Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Métropole - La Réunion - Mayotte - Session Septembre 2010

Durée de l'épreuve : 2 h 00 Coefficient : 1
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.

I - Activités numériques	12 points
II - Activités géométriques	12 points
III - Problème	12 points
Qualité de rédaction et de présentation	4 points

12 points

Activités numériques

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte.
Une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève aucun point.
Recopier le numéro de chaque question et la réponse exacte correspondante.

1.	$\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4}\times \dfrac{1}{2}$ est égal à	$- \dfrac{2}{4}$	$- \dfrac{2}{8}$	$\dfrac{1}{8}$
2.	L'écriture scientifique de 0,0000549 est	5,49	$549 \times 10^7$	$5,49 \times 10^{-5}$
3.	Le nombre $\left(5\sqrt{2}\right)^2$ est égal à	10	50	100
4.	Une voiture parcourt 230 km en 2 h 30 min. Sa vitesse moyenne est	100 km/h	60 km/h	92 km/h
5.	$f(x) = 2x^2 - 5x + 3$ . L'image de $- 3$ par $f$ est	36	- 36	-6

exercice 2

Deux compositions de meubles sont exposées en magasin, la première au prix de 234 € et la deuxième au prix de 162 €.

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Septembre 2010 - troisième : image 1

Quel est le prix de la composition ci-dessous ? Expliquer la démarche suivie.

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Septembre 2010 - troisième : image 2

exercice 3

A	B
$x$	$x^2 + x - 2$
-5	18
-4,5	13,75
-4	10
-3,5	6,75
-3	4
-2,5	1,75
-2	0
-1,5	-1,25
-1	-2
-0,5	-2,25
0	-2
0,5	-1,25
1	0
1,5	1,75
2	4
2,5	6,75
3	10
3,5	13,75
4	18
4,5	22,75
5	28

On a calculé, en colonne B, les valeurs prises par l'expression $x^2 + x - 2$ pour les valeurs de $x$ inscrites en colonne A.

On souhaite résoudre l'équation d'inconnue $x$ :
$x^2 + x - 2 = 4$
1. Margot dit que le nombre 2 est solution.
A-t-elle raison? Justifier la réponse.

2. Léo pense que le nombre 18 est solution.
A-t-il raison ? Justifier la réponse.

3. Peut-on trouver une autre solution ?
Justifier la réponse.

12 points

Activités géométriques

exercice 1

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Septembre 2010 - troisième : image 3

Les droites (AD) et (BE) se coupent en C.

1. Démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.

2. En déduire que le triangle ABC est rectangle.

exercice 2

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Septembre 2010 - troisième : image 4

Un fabricant de cheminées contemporaines propose une cheminée pyramidale de base le carré ABCD, de côté 120 cm.
H est le centre du carré.
La hauteur [SH] de la pyramide mesure 80 cm.}

1. Le fabricant place sous la cheminée une plaque de fonte. Cette plaque a la forme d'un pavé droit de base ABCD et d'épaisseur 1 cm.
    a) Justifier que son volume est 14 400 cm³.
    b) La masse volumique de la fonte est 6,8 g/cm³. Quelle est la masse de cette plaque de fonte ?

2. Dans cette question, on ne demande aucune justification géométrique.
On désigne par I le milieu du segment [AB].
    a) Dessiner à l'échelle $\dfrac{1}{10}$ le triangle SHI puis le triangle SAB représentant une des faces latérales de la pyramide.
    b) Ces faces latérales sont en verre. Quelle est l'aire totale de la surface de verre de cette cheminée ?

12 points

Problème

Une commune étudie l'implantation d'une éolienne dans le but de produire de l'électricité.

Partie 1 : Courbe de puissance d'une éolienne

La puissance fournie par l'éolienne dépend de la vitesse du vent.
Lorsque la vitesse du vent est trop faible, l'éolienne ne fonctionne pas.
Lorsque la vitesse du vent est trop importante, par sécurité, on arrête volontairement son fonctionnement.

Pour le modèle choisi par la commune, on a tracé la courbe représentant la puissance fournie, en kW, en fonction de la vitesse du vent en m/s.

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Septembre 2010 - troisième : image 5

Source : www.WINDPOWER.org
1. Utiliser ce graphique pour répondre aux questions suivantes :
    a) Quelle vitesse le vent doit-il atteindre pour que l'éolienne fonctionne ?
    b) Indiquer une vitesse du vent pour laquelle la puissance de l'éolienne est au moins 200 kW.
    c) La puissance fournie par cette éolienne est-elle proportionnelle à la vitesse du vent ? Justifier la réponse.

