Fiche de mathématiques

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Les nombres complexes

I- Généralités

1- Présentation de $\Large \mathbb{C}$

Définition

L'ensemble $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ muni des lois de composition internes :
$\bullet (x, y) + (x' , y') = (x + x' , y + y') \\\bullet (x, y)(x', y') = (xx' - yy' , xy' + x'y)$
est un corps appelé corps des nombres complexes et noté $\mathbb{C}$ .

Remarque :
Dans $\mathbb{C}$ , on définit :
Le zéro : $(0,0)$
L'unité : $(1,0)$

Définition : "L'unité imaginaire d'Euler"

L'élément $(0,1)$ qui vérifie : $(0,1)(0,1) = (-1,0)= -1_{\mathbb{C}}$ est appelé l'unité imaginaire d'Euler.
On notera dorénavant $i$ à la place de $(0,1)$ .

On a : $i^2 = -1_{\mathbb{C}}$ .

Opposé et inverse d'un élément :
$(-x,-y)$ est l'opposé de $(x,y)$
$\left(\dfrac{x}{x^2+y^2} , \dfrac{-y}{x^2+y^2} \right)$ est l'inverse de $(x,y) \neq (0,0)$

Injection canonique de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$
$\bullet$ L'application $\begin{array}{rcccl} \phi&:&\mathbb{R}&\to& \mathbb{C}\\ & &x &\mapsto &(x,0)\end{array}$ est un morphisme injectif de corps.
$\bullet$ $( \mathbb{R} , + , \times)$ est isomorphe au sous-corps $\mathbb{C}^'$ $=\lbrace (x,0) / x \in \mathbb{R} \rbrace$ de $\mathbb{C}$ .
$\bullet$ On convient alors d'identifier un élément $(x,0)$ de $\mathbb{C}^'$ à l'élément $x$ de $\mathbb{R}$ . On écrira donc $x$ au lieu de $(x,0)$ . En particulier :
$\circ\text{ } 0$ à la place de $0_{\mathbb{C}} = (0,0)$ .
$\circ\text{ } 1$ à la place de $1_{\mathbb{C}} = (1,0)$ .
$\bullet$ D'après ce qui précède, on convient de dire que $\mathbb{R}$ est inclus dans $\mathbb{C}$ et on note : $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$
Il est important de noter que l'identification de $(x,0)$ avec $x$ n'a de sens que parce qu'il existe l'injection $\phi$ définie ci-dessus. Ainsi, lorsque l'on écrit " $x = (x,0)$ " , l'injection $\phi$ est sous-entendue, l'écriture correcte étant $\phi(x) =(x,0)$ . On dit aussi de manière abusive que $\mathbb{R}$ est une partie de $\mathbb{C}$ et on note $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ , là encore, l'injection $\phi$ est sous-entendue. Nous devrions écrire $\phi(\mathbb{R}) \subset \mathbb{C}$ et dire " on identifie $\mathbb{R}$ à une partie de $\mathbb{C}$ via l'injection canonique $\phi$ ", mais par habitude, on conserve toujours les notations normales (sans noter le $\phi$ à chaque fois).

Forme algébrique d'un nombre complexe :
Soit $z = (x,y)$ un élément de $\mathbb{C}$ .
$\bullet$ Nous adoptons la notation $z = x + iy$ appelée forme algébrique plutôt que la notation $z = (x,y)$ , et nous parlerons de nombre complexe $z$ (ou du complexe $z$ ) plutôt du couple $z$ .
$\bullet$ Le réel $x$ est appelé partie réelle du complexe $z$ et il est noté $\mathcal{R}e(z)$ .
$\bullet$ Le réel $y$ est appelé partie imaginaire du complexe $z$ et il est noté $\mathcal{I}m(z)$ .
On a alors : $\boxed{z = \mathcal{R}e(z) + i \enskip\mathcal{I}m(z)}$
$\bullet$ Si $\mathcal{R}e(z)=0$ , $z$ est dit imaginaire pur . On note $i\mathbb{R}$ l'ensemble des imaginaires purs, $i\mathbb{R}=\left\lbrace{ z\in\mathbb{C} \enskip / \enskip \mathcal{R}e(z)=0\rbrace\right$
$\bullet$ Si $\mathcal{I}m(z)=0$ , $z$ est réel , on a donc $\mathbb{R}=\left\lbrace z\in\mathbb{C} \enskip / \enskip \mathcal{I}m(z)=0\rbrace\right$
$\bullet$ Soit $z=x+iy\in \mathbb{C}$ , son opposé est alors $-z=-x-iy$
$\bullet$ Soit $z=x+iy\in \mathbb{C}^*$ ( c'est-à-dire $z$ non nul), l'inverse de $z$ , noté $z^{-1}$ s'écrit : $z^{-1}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}$

