Fiche de mathématiques

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Familles numériques sommables

Dans tout ce chapitre : $K=\mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$

I. Ensembles dénombrables

Définition :

Un ensemble $D$ est dit dénombrable ssi il est équipotent à $\mathbb{N}$ .
Il est dit au plus dénombrable ssi il est équipotent à une partie de $\mathbb{N}$ .

Rappels :
Deux ensembles $E$ et $F$ sont dits équipotents s'il existe une bijection $f : E \longrightarrow F$ .
Si $\mathcal{E}$ est un ensemble d'ensembles, alors la relation d'équipotence sur $\mathcal{E}$ est une relation d'équivalence.

Exemples :
1) Soit $\mathcal{P}$ (resp. $\mathcal{J}$ ) l'ensemble des entiers naturels pairs (resp. impairs).
Les applications $\begin{array}{rccl} f : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathcal{P} \\ & n & \longrightarrow & 2n \end{array}$ et $\begin{array}{rccl}f: & \mathbb{N} & \longrightarrow& \mathcal{J}\\ & n & \longrightarrow & 2n+1 \end{array}$ sont des bijections.
Donc $\mathcal{P}$ et $\mathcal{J}$ sont dénombrables.
2) Tout ensemble fini est au plus dénombrable car il est équipotent à une partie de $\mathbb{N}$ de la forme $\ldbrack1,n\rdbrack \: \left(n \in \mathbb{N}\right).$

Remarque :
Si $D$ est un ensemble dénombrable (resp. au plus dénombrable) alors tout ensemble $\Delta$ équipotent à $D$ est dénombrable (resp. au plus dénombrable).

Théorème :

Soit $P$ une partie infinie de $\mathbb{N}$ . Alors :
$P$ est dénombrable.
Soit $\sigma : \mathbb{N} \longrightarrow P$ tel que : $\left \lbrace \begin{array}{l} \sigma(0)=\min P \\ \forall n>0 , \sigma(n)=\min(P\backslash \lbrace \sigma(0),\cdots , \sigma(n-1) \rbrace ) \end{array} \right.$
Alors $\sigma$ est l'unique bijection strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $P$ .

Corollaire :

Soit $D$ un ensemble.
Alors $D$ est au plus dénombrable ssi $D$ est fini ou dénombrable.

Proposition :

Soit $D$ un ensemble.
S'il existe une application injective $f:D\longrightarrow \mathbb{N}$ , alors $D$ est au plus dénombrable.
S'il existe une application surjective $g: \mathbb{N} \longrightarrow D$ , alors $D$ est au plus dénombrable.

Exemple :
Soit $\begin{array}{rccl}f: & \mathbb{N}^2 & \longrightarrow& \mathbb{N}\\ & (n,m) & \longrightarrow & 2^n\times3^m \end{array}$
f est injective par unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
$\mathbb{N}^2$ est au plus dénombrable, et comme il est infini, il est dénombrable.

Théorème :

Toute réunion d'une suite d'ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.
Toute réunion d'une suite d'ensembles au plus dénombrables est un ensemble au plus dénombrable.

Théorème :

Soit $D$ un ensemble. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
$D$ est au plus dénombrable.
Il existe une suite $(D_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de parties finies de $D$ tq : $\left \lbrace \begin{array}{l} (\forall n\in\mathbb{N}) \, : \, D_n \subset D_{n+1} \\ \displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}} D_n = D \end{array} \right.$

Exemple :
$D = \mathbb{Z}$
$D_n = \ldbrack-n,n\rdbrack$ (avec : $n \in \mathbb{N}^*$ )
On a :
$\mathbb{Z} = \displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}} D_n$
$D_n \subset\mathbb{Z}$ , $D_n$ fini.
$D_n \subset D_{n+1}$
$\mathbb{Z}$ est au plus dénombrable et puisque $\mathbb{Z}$ est infini, $\mathbb{Z}$ est dénombrable.

II. Familles sommables de réels positifs

$I$ est un ensemble au plus dénombrable.

