Familles numériques sommables
Dans tout ce chapitre :
I. Ensembles dénombrables
Définition :
Un ensemble

est dit
dénombrable ssi il est équipotent à

.
Il est dit
au plus dénombrable ssi il est équipotent à une partie de

.
Rappels :
Deux ensembles

et

sont dits équipotents s'il existe une bijection

.
Si

est un ensemble d'ensembles, alors la relation d'équipotence sur

est une relation d'équivalence.
Exemples :
1) Soit

(resp.

) l'ensemble des entiers naturels pairs (resp. impairs).
Les applications

et

sont des bijections.
Donc

et

sont dénombrables.
2) Tout ensemble fini est au plus dénombrable car il est équipotent à une partie de

de la forme
Remarque :
Si

est un ensemble dénombrable (resp. au plus dénombrable) alors tout ensemble

équipotent à

est dénombrable (resp. au plus dénombrable).
Théorème :
Soit

une partie infinie de

. Alors :

est dénombrable.
Soit

tel que :
Alors

est l'unique bijection strictement croissante de

dans

.
Corollaire :
Soit

un ensemble.
Alors

est au plus dénombrable ssi

est fini ou dénombrable.
Proposition :
Soit

un ensemble.
S'il existe une application injective

, alors

est au plus dénombrable.
S'il existe une application surjective

, alors

est au plus dénombrable.
Exemple :
Soit
f est injective par unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.

est au plus dénombrable, et comme il est infini, il est dénombrable.
Théorème :
Toute réunion d'une suite d'ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.
Toute réunion d'une suite d'ensembles au plus dénombrables est un ensemble au plus dénombrable.
Théorème :
Soit

un ensemble. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :

est au plus dénombrable.
Il existe une suite
_{n\in\mathbb{N}})
de parties finies de

tq :
Exemple :

(avec :

)
On a :

,

fini.

est au plus dénombrable et puisque

est infini,

est dénombrable.
II. Familles sommables de réels positifs

est un ensemble au plus dénombrable.
Définition :
Soit
_{i\in I})
une famille de réels positifs indexée par

.
On dit que
_{i\in I})
est sommable ssi

est majoré dans

.
Dans ce cas, la borne supérieure de cet ensemble est appelée la somme de la famille
_{i\in I})
et notée

.
Notation :
)
désigne l'ensemble de toutes les parties finies de

.
Ainsi :
} \left(\displaystyle \sum_{i\in J} a_i\right))
si la famille est sommable.
Exemples :
Exemple 1 : Soit
Soit
)
; il existe

tq :
En effet, soit
 \in J)
,
\in\mathbb{N}^{*}^2 = \displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}^*} \ldbrack 1,n\rdbrack^2)
.

tq
Soit
)
,

existe car

est fini.
On a
\in J)
.
On a :

d'où :
On conclut :

(ce qui fallait démontrer)
Soit maintenant

un tel entier :
\in \ldbrack1,N\rdbrack^2} \frac{1}{i^2 \times j^2} = \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{i^2\times j^2}\right) = \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2} \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j^2}\right) = \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right) \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j^2}\right) = \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2)
, de plus, on sait que

converge.
Posons :

sa somme.
)
,
\in J} a_{ij}\leq S^2)
.
Donc :
_{(i,j)\in I})
est
sommable et
\in J} a_{ij}\leq S^2)
.
Montrons que :
\in I} a_{ij} = \sup_{J\in \mathcal{F}(I)} \sum_{(i,j)\in J} a_{ij})
.

est déjà un majorant de l'ensemble :
\in J} a_{ij} \, / \, J\in\mathcal{F}(I) \right \rbrace )
.
Soit
^2 \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}S^2)
, et comme
^2\right)_n)
est croissante.
Alors :
Posons donc :

tq :
^2)
, d'où
C'est-à-dire :
 \in \ldbrack1,N\rdbrack^2} a_{ij} \in A)
.
Donc :
\in \mathbb{N}^{*}^{2}} \frac{1}{i^2\times j^2} = S^2)
.
Exemple 2 :
Soit
On a :
Donc :
 \right \rbrace )
n'est pas majoré.
Donc
_{i\in\mathbb{Z}})
n'est pas sommable.
Remarques :
1) Soit
_i)
une famille de réels positifs sommable, alors :