Formules de calcul

Proposition

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes respectivement de forme algébrique $z=x+iy \text{ et } z'=x'+iy' \enskip \left(x,y,x',y' \in\mathbb{R})\right$ , on a :
$\\\bullet \enskip z=z' \iff x=x'\text{ et } y=y'\\\bullet \enskip z+z'=(x+x')+i(y+y')\\\bullet \enskip zz'=(xx'-yy')+i(x'y+xy')$

Remarques :
1) Il résulte de la proposition précédente que pour tous nombres complexes $z \text{ et } z'$ , on a :
$\bullet \enskip \mathcal{R}e(z+z')=\mathcal{R}e(z)+\mathcal{R}e(z') \\\bullet \enskip \mathcal{I}m(z+z')=\mathcal{I}m(z)+\mathcal{I}m(z')\\\bullet \enskip \forall \lambda\in\mathbb{R} \enskip : \enskip \mathcal{R}e(\lambda z)=\lambda \mathcal{R}e(z) \text{ et } \mathcal{I}m(\lambda z)=\lambda \mathcal{I}m(z)$
2) On calcule aisément les puissances de $i$ : $i^0=1 ,\enskip i^1=i ,\enskip i^2=-1 ,\enskip ,i^3= -i \enskip, \text{ et } \forall k\in\mathbb{N}^{*} \text{ : } i^{4k}=1 ,\enskip i^{4k+1}=i ,\enskip i^{4k+2} = -1, \enskip i^{4k+3}=-i$
3) Il n'existe sur $\mathbb{C}$ aucune relation d'ordre total compatible avec les opérations d'addition et de multiplication présentées ci-dessus. Il est toutefois possible de définir des relations d'ordre total sur $\mathbb{C}$ , comme par exemple l'ordre lexicographique définie par : $x+iy\leq x'+iy' \iff x<x' \text{ ou } \left(x=x'\text{ et } y\leq y'\right)$

2- Conjugué d'un nombre complexe

Défintion

Soit $z \in \mathbb{C}$ avec $z = x + iy, (x,y) \in \mathbb{R}^2$ .
On appelle conjugué du nombre complexe $z$ le nombre complexe noté $\bar z$ et donné par : $\bar z = x - iy$ .

Remarque :
$\bullet \mathcal{R}e(\bar z) = \mathcal{R}e(z). \\\bullet \mathcal{I}m(\bar z) = - \mathcal{I}m(z).$

Proposition

Pour $z$ et $z'$ dans $\mathbb{C}$ , on a :
$\bullet \overline{z+z'} = \bar z + \bar z'.\\\bullet \overline{zz'} = \bar{z} \bar{z'}.\\\bullet \bar{\bar{z}} = z.$

Remarque :
Soit $z\in\mathbb{C}$ , par récurrence immédiate, on a : $\forall n\in\N :\enskip \overline{z^n}=\bar{z}^n$
De plus, si $z\in\mathbb{C}^{*}$ , on a $zz^{-1}=1$ , donc $\overline{z^{-1}}=\bar{z}^{-1}$ , et on généralise: $\forall z\in\mathbb{C}^{*} , \enskip \forall n\in\Z :\enskip \overline{z^n}=\bar{z}^n$

Proposition

Pour tout $z\in\mathbb{C}$ :
$\mathcal{R}e (z) = \dfrac{1}{2} (z+\bar z) \text{ et }\mathcal{I}m(z) = \dfrac{1}{2i} (z-\bar z)$ .