Définition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille de réels positifs indexée par $I$ .
On dit que $(a_i)_{i\in I}$ est sommable ssi $\left \lbrace \displaystyle \sum_{i\in J}a_i / J\subset I, J \text{ fini} \right \rbrace$ est majoré dans $\mathbb{R}$ .
Dans ce cas, la borne supérieure de cet ensemble est appelée la somme de la famille $(a_i)_{i\in I}$ et notée $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i$ .

Notation :
$\mathcal{F}(I)$ désigne l'ensemble de toutes les parties finies de $I$ .
Ainsi : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \sup_{J\in \mathcal{F}(I)} \left(\displaystyle \sum_{i\in J} a_i\right)$ si la famille est sommable.

Exemples :
Exemple 1 : Soit $I = \mathbb{N}^*^2 \, , \, (i,j)\in I \, , \, a_{ij}=\dfrac{1}{i^2\times j^2}$
Soit $J\in\mathcal{F}(I)$ ; il existe $N\in\mathbb{N}^*$ tq : $J \subset \ldbrack1,N\rdbrack^2$
En effet, soit $(i,j) \in J$ , $k = (i,j)\in\mathbb{N}^{*}^2 = \displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}^*} \ldbrack 1,n\rdbrack^2$ .
$\exists n_k \in \mathbb{N}$ tq $k \in \ldbrack1,n_k\rdbrack^2$
Soit $N = \max_{k\in J}( n_k)$ , $N$ existe car $J$ est fini.
On a $k = (i,j)\in J$ .
On a : $\left \lbrace \begin{array}{l} 1 \leq i \leq n_k \leq N \\ 1\leq j \leq n_k \leq N \end{array} \right.$ d'où : $k=(i,j) \in \ldbrack 1,N \rdbrack^2$
On conclut : $J\subset \ldbrack1,N\rdbrack^2$ (ce qui fallait démontrer)

Soit maintenant $N$ un tel entier :
$\displaystyle \sum_{(i,j)\in \ldbrack1,N\rdbrack^2} \frac{1}{i^2 \times j^2} = \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{i^2\times j^2}\right) = \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2} \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j^2}\right) = \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right) \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j^2}\right) = \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2$ , de plus, on sait que $\displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}$ converge.
Posons : $S$ sa somme. $\forall J\in \mathcal{F}(I)$ , $\displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}\leq S^2$ .
Donc : $(a_{ij})_{(i,j)\in I}$ est sommable et $\displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}\leq S^2$ .
Montrons que : $S^2 = \displaystyle \sum_{(i,j)\in I} a_{ij} = \sup_{J\in \mathcal{F}(I)} \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}$ .
$S^2$ est déjà un majorant de l'ensemble : $A = \left\lbrace \displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij} \, / \, J\in\mathcal{F}(I) \right \rbrace$ .
Soit $\epsilon > 0 \, ; \, \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2}\right)^2 \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}S^2$ , et comme $\left(\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2}\right)^2\right)_n$ est croissante.
Alors : $S^2 = \sup \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2$
Posons donc : $N \in \mathbb{N}^*$ tq : $S^2 - \epsilon < \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2$ , d'où $S^2 - \epsilon < \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{i^2\times j^2}$
C'est-à-dire : $S^2 - \epsilon < \displaystyle \sum_{(i,j) \in \ldbrack1,N\rdbrack^2} a_{ij} \in A$ .
Donc : $\displaystyle \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*}^{2}} \frac{1}{i^2\times j^2} = S^2$ .

Exemple 2 : $I=\mathbb{Z} \, , \, a_i = e^{-i}$
Soit $J_n = \ldbrack-n,0\rdbrack \, , \, J_n \in \mathcal{F}(\mathbb{Z})$
On a : $\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i = \sum_{i=-n}^{0} e^{-i} = \sum_{i=0}^n e^i \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} +\infty$
Donc : $A= \left \lbrace \displaystyle \sum_{i\in J} a_i \: / \: J\in\mathcal{F}(\mathbb{Z}) \right \rbrace$ n'est pas majoré.
Donc $(e^{-i})_{i\in\mathbb{Z}}$ n'est pas sommable.