2. On arrête l'éolienne lorsque le vent souffle à plus de 25 m/s. Exprimer cette vitesse en km/h.

Partie 2 : Étude de la vitesse du vent

On a relevé la vitesse du vent en m/s toutes les minutes pendant une année de 365 jours.
Le nombre de relevés étant trop important, la série est présentée par les éléments suivants :

minimum	1^er quartile	médiane	3^ème quartile	maximum
0 m/s	4 m/s	6,2 m/s	14,6 m/s	28,4 m/s

1. Pendant combien de temps peut-on estimer que le vent a soufflé à moins de 6,2 m/s durant l'année ?

2. Expliquer pourquoi on peut considérer que l'éolienne n'a pu fonctionner faute de vent suffisant pendant une durée totale de trois mois.

3. Combien la série contient-elle de relevés ?

Partie 3 : Puissance et longueur de pales

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Septembre 2010 - troisième : image 6

Les trois pales d'une éolienne décrivent un disque en tournant.
On considère que la longueur des pales est le rayon de ce disque.

1. a) Calculer l'aire de ce disque avec des pales de 44 m.
b) Même question avec des pales de 66 m.

2. On admet que la puissance de l'éolienne est proportionnelle à l'aire du disque décrit par les pales.
Par quel nombre va-t-on multiplier la puissance fournie si on utilise des pales de 66 m au lieu de 44 m ?

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Activités numériques

exercice 1

1. Réponse : $\dfrac{1}{8}$
car : $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{5 \times 1}{4 \times 2}$ $= \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{6}{8} - \dfrac{5}{8} = \fbox{\dfrac{1}{8}}$

2. Réponse : 5,49 × 10^-5
car : 0,000 0549 = 5,49 × 10^-5

3. Réponse : 50
$\left(5\sqrt{2}\right)^2 = 5^2 \times \left(\sqrt{2}\right)^2 = 25 \times 2 = 50$

4. Réponse : 92 km/h
car : La voiture parcourt 230 km en 2 h 30 min, soit en 150 min.
En 60 min (= 1 h), elle parcourt : $\dfrac{60 \times 230}{150} = 92 \text{ km}$
En 1 heure, elle parcourt 92 km.
Sa vitesse moyenne est 92 km/h.

5. Réponse : 36
car : $f(-3) = 2 \times (-3)^2 - 5 \times (-3) + 3 = 2 \times 9 + 15 + 3 = 18 + 15 + 3 = 36$

exercice 2

Soit $x$ le prix d'une partie en pointillés,
soit $y$ le prix d'une partie hachurée.
La première composition est composée de deux parties en pointillés et de deux parties hachurées. Elle coûte 234 €. On a donc : $2 x + 2 y = 234$
La deuxième composition est composée d'une partie en pointillés et de trois parties hachurées. Elle coûte 162 €. On a donc : $x + 3 y = 162$
On obtient alors le système suivant : $\left \lbrace \begin{array}{l} 2 x + 2 y = 234\\ x + 3 y = 162 \end{array}$
ou encore $\left \lbrace \begin{array}{l} x + y = 117 (1)\\ x + 3 y = 162 (2) \end{array}$ (en divisant les deux membres de l'équation par 2).
Résolvons ce système par substitution : à l'aide de l'équation (1), on a : $x = 117 - y$ .
En remplaçant $x$ par $117 - y$ dans l'équation (2), on obtient :
$117 - y + 3 y = 162 \\ 117 + 2 y = 162 \\ 2 y = 162 - 117 \\ 2 y = 45 \\ y = \dfrac{45}{2} \\ y = 22,5$
Donc : $x = 117 - y = 117 - 22,5 = 94,5$
Une partie en pointillés coûte 94,50 € et une partie hachurée coûte 22,50 €.
Dans la composition du troisième meuble, on a trois parties en pointillés et deux parties hachurées. Il coûte donc :
3 × 94,50 + 2 × 22,50 = 328,50
Le prix de la composition est de 328,50 €.

exercice 3

1. D'après le tableau, pour $x = 2$ , l'expression $x^2 + x - 2$ est égale à 4.
Donc Margot a raison, le nombre 2 est solution.

2. Pour $x = 18$ , on a : $x^2 + x - 2 = 18^2 + 18 - 2 = 340$
Or 340 $\neq$ 4, donc Léo n'a pas raison.

3. D'après le tableau, pour $x = -3$ , l'expression $x^2 + x - 2$ est égale à 4.
On peut donc trouver une autre solution : -3.