Remarque :
En conséquence :
$\bullet z=\bar{z} \iff z\in\R \\\bullet z=-\bar{z} \iff z\in i\R$

Exercice

Pour $z\in\C$ , soit $\alpha=1+iz$ .
Trouver tous les complexes $z$ tels que $\alpha$ soit réel.

Solution :

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3- Interprétation géométrique

On appelle plan complexe le plan $\mathcal{P}_{\mathbb{C}}$ muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ . Notons $\mathcal{V}$ l'ensemble des vecteurs de $\mathcal{P}_{\mathbb{C}}$ .
A tout nombre $z=x+iy\in\mathbb{C}$ , on associe le point $M\in\mathcal{P}_{\C}$ (respectivement le vecteur $\vec{u} \in\mathcal{V}$ ) ayant pour coordonnées $(x,y)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ ( respectivement dans la base $(\vec{i},\vec{j})$ ).
On dit que le point $M(x,y)$ (respectivement le vecteur $\vec{u}(x,y)$ ) est l'image de $z$ , et on dit que $z$ est l'affixe du point $M$ (respectivement du vecteur $\vec{u}$ ) .

Les nombres complexes - supérieur : image 6

Proposition

1) Soient $A,B \in\Mathcal{P}_{\C}$ d'affixes $z_{A}$ et $z_{B}$ . Alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_{B}-z_{A}$
2) Soient $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ deux vecteurs de $\mathcal{V}$ d'affixes respectifs $z$ et $z'$ et $\lambda\in\R$ . Alors les vecteurs $\vec{u}+\vec{u'}$ et $\lambda\vec{u}$ ont respectivement pour affixes $z+z'$ et $\lambda z$

Proposition

Soit $M\in\mathcal{P}_{\C}$ d'affixe $z$ .
Le point $M'\in\mathcal{P}_{\C}$ d'affixe $\bar{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses $(O,\vec{i})$

Les nombres complexes - supérieur : image 3

4- Module d'un nombre complexe

Définition

Soit $z \in \mathbb{C}$ écrit sous forme algébrique $z = x + iy$ . Le nombre $z \bar{z} = x^2 +y^2$ est réel positif.
On appelle module de $z$ et on note $|z|$ le réel positif $\enskip|z| = \sqrt{z\bar{z}}=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Propriétés

Pour tout complexe $z\in\C$ :
$\bullet|z| = |\bar z| = |-z| = |-\bar z|\\\bullet |\mathcal{R}e(z)| \leq |z| \text{ avec égalité si } z\in\R \\\bullet |\mathcal{I}m(z)| \leq |z|\text{ avec égalité si } z\in i\R \\\bullet \text{ Si de plus, } z\neq 0 \text{ , alors : } z^{-1}=\dfrac{\bar{z}}{|z|^2}$

Proposition

Soit $z\in\C$ .
$\bullet$ Si $M$ est le point d'affixe $z$ , alors le module de $z$ est égal à la $OM$ .
$\bullet$ Si $\vec{u}$ est le vecteur d'affixe $z$ , alors le module de $z$ est égal à $||\vec{u}||$

Proposition

Pour tous nombres complexes $z \text{ et } z ' \text{ de } \C$ :
$\bullet |z|=0 \iff z = 0\\\bullet |zz'| = |z||z'|\\\bullet | z + z'| \leq |z|+|z'| \text{ (Inégalité triangulaire) }$ .

Exercice : Preuve de l'inégalité triangulaire

En évaluant le carré des deux membres, prouver l'inégalité triangulaire.