Remarques :
1) Soit $(a_i)_i$ une famille de réels positifs sommable, alors : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i \geq 0$ .
Si $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = 0$ , $\forall J\in\mathcal{F}(I) \: : \: 0\leq \displaystyle \sum_{i\in J} a_i \leq 0$
D'où $\forall J\in\mathcal{F}(I) \: : \: \displaystyle \sum_{i\in J} a_i = 0$ .
En particulier : $\forall j \in I \: : \: \displaystyle \sum_{i\in\lbrace j\rbrace } a_i=0$ , ie : $\forall j \in I \: : \: a_j=0$ .
Réciproquement, si la famille est nulle, elle est sommable de somme 0.
Conclusion : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = 0$ ssi $\forall i \in I \, , \, a_i = 0$ .
2) Toute sous famille d'une famille de réels positifs sommable est elle-même sommable de somme plus petite.

Théorème :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_i)_{i\in I}$ deux familles de réels positifs tq : $\forall i \in I \: : \: a_i \leq b_i$ . Alors :
Si $(b_i)_{i\in I}$ est sommable, il en est de même de $(a_i)_{i\in I}$ et on a : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i \leq \displaystyle \sum_{i\in I} b_i$ .
Si $(a_i)_{i\in I}$ n'est pas sommable, il en est de même de $(b_i)_{i\in I}$ .

Exemples :
Exemple 1 : $I = \mathbb{N}^{*}^2 \, , \, a_{ij} = \dfrac{2}{i^4+j^4}$
Pour tout $(i,j)\in \mathbb{N}^{*2}$ , on a : $i^4+j^4 \geq 2i^2\times j ^2$
D'où : $a_{ij} \leq \dfrac{1}{i^2\times j^2} = b_{ij}$
Comme $(b_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*2}}$ est sommable (d'après un exemple précédent), on a : $(a_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*2}}$ est sommable.

Exemple 2 : $\left(\dfrac{ln(i+2)}{i}\right)_{i\in\mathbb{N}^*}$
On a : $\dfrac{1}{i} \leq \dfrac{\ln(i+2)}{i} \: \forall i \in \mathbb{N}^*$ .
$\left(\dfrac{1}{i}\right)_{i\in \mathbb{N}^*}$ est non sommable.
On en déduit que : $\left(\dfrac{\ln(i+2)}{i}\right)_{i\in \mathbb{N}^*}$ est non sommable.

Proposition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_i)_{i\in I}$ deux familles de réels positifs indexée par $I$ sommables. Soit $c\in \mathbb{R}$ . Alors :
$(a_i+b_i)_{i\in I}$ est sommable et $\displaystyle \sum_{i\in I} (a_i+b_i) = \displaystyle \sum_{i\in I} (a_i) + \displaystyle \sum_{i\in I} (b_i)$ .
$(ca_i)_{i\in I}$ est sommable et $\displaystyle \sum_{i\in I} ca_i = c \displaystyle \sum_{i\in I} a_i$ .

Théorème :

Soit $(J_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite croissante de parties finies de $I$ tq $\displaystyle \bigcup_{n\in \mathbb{N}} J_n= I$ .
Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille de réels positifs. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
$(a_i)_{i\in I}$ est sommable.
La suite réelle $\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right)_n$ est majorée.
La suite réelle $\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right)_n$ est convergente.
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n}a_i\right) = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \left(\displaystyle \sum_{i\in J_n}a_i\right)$