Activités géométriques

exercice 1

1. Les points B, C, E d'une part et A, C, D d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a : $\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$
et $\dfrac{CE}{CB} = \dfrac{14}{12} = \dfrac{14 \times 1}{14 \times 3} = \dfrac{1}{3}$
Donc : $\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB}$ , donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DE) et (AB) sont parallèles.

2. On sait que les droites (DE) et (AB) sont parallèles et que les droites (AD) et (DE) sont perpendiculaires.
Or si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Donc : les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires.
Le triangle ABC est donc rectangle en A.

exercice 2

1. a) $V = L \times \ell \times h = 120 \times 120 \times 1 = 14 400$
Le volume du pavé droit de base ABCD est de 14 400 cm³.

1. b) La masse volumique de la fonte est de 6,8 g pour 1 cm³.
La plaque a un volume de 14 400 cm³.
Sa masse est : 6,8 × 14 400 = 97 920 g.
D'où : la masse de la plaque en fonte est de 97 920 g, soit 97,92 kg.

2. a) Triangle SHI :
SHI est un triangle rectangle en H, avec SH = 80 cm et HI = $\dfrac{1}{2}$ AD = 60 cm.
A l'échelle $\dfrac{1}{10}$ , 80 cm sont représentés par 8 cm et 60 cm par 6 cm.

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Septembre 2010 - troisième : image 7

Triangle SAB :
SAB est un triangle isocèle en S avec AB = 120 cm.
A l'échelle $\dfrac{1}{10}$ , 120 cm sont représentés par 12 cm.
On reporte la longueur SI à l'aide du triangle précédent.

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2. b) Aire de la surface de verre = 4 × A_SAB
avec $A_{SAB} = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{AB \times SI}{2} = \dfrac{120 \times SI}{2}$

Déterminons SI :
Dans le triangle SHI rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
SI² = SH² 9 HI²
SI² = 80² + 60²
SI² = 10 000
Donc $SI = \sqrt{10000}$
SI = 100 cm

Donc : $A_{SAB} = \dfrac{120 \times SI}{2} = \dfrac{120 \times 100}{2} = 6000 \text{ cm}^2$
D'où : l'aire de la surface de verre : 4 × 6000 = 24 000 cm².

Problème

Partie 1 : Courbe de puissance d'une éolienne

1. a) pour que l'éolienne fonctionne, la vitesse du vent doit d'être d'au moins 4 m/s.

1. b) Pour une vitesse du vent de 10 m/s, la puissance de l'éolienne est au moins 200 kW.

1. c) Tous les points du graphique ne sont pas alignés.
Donc la puissance fournie par cette éolienne n'est pas proportionnelle à la vitesse du vent.

2. 25 m = 0,025 km.
En 1 s, le vent parcourt 0,025 km.
En 1 h (soit 3 600 s), le vent parcourt : 3 600 × 0,025 = 90 km.
La vitesse est de 90 km/h.

Partie 2 : Étude de la vitesse du vent

1. On peut estimer que le vent a soufflé à moins de 6,2 m/s pendant la moitié de l'année.

2. $\dfrac{1}{4} \times 12 = 3$
Le premier quartile correspond à trois mois de l'année. Il est égal à 4 m/s. (d'après le graphique, lorsque la vitesse du vent est inférieure à 4 m/s, l'éolienne ne fonctionne pas).
Donc pendant 3 mois de l'année, l'éolienne n'a pas pu fonctionner.

3. On a relevé la vitesse du vent en m/s toutes les minutes pendant une année de 365 jours.
24 × 60 × 365 = 525 600
La série contient 525 600 relevés.

Partie 3 : Puissance et longueur de pales

1. a) Aire du disque = $\pi \times R^2 = \pi \times 44^2 = 1936 \pi \approx 6 082$ m².
L'aire de ce disque avec des pales de 44 m est d'environ 6 082 m².

1. b) Aire du disque = $\pi \times R^2 = \pi \times 66^2 = 4356 \pi \approx 13 685$ m².
L'aire de ce disque avec des pales de 44 m est d'environ 13 685 m².

2. $\dfrac{A_{66}}{A_{4}} = \dfrac{4356 \pi}{1936 \pi} = \dfrac{9}{4}$
On multipliera la puissance par $\dfrac{9}{4}$

Publié par TP/Oceane le 26-07-2011

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