Solution :

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Remarques :
1) L'égalité se produit si et seulement si $\mathcal{R}e(z\bar{z'})=|z\bar{z'}|$ . Donc si $z\bar{z'}$ est un réel positif égale à son module.
Dans le cas où $z'\neq 0$ , ceci est équivalent à dire que $\dfrac{z}{z'}=\dfrac{z\bar{z'}}{|z|^2}\in\R^{+}$
On conclut qu'il y a égalité si et seulement si $z$ ou $z'$ est nul, ou si leur rapport est un réel positif ( $\exists k\in\R \text{ / } z=kz'$ ), c'est-à-dire que leurs images et le point $O$ sont alignés.

2) L'inégalité triangulaire tire son nom du fait que dans un triangle $(ABC)$ , la longueur d'un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres, ce qui se traduit par exemple par :
$AB=|z_B-z_A|=|z_B-z_C+z_C-z_A|\leq |z_B-z_C|+|z_C-z_A|=BC+AC$ .

Proposition

Soient $z,z'\in \C$ .
On a : $||z|-|z'||\leq |z-z'|$

Exercice

Démontrer la proposition précédente

Solution :

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II- Equation du second degré dans $\red \C$

1- Racines carrées d'un nombre complexe

On s'interesse ici aux racines carrées d'un complexe, les racines n-ièmes seront traitées ultérieurement.
Soit $\omega\in\C \text{ / }\omega=a+ib$ , on dit que $z_0\in\C$ est racine carrée de $\omega$ si $z_0^2=\omega$ . Dans ce cas, l'ensemble des racines carrées de $\omega$ est $\left\lbrace -z_0, z_0\rbrace\right$
On distingue deux cas:
Cas 1) $\omega\in\R$
Ou encore $b=0$ , dans ce cas, l'ensemble des racines carrées de $\omega$ est :
$S=\left \lbrace\begin{array}{cl} { \left\lbrace -\sqrt{a}, \sqrt{a}\rbrace\right &\enskip \text{ si } a>0 \\\left\lbrace 0 \rbrace\right &\enskip \text{ si } a=0 \\ \left\lbrace -i\sqrt{-a}, i\sqrt{-a}\rbrace\right &\enskip \text{ si } a< 0 \end{array}$

Cas 2) $\omega\notin \R$
Ou encore $b\neq 0$ , on cherche les racines carrées sous la forme $z=x+iy$
On a : $z^2=\omega \iff (x+iy)^2=a+ib\iff x^2-y^2+i(2xy)=a+ib\iff \left \lbrace\begin{array}{cl} {x^2-y^2=a \enskip (I)\\ 2xy=b \enskip (II) \end{array}$
Et en prenant le module :
$|z^2|=|\omega| \iff |z|^2=|\omega|\iff x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2} \enskip (III)$
De $(I)$ et $(III)$ , on obtient : $x^2=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+b^2}+a)\right \enskip \text{ et } \enskip y^2=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+b^2}-a)\right$
Ces nombres réels étants positifs, puisque $\sqrt{a^2+b^2} \geq |a|$ , on déduit $x$ et $y$ .
On obtient quatre couples de solutions, mais d'après $(II)$ , on ne retient que ceux pour lesquels $xy$ est du même signe que $b$ . Ce qui donne bien deux couples de solutions opposées.
D'où le résultat suivant :

Proposition

Tout nombre complexe non nul possède deux racines distinctes opposées

Exemple :
On cherche les racines carrées de $\omega=2-3i$ .
Posons $z=x+iy \text{ / } z^2=\omega$
$z^2=\omega\iff (x+iy)^2=2-3i\iff \left \lbrace\begin{array}{cl} {x^2-y^2=2\\ 2xy=-3 \end{array}$
De plus, en prenant les modules : $x^2+y^2=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
On en tire que :
$x=-\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}+2})} \enskip \text{ ou } \enskip x=\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}+2})} \\ y=-\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}-2})} \enskip \text{ ou } \enskip y=\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}-2})}$
Enfin, puisque $xy=-\dfrac{3}{2}\leq 0$ , on obtient les deux racines de $\omega$ :
$z_1=-\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}+2})}+i\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}-2})} \enskip \text{ et } \enskip z_2=\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}+2})}-i\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}-2})}$

