < 0 \\ \end{array} \right.$
   La norme || $|k|.\vec{u}$ ||.

Cas particulier :
Si $k = 0$ ou si $\vec{u} = \vec{0}$ , alors $k\vec{u} = \vec{0}$ .

Propriété :

Soit $k$ et $k'$ deux réels et $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.
$(k + k') \vec{u} = k\vec{u} + k' \vec{u} \\ k(k' \vec{u}) = (kk')\vec{u} \\ k(\vec{u}+\vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$

Remarque :
Le vecteur $\overrightarrow{\text{BA}}$ opposé au vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ a même direction, même norme, mais son sens est contraire. $\overrightarrow{\text{BA}} = -\overrightarrow{\text{AB}}$

2. Vecteurs colinéaires

Définition :

Deux vecteurs sont dits colinéaires lorsqu'ils ont même direction.

Théorème :

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l'un est le produit de l'autre par un réel.
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\Longleftrightarrow \vec{v} = k\vec{u}$ avec $k \in \mathbb{R}$ .
$k$ est appelé coefficient de colinéarité.

vecteurs et repérages - seconde : image 8

Propriété :

Tout vecteur colinéaire à $\overrightarrow{\text{AB}}$ est un vecteur directeur de la droite (AB).
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont colinéaires.

vecteurs et repérages - seconde : image 9

Propriété :

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont colinéaires.

vecteurs et repérages - seconde : image 10

Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si $\overrightarrow{\text{AB}} = 2\overrightarrow{\text{AI}}$ .

vecteurs et repérages - seconde : image 11

III. Repérage dans le plan

1. Repère

Un repère du plan est constitué de trois points distincts (O ; I ; J).
O étant l'origine.
(OI) la droite représentant l'axe des abscisses.
(OJ) la droite représentant l'axe des ordonnées.

vecteurs et repérages - seconde : image 12

Ce repère est également noté $(\text{O} ; \vec{i} , \vec{j})$ avec $\vec{i} = \overrightarrow{\text{OI}}$ et $\vec{j} = \overrightarrow{\text{OJ}}$ .
$(\vec{i} , \vec{j})$ forme une base du repère.

Définition :

Dans le repère $(\text{O} ; \vec{i} , \vec{j})$ ,
les coordonnées d'un point M sont l'unique couple $(x ; y)$ vérifiant : $\overrightarrow{\text{OM}} = x\vec{i} + y\vec{j}$ .
$x$ étant l'abscisse du point M et $y$ l'ordonnée.
Les coordonnées d'un vecteur $\vec{u}$ sont l'unique couple $(x ; y)$ vérifiant : $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ .

vecteurs et repérages - seconde : image 2

$\vec{u} = 3\vec{i} + 2\vec{j}$
D'où : $\vec{u}$ a pour coordonnées (3 ; 2).

2. Coordonnées

Propriété :

Deux vecteurs sont dits égaux si et seulement si leurs coordonnées, dans un repère, sont égales.
Dans $(\text{O} ; \vec{i} , \vec{j})$ , soit $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}a' \\b' \end{pmatrix}$ , on a : $\vec{u} = \vec{v} \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}a = a'\\ b = b'\end{matrix}\right.$ .

vecteurs et repérages - seconde : image 3

$\left.\begin{matrix}\vec{u} = 3\vec{i}+2\vec{j}\\ \vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j}\end{matrix}\right\rbrace \Longleftrightarrow\vec{u}=\vec{v}$

Propriété :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs et $k$ un réel. $(\text{O} ; \vec{i} , \vec{j})$ , un repère.
Si $\vec{u} \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix}a' \\b' \end{pmatrix}$ , alors $\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix}a+a' \\ b + b'\end{pmatrix}$ et $k\vec{u}\begin{pmatrix}ka\\kb\end{pmatrix}$ .

Conséquence :
Soit dans le repère $(\text{O} ; \vec{i} , \vec{j})$ , A ( $x_A$ ; $y_A$ ) et B( $x_B$ ; $y_B$ ) deux points.
On a $\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ .

3. Vecteurs colinéaires

Propriété :

Deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & kx' \\ y & ky' \\ \end{array} \right.$ , avec $k \in \mathbb{R}$ .

Corollaire :

Deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si $xy' - x'y = 0$ .

Mémo technique :

vecteurs et repérages - seconde : image 4

Avec le produit en croix, nous avons : $xy' = x'y$ .

Propriété :

Dans un plan muni d'un repère, on a :
I milieu du segment [AB] si et seulement si les coordonnées de I vérifient : $\displaystyle{$\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}$}$

4. Repère orthonormé

Définition :

Un repère est dit orthonormé si || $\vec{i}$ || = || $\vec{j}$ || = 1 et si l'axe des ordonnées est perpendiculaire à l'axe des abscisses.

Les calculs de longueur ne se font que dans un repère orthonormé !

Propriété :

Dans un repère orthonormé, on a :
|| $\vec{u}$ || = $\sqrt{x^2+y^2}$ avec $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ .
Soient $\text{A}(x_{\text{A}} ; y_{\text{A}})$ et $\text{B}(x_{\text{B}} ; y_{\text{B}})$ , alors $\text{AB} = \sqrt{\left(x_{\text{B}} - x_{\text{A}} \right)^2 + \left(y_{\text{B}} - y_{\text{A}} \right)^2}$

Publié par Muriel le 14-04-2021

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