.
Si

,
D'où
 \: : \: \displaystyle \sum_{i\in J} a_i = 0)
.
En particulier :

, ie :

.
Réciproquement, si la famille est nulle, elle est sommable de somme 0.
Conclusion : 
ssi

.
2) Toute sous famille d'une famille de réels positifs sommable est elle-même sommable de somme plus petite.
Théorème :
Soit
_{i\in I})
et
_{i\in I})
deux familles de réels positifs tq :

. Alors :
Si
_{i\in I})
est sommable, il en est de même de
_{i\in I})
et on a :

.
Si
_{i\in I})
n'est pas sommable, il en est de même de
_{i\in I})
.
Exemples :
Exemple 1 :
Pour tout
\in \mathbb{N}^{*2})
, on a :
D'où :
Comme
_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*2}})
est sommable (d'après un exemple précédent), on a :
_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*2}})
est sommable.
Exemple 2 :
On a :
}{i} \: \forall i \in \mathbb{N}^*)
.
_{i\in \mathbb{N}^*})
est non sommable.
On en déduit que :
}{i}\right)_{i\in \mathbb{N}^*})
est non sommable.
Proposition :
Soit
_{i\in I})
et
_{i\in I})
deux familles de réels positifs indexée par

sommables. Soit

. Alors :
_{i\in I})
est sommable et
 = \displaystyle \sum_{i\in I} (a_i) + \displaystyle \sum_{i\in I} (b_i))
.
_{i\in I})
est sommable et

.
Théorème :
Soit
_{n\in \mathbb{N}})
une suite croissante de parties finies de

tq

.
Soit
_{i\in I})
une famille de réels positifs. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
_{i\in I})
est sommable.
La suite réelle
_n)
est majorée.
La suite réelle
_n)
est convergente.
De plus, dans ce cas :
Exemple :
^r})
avec :

donné.
Soit
\in\mathbb{N}^{*2} \, / \, i+j\leq n\rbrace )
. On a :
)
est croissante.
)
et
\in\mathbb{N}^{*2} \\ i+j=k \end{array} 1\right) = \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^r} .Card\lbrace (i,j)\in \mathbb{N}^{*2} / i+j=k\rbrace = \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{k-1}{k^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{k-1}{k^r})
.
Or,
Donc :
_{(i,j)})
sommable

converge

.
En outre dans ce cas :
\in\mathbb{N}^{*2}} \dfrac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{(i,j)\in J_n} \frac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k-1}{k^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k-1}{k^r})
.
Soit :

,
![D_{\zeta} = ]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D_{\zeta} = ]1,+\infty[)
d'après la règle de Riemann.
Alors :
\in\mathbb{N}^{*2}} \dfrac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{k^{r-1}} -\frac{1}{k^r} \right) = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{r-1}} - \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{r}} = \zeta(r-1) - \zeta(r))
.
La fonction

est appelée la fonction
Zéta de Riemann.
Rappel :
On dit que
)
est une suite exhaustive de

ssi :

est une partie finie de

.

.