2- Résolution des équations du second degré

Soient $a,b,c\in\C \text{ / } a\neq 0$ et étudions l'équation d'inconnue $z\in \C$ suivante : $(E)\text{ : } az^2+bz+c=0$
Mettons $(E)$ sous sa forme canonique : $az^2+bz+c=a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$ , et posons $\Delta$ le discriminent : $\Delta = b^2-4ac$
On distingue deux cas :

Cas 1) $\Delta=0$
L'équation s'écrit $(E)\text{ : } a\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$ , ce qui donne une solution double $z_0=-\dfrac{b}{2a}$

Cas 2) $\Delta\neq 0$
On note $\delta$ une racine carée de $\Delta$ , $(E)$ s'écrit alors : $a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\left(\dfrac{\delta}{2a}\right)^2\right]= 0$
On obtient deux solutions : $z_1=\dfrac{-b-\delta}{2a} \enskip \text{ et } \enskip z_2=\dfrac{-b+\delta}{2a}$
D'où la proposition suivante :

Proposition

Soit $(E)\text{ : } az^2+bz+c=0 \text{ où } a,b,c,\in\C \text{ avec } a\neq 0$ , et notons $\Delta=b^2-4ac$ et $\delta$ sa racine carrée.
1) Si $\Delta\neq 0$ , $(E)$ admet dans $\C$ deux solutions distinctes $z_1=\dfrac{-b-\delta}{2a} \enskip \text{ et } \enskip z_2=\dfrac{-b+\delta}{2a}$
2) Si $\Delta= 0$ , $(E)$ admet dans $\C$ une solution double $z_0=-\dfrac{b}{2a}$ .

Exemple :
Résolvons dans $\C$ l'équation du second degré suivante : $iz^2+(-3+4i)z-5+i=0$
Le discriminent de cette équation est : $\Delta = (-3+4i)^2-4i(-5+i)=-3-4i\neq 0$
On en cherche une racine carrée qu'on note $\delta=x+iy$ , on trouve le système : $\left \lbrace\begin{array}{cl} {x^2-y^2=-3 \\ 2xy=-4 \\ x^2+y^2=|-3-4i|=5\end{array}$
On trouve les deux racines : $\delta_1=-1+2i \text{ ou } \delta_2=1-2i$ , prenons $\delta=\delta_1$ (on peut aussi prendre $\delta=\delta_2$ )
On trouve finalement les deux solutions : $z_1=\dfrac{3-4i+1-2i}{2i}=-3-2i \text{ et } z_2= \dfrac{3-4i-1+2i}{2i} =-1-i$

Proposition

Soient $z_1$ et $z_2$ les deux solutions (éventuellement confondues) de l'équation $(E) \text{ : } az^2+bz+c=0 \text{ où } a,b,c,\in\C \text{ avec } a\neq 0$
On a alors : $z_1+z_2=-\dfrac{b}{a} \enskip \text{ et }\enskip z_1z_2=\dfrac{c}{a}$

Exemple :
On avait trouvé dans l'exemple précédent, que les deux solutions de l'équation $iz^2+(-3+4i)z-5+i=0$ sont :
$z_1=-3-2i \text{ et } z_2=-1-i$
Notons : $a=i\text{ , } b=-3+4i \text{ et } c=-5+i$
On a bien : $z_1+z_2=-1-i-3-2i=-4-3i=i(4i-3)=-\dfrac{-3+4i}{i}=-\dfrac{b}{a}\enskip \text{ et } \enskip z_1z_2=(-3-2i)(-1-i)=3+3i+2i-2=1+5i=-i(i-5)=\dfrac{-5+i}{i}=\dfrac{c}{a}$