Exemple :
$I = \mathbb{N}^{*2} \, , \, a_{ij}=\dfrac{1}{(i+j)^r}$ avec : $r \in \mathbb{R}$ donné.
Soit $J_n=\lbrace (i,j)\in\mathbb{N}^{*2} \, / \, i+j\leq n\rbrace$ . On a :
$(J_n)$ est croissante.
$\forall n \, , \, J_n \in \mathcal{F}(\mathbb{N}^*^2)$ et $\bigcup_{n} J_n = \mathbb{N}^*^2$
$\displaystyle \sum_{(i,j)\in J_n} a_{ij} = \displaystyle \sum_{k=2}^n \left(\begin{array}{l} \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2} \\ i+j=k \end{array} \dfrac{1}{(i+j)^r}\right)$ $= \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^r}\left(\begin{array}{l} \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2} \\ i+j=k \end{array} 1\right) = \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^r} .Card\lbrace (i,j)\in \mathbb{N}^{*2} / i+j=k\rbrace = \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{k-1}{k^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{k-1}{k^r}$ .
Or, $\displaystyle \frac{n-1}{n^r} \underset{n\to+\infty}{\sim} \frac{1}{n^{r-1}}$
Donc : $(a_{ij})_{(i,j)}$ sommable $\Longleftrightarrow \displaystyle \sum \frac{n-1}{n^r}$ converge $\Longleftrightarrow r - 1 > 1 \Longleftrightarrow r > 2$ .
En outre dans ce cas : $\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2}} \dfrac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{(i,j)\in J_n} \frac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k-1}{k^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k-1}{k^r}$ .
Soit : $\zeta : x \longrightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x}$ , $D_{\zeta} = ]1,+\infty[$ d'après la règle de Riemann.
Alors : $\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2}} \dfrac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{k^{r-1}} -\frac{1}{k^r} \right) = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{r-1}} - \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{r}} = \zeta(r-1) - \zeta(r)$ .
La fonction $\zeta$ est appelée la fonction Zéta de Riemann.

Rappel :
On dit que $(J_n)$ est une suite exhaustive de $\mathbb{N}$ ssi :
$J_n$ est une partie finie de $\mathbb{N}$ .
$J_n\subset J_{n+1}$ .
$\bigcup J_n = \mathbb{N}$ .

Proposition :

Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels positifs.
Alors $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est sommable ssi la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n$ converge .
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ .

Proposition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille dénombrable de réels positifs, soit $\sigma : \mathbb{N} \longrightarrow I$ une bijection .
Alors $(a_i)_{i\in I}$ est sommable ssi $\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_{\sigma(n)}$ converge.
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}$ .

Corollaire :

Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels positifs, soit $\sigma$ une permutation de $\mathbb{N}$ .
On a alors : $\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n$ converge ssi $\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_{\sigma(n)}$ , et dans ce cas : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}$ .

III. Famille sommable d'éléments de K (cas général)

1. Sommabilité

Définition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille d'éléments de $K$ indexée par $I$ .
On dit que $(a_i)_{i\in I}$ est sommable ssi $(|a_i|)_{i\in I}$ est sommable en tant que famille de réels positifs.

Exemples :
1) $I = \mathbb{N}^*^2 \, ; \, a_{ij}=\dfrac{(-1)^i}{(i+j)^} (r>2)$
$|a_{ij}| = \dfrac{1}{(i+j)^r}$ et $r>2$ ; d'après un exemple précédent : $(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2}}$ est sommable.
2) $I = \mathbb{Z}^* \, ; \, a_n = \dfrac{e^{in}}{n^2}$
On a : $|a_n|=\dfrac{1}{n^2}$ , donc $(a_n)_{n\in\mathbb{Z}^{*}}$ est sommable.

Remarques :
Toute famille finie d'éléments de $K$ est sommable.
Toute famille presque nulle d'éléments de $K$ est sommable.
Toute sous famille d'une famille sommable d'éléments de $K$ est, elle-même sommable.

Proposition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille d'éléments de $K$ et $(b_i)_{i\in I}$ une famille de réels positifs indexée par le même $I$ tq :
$(\forall i \in I) \: : \: |a_i|\leq b_i$ . Alors :
Si $(b_i)_{i\in I}$ est sommable, il en est de même de $(a_i)_{i\in I}$ .
Si $(a_i)_{i\in I}$ est non sommable, il en est de même de $(b_i)_{i\in I}$ .

