Fiche de mathématiques

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Les fonctions

exercice 1

f est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto 2x^2$ .
    a) Calculer les images par f des réels 0; $\sqrt{2}$ ; -4.
    b) Vérifier que $\sqrt{2}$ et - $\sqrt{2}$ ont pour image 4.
    c) Pourquoi -4 n'est-il l'image d'aucun réel ?
    d) Quels sont les réels qui ont $\dfrac{5}{4}$ pour image par f ?

exercice 2

f est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :    $x \mapsto x^2+3x+1$
    a) Calculer les images par f des réels 0; 1; - $\sqrt{3}$ ; $\frac{1}{2}$ .
    b) Trouver tous les réels qui ont pour image 1 par f.

exercice 3

    a) Quel est l'ensemble de définition de la fonction $x \mapsto x$ ?
    b) Quel est le réel pour lequel on ne peut pas calculer $\dfrac{1}{x}$ ? Donnez alors l'ensemble de définition de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ .
    c) Quels sont les réels pour lesquels on peut calculer $\sqrt{x}$ ? Donnez alors l'ensemble de définition de la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ .
    d) Compléter les phrases:
" Pour calculer $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ , on commence par calculer $\sqrt{x}$ ; il faut donc que $x$ ...........
Puis on calcule son inverse $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ ; il faut donc que $\sqrt{x} \neq 0$ , donc $x$ ................... "
Donner l'ensemble de définition de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ .

exercice 4 - Location de voiture

Une agence propose deux types de contrat de location d'une voiture pour une journée :
   Premier type : 200 francs de forfait et 1 franc par kilomètre.
   Deuxième type : 100 francs de forfait et 1,50 franc par kilomètre.
Pour x kilomètres parcourus, le prix à payer est noté f₁(x) pour le premier type de contrat, et f₂(x) pour le second.
    a) Donner les expressions de f₁(x) et f₂(x). Construire dans un même repère les représentations graphiques de ces fonctions pour x compris entre 0 et 500.
    b) Indiquer, en utilisant le graphique, le type de contrat le plus avantageux suivant le nombre de kilomètres parcourus.
    c) Retrouver et préciser ces résultats par le calcul.

exercice 5 - Géométrie

On dispose d'un carré de métal de 20cm de côté. Pour fabriquer une boîte parallélépipédique, on enlève à chaque coin un carré de côté a et on relève les bords par pliage.

cinq exercices pour poser les bases sur l'étude de fonctions - seconde : image 2

a) Exprimer le volume V = f(a) de cette boîte en fonction de a.
b) Les réels -1 et 2,3 sont-ils dans l'ensemble de définition de cette fonction f ?

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exercice 1

a) Pour tout x $\in$ $\mathbb{R}$ , $f(x)=2x^2$
$f(0)=2\times0=0\\f(\sqrt{2})=2\times(\sqrt{2})^2=2\times2=4\\f(-4)=2\times(-4)^2=2\times16=32$

b)
$f(\sqrt{2})=2\times(\sqrt{2})^2=2\times2=4\\f(-\sqrt{2})=2\times(-\sqrt{2})^2=2\times2=4$
On a donc bien $f(\sqrt{2})=f(-\sqrt{2})$

c) La fonction f associe à tout réel $x$ un réel égal à $2x^2$ . Or un carré est toujours positif, donc -4 ne peut être l'image d'aucun réel $x$ par la fonction f.

d) On cherche les $x$ tels que $f(x)=\dfrac{5}{4}$
$f(x)=\dfrac{5}{4} \Longleftrightarrow 2x^2=\dfrac{5}{4}$
Il faut donc résoudre l'équation $2x^2=\dfrac{5}{4}$
$2x^2=\dfrac{5}{4}$
$x^2=\dfrac{5}{8}$
$x=\sqrt{\dfrac{5}{8}}$ ou $x=-\sqrt{\dfrac{5}{8}}$
$x=\sqrt{\dfrac{5}{2\times4}}$ ou $x=-\sqrt{\dfrac{5}{2\times4}}$
$x=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{5}{2}}$ ou $x=-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{5}{2}}$