III- Forme trigonométrique des nombres complexes

1- Le groupe $\U$ des complexes de module 1

Définition

On note $\U$ l'ensemble des nombres complexes de module $1\enskip \text{ : } \enskip \U=\lbrace z\in \C\text{ / } |z|=1\rbrace$

Dans le plan complexe $\mathcal{P}_{\C}$ , les images des éléments de $\U$ sont les points du cercle $\mathscr{C}(O,1)$ de centre $O$ et de rayon $1$ , appelé cercle unité ou encore cercle trigonométrique de $\mathcal{P}_{\C}$

Proposition

1) On a $1\in\U$
2) Si $z,z'\in\U$ , alors $zz'\in\U$
3) Si $z\in\U$ , alors $z^{-1}\in\U$

Remarques :
On a bien évidemment $\forall z\in\U \text{ : } \bar{z}\in\U$
De plus : $\forall z\in\U \text{ : } \bar{z}=z^{-1} \text{ , en effet : } z\bar{z}=|z|^2=1$

Rappel : Congruences
Soit $m\in\mathbb{R}^{*}_{+}$ , on dit que deux réels $x$ et $y$ sont congrues modulo $m$ si et seulement si $y-x$ est un multiple de $m$ , c'est-à-dire : $\exists k\in\Z \text{ / } y-x=km$ , et on note : $x\equiv y\enskip [m]$
On a les propriérés suivantes :
$\bullet x\equi y\enskip [m] \text{ et } x'\equiv y'\enskip[m] \Lonrightarrow x+x'\equiv y+y'\enskip [m]$
$\bullet \forall \lambda\in\R \text{ : } x\equiv y\enskip[m] \Longrightarrow \lambda x\equiv \lambda y \enskip [m]$
Si $I$ est un intervalle semi-ouvert arbitraire de longueur $m\enskip \left( \text{ par exemple } [0,m[ \text{ ou } \left]\dfrac{-m}{2},\dfrac{m}{2}\right] \right)$ , alors : $\forall x\in\R \text{ , } \exists! r\in I \text{ / } x\equiv r\enskip[m]$

Proposition

1) Soit z un nombre complexe. Alors $z$ est un élément de $\U$ si et seulement si on peut l'écrire sous la forme : $z=\cos \theta + i \sin \theta \enskip (\theta\in\R)$
2) Si $\theta_1 , \theta_2\in\R$ , on a : $\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1=\cos \theta_2 + i \sin \theta_2\right) \iff \theta)1\equiv \theta_2\enskip[2\pi]$ . En conséquence pour $z\in\U$ , l'ensemble des réels $\theta$ vérifiant 1) est $\left\lbrace \theta_0+2k\pi \text{ / } k\in\Z\right\rbrace$ où $\theta_0$ désigne l'un quelconque de ces réels.

Les nombres complexes - supérieur : image 4

2- Exponentielle complexe

Définition

1) Soit $\theta\in\R$ . On note $\text{e}^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
2) De façon générale, si $z$ est un nombre complexe écrit sous la forme algébrique $z=a+ib$ , on note $\text{e}^{z}=\text{e}^{a}\text{e}^{ib}=\text{e}^{a}(\cos b + i\sin b)$ .
L'expression ainsi définie est appelée exponentielle du nombre complexe $z$ . On la note aussi $\exp(z)$

Proposition

$\bullet \enskip\forall \theta,\theta'\in\R \text{ : } \text{e}^{i(\theta+\theta')}=\text{e}^{i\theta}\text{e}^{i\theta'} \\\bullet \enskip\forall z,z'\in\C \text{ : } \text{e}^{z+z'}=\text{e}^{z}\text{e}^{z'}$

Proposition

Soit $z$ un nombre complexe. On a les propriétés suivantes :
$\bullet\enskip \overline{\text{e}^{z}}=\text{e}^{\overline{z}} \\\bullet\enskip |\text{e}^{z}|=\text{e}^{\mathcal{R}e(z)}$