.
Proposition :
Soit
_{n\in\mathbb{N}})
une suite de réels positifs.
Alors
_{n\in\mathbb{N}})
est sommable ssi la série

converge .
De plus, dans ce cas :

.
Proposition :
Soit
_{i\in I})
une famille dénombrable de réels positifs, soit

une bijection .
Alors
_{i\in I})
est sommable ssi
})
converge.
De plus, dans ce cas :
})
.
Corollaire :
Soit
_{n\in\mathbb{N}})
une suite de réels positifs, soit

une permutation de

.
On a alors :

converge ssi
})
, et dans ce cas :
})
.
III. Famille sommable d'éléments de K (cas général)
1. Sommabilité
Définition :
Soit
_{i\in I})
une famille d'éléments de

indexée par

.
On dit que
_{i\in I})
est sommable ssi
_{i\in I})
est sommable en tant que famille de réels positifs.
Exemples :
1)
^r})
et

; d'après un exemple précédent :
_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2}})
est sommable.
2)
On a :

, donc
_{n\in\mathbb{Z}^{*}})
est sommable.
Remarques :
Toute famille finie d'éléments de

est sommable.
Toute famille presque nulle d'éléments de

est sommable.
Toute sous famille d'une famille sommable d'éléments de

est, elle-même sommable.
Proposition :
Soit
_{i\in I})
une famille d'éléments de

et
_{i\in I})
une famille de réels positifs indexée par le même

tq :
 \: : \: |a_i|\leq b_i)
. Alors :
Si
_{i\in I})
est sommable, il en est de même de
_{i\in I})
.
Si
_{i\in I})
est non sommable, il en est de même de
_{i\in I})
.
Remarque :
On note
)
l'ensemble des familles sommables d'éléments de

indexés par

.
 \neq \varnothing)
car il contient la famille nulle.
 \subset K^I)
.
)
est stable par combinaison linéaire.
)
est un

-ev, sev de

.
Proposition :
Soit
_{p\in I})
une famille des nombres complexes indexée par

et soit
)
et
)
.
Alors
_{p\in I})
est sommable ssi
_{p\in I})
et
_{p\in I})
sont sommables.
2. Somme d'une famille sommable
Théorème - Définition :
Soit
_{i\in I})
une famille sommable d'éléments de

. Soit
_{n\in \mathbb{N}})
une suite exhaustive de

, alors :
La suite
)
est convergente dans

.
La limite de cette suite ne dépend pas du choix de
_{n\in \mathbb{N}})
, on l'appelle la somme de la famille
_{i\in I})
, on la note

.
Remarque :
En général :
_{i\in I})
sommable
)
converge.
La réciproque est fausse en général .
Contre-exemple :
Soit
^i}{i+1})
et
)
est exhaustive de

.
 = \left(\displaystyle \sum_{i=0}^N \dfrac{(-1)^1 }{i+1}\right))
converge (critère des séries alternées).
Or,
_{i\in\mathbb{N}})
n'est pas sommable car

diverge.
Donc
_{i\in\mathbb{N}})
n'est pas sommable.
Proposition :
Soit
_{i\in I})
et
_{i\in I})
deux familles sommables d'éléments de

et soit

. Alors :
_{i\in I})
est sommable.
Proposition :
Soit
_{k\in \mathbb{N}})
une famille de nombres complexes. On pose :
)
et
)
. Alors :
_{k\in \mathbb{N}})
est sommable ssi
_{k \in \mathbb{N}})
et
_{k\in \mathbb{N}})
sont sommables.
Si
_{k\in \mathbb{N}})
est sommable, on a :
Proposition :
Soit
_{i\in I})
une famille sommable d'éléments de

. Alors :
Théorème :
Soit
_{i\in I})
et
_{i\in I})
deux familles d'éléments de

tq :
_{i\in I})
et
_{i\in I})
sont sommables.
Alors :
_{i\in I})
est sommable.
De plus, dans ce cas :
Théorème :
Soit
_{n\in \mathbb{N}})
une suite d'éléments de

. Alors la suite
_{n\in \mathbb{N}})
est sommable ssi la série

converge absolument.
De plus, dans ce cas :