exercice 2

a) Pour tout réel $x$ , $f(x) = x^2 + 3x + 1$
$f(0) = 0^2 + 3\times0 + 1 = 1$
$f(1) = 1^2 + 3\times1 + 1 = 5$
$f\left(-\sqrt{3}\right) = \left(-\sqrt{3}\right)^2 + 3 \times \left(-\sqrt{3}\right) + 1 = 3 - 3\sqrt{3} + 1 = 4 - 3\sqrt{3}$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 3 \times \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2}+1 = \dfrac{1}{4}+\dfrac{6}{4}+\dfrac{4}{4} = \dfrac{11}{4}$

b) On cherche tous les réels $x$ tels que $f(x) = 1$
$f(x) = 1 \Longleftrightarrow x^2 + 3x + 1 = 1$

Résolvons donc cette équation :
x² + 3x + 1 = 1
x² + 3x = 0
x (x + 3) = 0
x = 0 ou x = -3

exercice 3

a) La fonction f : $x \mapsto x$ est définie pour tout $x$ réel. On a donc :
D_f = $\mathbb{R}$

b) Le réel $\dfrac{1}{x}$ ne peut pas être calculé pour $x = 0$ . L'ensemble de définition de la fonction f : $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est donc :
D_f = ] - $\infty$ ; 0 [ $\cup$ ] 0 ; + $\infty$ [

c) On peut calculer $\sqrt{x}$ pour tout réel $x \ge 0$ . L'ensemble de définition de la fonction f : $x \mapsto \sqrt{x}$ est donc :
D_f = [ 0 ; + $\infty$ [

d) Pour calculer $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ , on commence par calculer $\sqrt{x}$ ; il faut donc que $x$ soit positif ou nul.
Puis on calcule son inverse $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ ; il faut donc que $\sqrt{x} \neq 0$ , donc $x$ doit être strictement positif.
La fonction f : $x \mapsto$ $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ est donc définie sur ] 0 ; + $\infty$ [.

exercice 4

a) Soit x le nombre de kilomètres effectués. Soit f(x) le prix total en francs.

f₁(x) = Prix Forfait + Prix Kilométrage
f₁(x) = Prix Forfait + Prix au Kilomètre × Nombre de Kilomètres

f₁(x) = 200 + x

De la même manière :

f₂(x) = 100 + 1,50x

b) Raisonnement graphique

cinq exercices pour poser les bases sur l'étude de fonctions - seconde : image 12

Jusqu'à 200 km, c'est le contrat 2 qui est le plus avantageux (la droite de f₂(x) est en dessous ce celle de f₁(x)).
Au delà de 200 km, c'est le contrat 1 qui devient plus avantageux (la droite de f₁(x) est en dessous de celle de f₂(x)).

c) Raisonnement par le calcul
Dans quel intervalle de x a-t-on f₁(x) < f₂(x) (contrat 1 plus avantageux) ?
$f_1(x) < f_2(x)$
$f_1(x) - f_2(x) < 0$
$(200 + x) - (100 + 1,5x) < 0$
$200 + x - 100 - 1,5x < 0$
$100 - 0,5x < 0$
$0,5x > 100$
$x > \dfrac{100}{0,5}$
$x > 200$

On voit donc bien que le contrat 1 est plus avantageux que le deux pour x > 200 (distance parcourue supérieure à 200km)

Pour montrer que f₂(x) est plus avantageux que f₁(x) pour x < 200, on procède de la même façon que précédemment.

exercice 5

a) Le volume de la boîte parallélépipédique est donné par :
V = L × l × h
avec L = l = 20 - 2a et h = a

V = a.(20 - 2a)²
V = a.(20² - 2 × 20 × 2a + (2a)²)
V = 4a³ - 80a² + 400a

b) a étant une longueur, on ne peut pas avoir a < 0. Donc -1 n'est pas dans l'ensemble de définition de V = f(a)

De même, d'un point de vue "physique", a ne peut pas être supérieur à 10 cm. 2,3 appartient donc à l'ensemble de définition de V = f(a)
L'ensemble de définition de V = f(a) est :
D_f = ]0 ; 10[

Publié par Tom_Pascal le 18-05-2019

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