Remarque :
On note $\ell^1(I)$ l'ensemble des familles sommables d'éléments de $K$ indexés par $I$ .
$\ell^1(I) \neq \varnothing$ car il contient la famille nulle.
$\ell^1(I) \subset K^I$ .
$\ell^1(I)$ est stable par combinaison linéaire.
$\ell^1(I)$ est un $K$ -ev, sev de $K^I$ .

Proposition :

Soit $(z_p)_{p\in I}$ une famille des nombres complexes indexée par $I$ et soit $a_p = \mathfrak{Re}(z_p)$ et $b_p = \mathfrak{Im}(z_p)$ .
Alors $(z_p)_{p\in I}$ est sommable ssi $(a_p)_{p\in I}$ et $(b_p)_{p\in I}$ sont sommables.

2. Somme d'une famille sommable

Théorème - Définition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille sommable d'éléments de $K$ . Soit $(J_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite exhaustive de $I$ , alors :
La suite $\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i \right)$ est convergente dans $K$ .
La limite de cette suite ne dépend pas du choix de $(J_n)_{n\in \mathbb{N}}$ , on l'appelle la somme de la famille $(a_i)_{i\in I}$ , on la note $\displaystyle \bigsum_{i\in I} a_i$ .

Remarque :
En général : $(a_i)_{i\in I}$ sommable $\Rightarrow \left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right)$ converge.
La réciproque est fausse en général .

Contre-exemple :
Soit $I = \mathbb{N} \, , \, a_i = \dfrac{(-1)^i}{i+1}$ et $J_n = \ldbrack0,n\rdbrack$
$(J_n)$ est exhaustive de $\mathbb{N}$ .
$\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i \right) = \left(\displaystyle \sum_{i=0}^N \dfrac{(-1)^1 }{i+1}\right)$ converge (critère des séries alternées).
Or, $\left(|a_i|\right)_{i\in\mathbb{N}}$ n'est pas sommable car $\sum \dfrac{1}{n+1}$ diverge.
Donc $(a_i)_{i\in\mathbb{N}}$ n'est pas sommable.

Proposition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_i)_{i\in I}$ deux familles sommables d'éléments de $K$ et soit $\lambda \in\mathbb{R}$ . Alors :
$(\lambda a_i + b_i)_{i\in I}$ est sommable.
$\displaystyle \sum_{i\in I} \left(\lambda a_i+b_i\right) = \lambda \displaystyle \sum_{i\in I} a_i + \displaystyle \sum_{i\in I} b_i$

Proposition :

Soit $(z_k)_{k\in \mathbb{N}}$ une famille de nombres complexes. On pose : $a_k = \mathfrak{Re}(z_k)$ et $b_k = \mathfrak{Im}(z_k)$ . Alors :
$(z_k)_{k\in \mathbb{N}}$ est sommable ssi $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ et $(b_k)_{k\in \mathbb{N}}$ sont sommables.
Si $(z_k)_{k\in \mathbb{N}}$ est sommable, on a : $\displaystyle \sum_{k\in I} a_k = \displaystyle \sum_{k\in I} a_k + i \displaystyle \sum_{k\in I} b_k$

Proposition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille sommable d'éléments de $K$ . Alors :
$|\displaystyle \sum_{i\in I} a_i | \leq \displaystyle \sum_{i\in I} |a_i|$

Théorème :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_i)_{i\in I}$ deux familles d'éléments de $K$ tq : $(a_i ^2)_{i\in I}$ et $(b_i ^2)_{i\in I}$ sont sommables.
Alors : $(\bar{a_i} b_i)_{i\in I}$ est sommable.
De plus, dans ce cas : $|\displaystyle \sum_{i\in I} \bar{a_i} b_i | \leq \left(\displaystyle \sum_{i\in I} |a_i|^2\right)^{1/2}\left(\displaystyle \sum_{i\in I} |b_i|^2\right)^{1/2}$

Théorème :

Soit $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $K$ . Alors la suite $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est sommable ssi la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n$ converge absolument.
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ .

Proposition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille d'éléments de $K$ , soit $\sigma : \mathbb{N} \longrightarrow I$ une bijection.
Alors $(a_i)_{i\in I}$ est sommable ssi : $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{\sigma(n)}$ converge absolument.
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}$

Corollaire :

Soit $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $K$ et $\sigma$ une permutation de $\mathbb{N}$ . Alors :
$\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n$ converge absolument ssi $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{\sigma(n)}$ converge absolument.
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}$ .

IV. Suites doubles sommables

Théorème :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n$ et $\displaystyle \sum_{n\geq 0 } b_n$ deux séries absolument convergentes.
Alors la suite double $(a_n b_m)_{(n,m)\in\mathbb{N}^2}$ est sommable et on a : $\displaystyle \sum_{(n,m)\in\mathbb{N}^2} a_n b_m = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right)\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right)$ .

Théorème : "d'interversion des sommations"

Soit $(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2}$ une suite double de réels positifs. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
$(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2}$ est sommable.
$\left \lbrace \begin{array}{l} \forall i\in\mathbb{N} \, , \, \displaystyle \sum_{j\geq 0}a_{ij} \text{ convege. } \\ \displaystyle \sum_{i\geq 0} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} a_{ij}\right) \: \text{ converge.} \end{array} \right.$
$\left \lbrace \begin{array}{l} \forall j\in\mathbb{N} \, , \, \displaystyle \sum_{i\geq 0}a_{ij} \text{ convege. } \\ \displaystyle \sum_{j\geq 0} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} a_{ij}\right) \text{ converge.} \end{array} \right.$
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} a_{ij} = \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{ij}\right) = \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right)$ .

Théorème de "Fubini" :

Soit $(a_{ij})_{(i,j) \in \mathbb{N}^2}$ une suite double d'éléments de $K$ . Alors si $(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2}$ est sommable, on a :
$\left \lbrace \begin{array}{l} \forall i\in\mathbb{N} \, , \, \displaystyle \sum_{j\geq 0}a_{ij} \text{ converge absolument.} \\ \displaystyle \sum_{i\geq 0} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} a_{ij}\right) \text{ converge absolument.} \end{array} \right.$
$\left \lbrace \begin{array}{l} \forall j \in\mathbb{N} \, , \, \displaystyle \sum_{i\geq 0}a_{ij} \text{ converge absolument.} \\ \displaystyle \sum_{j\geq 0} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right) \text{ converge absolument.} \end{array} \right.$
$\displaystyle \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} a_{ij} = \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{ij}\right) = \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right)$ .

Remarque :
La réciproque du théorème de Fubini est fausse en général.

Exemple :
Soient $a,b \in\mathbb{C} \, ; \, |U_{ij}| = \dfrac{a^ib^j}{(i+j)!}$
On a : $|U_{ij}| \leq \dfrac{|a|^i}{i!}\dfrac{|b|^j}{j!}$
On sait que : $\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{|a|^n}{n!} \text{ et } \displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{|b|^n}{n!}$ sont deux séries à termes positifs convergentes.
Donc $(U_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2}$ est sommable.
$\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{(i,j)\in A_n} \frac{a^ib^j}{(i+j)!}$ avec $A_n = \lbrace (i,j)\in\mathbb{N}^2/i+j\leq n\rbrace$ .
Donc : $\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\ti+\infty} \displaystyle \sum_{k=0} \left(\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2/ i+j = k} \frac{a^ib^j}{(i+j)!}\right) = \displaystyle \lim_{n\ti+\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \left(\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2/ i+j=k} a^ib^j\right)$
Si $a \neq b$ :
On a : $b^{k+1} - a^{k+1} = (b - a) \displaystyle \sum_{i=0}^k a^i b^{k-i} = (b - a) \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2 / i+j=k} a^i b^j$
$\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{(b-a)k!} = \frac{1}{b-a}\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{k!} = \frac{be^b-ae^a}{b-a}$ .
Si $a = b$ :
$\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \dfrac{a^i b^j}{(i+j)!} = \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \dfrac{a^{i +j}}{(i+j)!} = (a+1)e^a$ .