.
Proposition :
Soit
_{i\in I})
une famille d'éléments de

, soit

une bijection.
Alors
_{i\in I})
est sommable ssi :
})
converge absolument.
De plus, dans ce cas :
Corollaire :
Soit
_{n\in \mathbb{N}})
une suite d'éléments de

et

une permutation de

. Alors :

converge absolument ssi
})
converge absolument.
De plus, dans ce cas :
})
.
IV. Suites doubles sommables
Théorème :
Soit

et

deux séries absolument convergentes.
Alors la suite double
_{(n,m)\in\mathbb{N}^2})
est sommable et on a :
\in\mathbb{N}^2} a_n b_m = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right)\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right))
.
Théorème : "d'interversion des sommations"
Soit
_{(i,j)\in\mathbb{N}^2})
une suite double de réels positifs. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
_{(i,j)\in\mathbb{N}^2})
est sommable.
De plus, dans ce cas :
 \in \mathbb{N}^2} a_{ij} = \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{ij}\right) = \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right))
.
Théorème de "Fubini" :
Soit
_{(i,j) \in \mathbb{N}^2})
une suite double d'éléments de

. Alors si
_{(i,j)\in\mathbb{N}^2})
est sommable, on a :
 \in \mathbb{N}^2} a_{ij} = \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{ij}\right) = \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right))
.
Remarque :
La réciproque du théorème de Fubini est fausse en général.
Exemple :
Soient
On a :
On sait que :

sont deux séries à termes positifs convergentes.
Donc
_{(i,j)\in\mathbb{N}^2})
est sommable.
\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{(i,j)\in A_n} \frac{a^ib^j}{(i+j)!})
avec
\in\mathbb{N}^2/i+j\leq n\rbrace )
.
Donc :
Si
:
On a :
\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{(b-a)k!} = \frac{1}{b-a}\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{k!} = \frac{be^b-ae^a}{b-a})
.
Si
:
\in\mathbb{N}^2} \dfrac{a^i b^j}{(i+j)!} = \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \dfrac{a^{i +j}}{(i+j)!} = (a+1)e^a)
.
Contre-exemple :
Considérons la famille
_{(m,n)\in\mathbb{N} \times \mathbb{N}})
définie par

si

et

.
Il est clair que pour

fixé la série

est convergente et que pour

fixé la série

est convergente.
On a
Soit

. Comme
}+\dfrac{1}{2m(m-n)})
et comme
} + \dfrac{1}{2m(m-(2m+n))} = 0)
, on voit que

car dans la somme les seuls termes qui ne s'annulent pas deux à deux sont

et

. Ceci montre que la série
)
est convergente et que
 < 0)
.
Mais on a

pour tout couple
)
, donc
 > 0)
et on voit que dans ce cas
V. Groupements de termes
Les séries envisagées dans ce paragraphe sont à termes dans un evn

.
Définitions générales :
Soient

une série et

une extractrice (application linéaire strictement croissante). Notons pour tout
}^{\sigma(n+1)-1} u_k)
.
On dit que la série

a été obtenue par groupement de termes à partir de la série

.
Les

sont appelés les paquets et
 - \sigma(n))
est appelée la longueur du paquet

.
Nous nous intéressons ici aux liens éventuels entre les natures de

et

et, dans le cas de convergence, aux liens éventuels entre leurs sommes.
Proposition :
Si

converge, alors

converge et :
}^{+\infty} u_k)
.
Remarque :
La réciproque de cette proposition est fausse en général.
Cette proposition n'est pas pratique car elle suppose que

converge déjà.
Théorème : "de groupement de termes" :
Avec les notations précédentes :
Si
 - \sigma(n)\right)_{n\in\mathbb{N}} \text{ est bornée} \end{array} \right.)
, alors les séries

et

sont de même nature et, dans le cas de convergence, on a :
}^{+\infty} u_k)
.
Remarque :
Si la longueur des paquets n'est pas bornée, il se peut que

diverge et

converge.
Exemple :

diverge d'après la proposition précédente, puisque la série groupée ainsi :
 + \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\right) - \cdots)
diverge.
Et
 + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + \cdots)
qui converge.