Contre-exemple :
Considérons la famille $(u_{m,n})_{(m,n)\in\mathbb{N} \times \mathbb{N}}$ définie par $u_{m,n} = \dfrac{1}{m^2-n^2}$ si $m \neq n$ et $u_{n,n} = 0$ .
Il est clair que pour $m$ fixé la série $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} u_{m,n}$ est convergente et que pour $n$ fixé la série $\displaystyle \sum_{m\in\mathbb{N}} u_{m,n}$ est convergente.
On a $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{0,n} = \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} < 0$
Soit $m > 0$ . Comme $\dfrac{1}{m^2-n^2} = \dfrac{1}{2m(m+n)}+\dfrac{1}{2m(m-n)}$ et comme $\dfrac{1}{2m(m+n)} + \dfrac{1}{2m(m-(2m+n))} = 0$ , on voit que $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n} = -\frac{3}{4m^2}$ car dans la somme les seuls termes qui ne s'annulent pas deux à deux sont $\dfrac{-1}{2m^2}$ et $\dfrac{-1}{4m^2}$ . Ceci montre que la série $\displaystyle \sum_{m\in\mathbb{N}} \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n}\right)$ est convergente et que $\displaystyle \sum_{m=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n}\right) < 0$ .
Mais on a $u_{m,n} = -u_{n,m}$ pour tout couple $(m,n)$ , donc $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{m=0}^\infty u_{m,n}\right) > 0$ et on voit que dans ce cas
$\displaystyle \sum_{m=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n}\right) \neq \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{m=0}^\infty u_{m,n}\right)$

V. Groupements de termes

Les séries envisagées dans ce paragraphe sont à termes dans un evn $E$ .

Définitions générales :

Soient $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ une série et $\sigma : \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}$ une extractrice (application linéaire strictement croissante). Notons pour tout $n\in\mathbb{N} \: : \: v_n = \displaystyle \sum_{k = \sigma(n)}^{\sigma(n+1)-1} u_k$ .
On dit que la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n$ a été obtenue par groupement de termes à partir de la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ .
Les $v_n$ sont appelés les paquets et $\sigma(n+1) - \sigma(n)$ est appelée la longueur du paquet $v_n$ .

Nous nous intéressons ici aux liens éventuels entre les natures de $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ et $\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n$ et, dans le cas de convergence, aux liens éventuels entre leurs sommes.

Proposition :

Si $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ converge, alors $\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n$ converge et : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n = \displaystyle \sum_{k=\sigma(0)}^{+\infty} u_k$ .

Remarque :
La réciproque de cette proposition est fausse en général.
Cette proposition n'est pas pratique car elle suppose que $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ converge déjà.

Théorème : "de groupement de termes" :

Avec les notations précédentes :
Si $\left \lbrace \begin{array}{l} u_n \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0 \\ \left(\sigma(n+1) - \sigma(n)\right)_{n\in\mathbb{N}} \text{ est bornée} \end{array} \right.$ , alors les séries $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ et $\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n$ sont de même nature et, dans le cas de convergence, on a : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n = \displaystyle \sum_{k=\sigma(0)}^{+\infty} u_k$ .

Remarque :
Si la longueur des paquets n'est pas bornée, il se peut que $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ diverge et $\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n$ converge.

Exemple :
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \cdots$
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ diverge d'après la proposition précédente, puisque la série groupée ainsi :
$1 + \left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\right) - \cdots$ diverge.
Et $\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n = \left(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + \cdots$ qui converge.

Publié par Panter le 16-07-2024

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