Remarque :
Les éléments de $\U$ sont les complexes de la forme $\text{e}^{i\theta} \enskip (\theta\in\R)$ , de plus : $\forall\theta_1,\theta_2\in\R \text{ : } \text{e}^{i\theta_1}=\text{e}^{i\theta_2}\iff \theta_2-\theta_1=2k\pi \text{ , } k\in\Z$
A connaître par coeur : $\forall k\in\Z \enskip\text{ : }\enskip \text{e}^{i2k\pi}=1 \enskip \text{ et }\enskip \text{e}^{i(2k+1)\pi}=-1$

Proposition

Soit $\theta$ un élément de $\R$ . On a : $\overline{\text{e}^{i\theta}}=\left(\text{e}^{i\theta}\right)^{-1}=\text{e}^{-i\theta}$

Proposition : Formules d'Euler

$\forall \theta\in\R\enskip\text{ : }\enskip \cos\theta=\dfrac{\text{e}^{i\theta}+\text{e}^{-i\theta}}{2}\enskip \text{ et } \enskip \sin\theta=\dfrac{\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}}{2i}$

Lemme

$\forall x,y\in\R\enskip \text{ : }\enskip (\cos x+i\sin x)(\cos y + i\sin y)=\cos(x+y)+i\sin (x+y)$

Proposition : Formule de Moivre

$\forall\theta\in\R\enskip \text{ , }\enskip \forall k\in\Z \enskip\text{ : }\enskip \cos k\theta+i\sin k\theta=(\cos\theta9+i\sin\theta)^{k}$

3- Application à la transformation d'expressions trigonométriques

a- Linéarisation :
Il s'agit de transformer une expression polynômiale en $\cos\theta$ et $\sin\theta$ , comme par exemple $\cos^4\theta \text{ , } \cos\theta \sin^2\theta \text{ , } \cos^6\theta+2\cos^2\theta\sin\theta \text{ , }\cdots$ en une combinaison linéaire en $\cos k\theta$ et $\sin l\theta \enskip (k,l \in\Z)$ , comme par exemple $\cos 2\theta +5\sin \theta \text{ , } \dfrac{2}{7}\sin 4\theta + 5\cos 3\theta\text{ , }\cdots$
La méthode consiste à exprimer $\cos\theta$ et $\sin\theta$ à l'aide des formules d'Euler, puis à développer l'expression obtenue, et enfin regrouper les termes pour reconstituer des fonctions trigonométriques.

Exemple :
Linéarisation de l'expression $E=\cos^2\theta\sin^3\theta$

On écrit : $E=\cos^2\theta\sin^3\theta=\left(\dfrac{\text{e}^{i\theta}+\text{e}^{-i\theta}}{2}\right)^2\left(\dfrac{\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}}{2i}\right)^3$
Ce qui donne :

$\begin{matrix}-32i E&=&\left(\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}\right)\left[\left(\text{e}^{i\theta}+\text{e}^{-i\theta}\right)^2\left(\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}\right)^2\right]\\ &=&\left(\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}\right)\left(\text{e}^{2i\theta}-\text{e}^{-2i\theta}\right)^2 \\ &=&\left(\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}\right)\left(\text{e}^{4i\theta}-2+\text{e}^{-4i\theta}\right) \\&=&\text{e}^{5i\theta}-2\text{e}^{i\theta} +\text{e}^{-3i\theta}-\text{e}^{3i\theta}+2\text{e}^{-i\theta}-\text{e}^{-5i\theta}\end{matrix}$

On regroupe les termes conjugués :

$\begin{matrix}E&=&\dfrac{\text{e}^{5i\theta}-\text{e}^{-5i\theta}-2(\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta})- (\text{e}^{3i\theta}-\text{e}^{-3i\theta})}{-32i} \\\\&=&\dfrac{1}{16}\left(-\dfrac{\text{e}^{5i\theta}-\text{e}^{-5i\theta}}{2i}+2\dfrac{\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}}{2i}+\dfrac{\text{e}^{3i\theta}-\text{e}^{-3i\theta}}{2i}\right) \\\\&=& \boxed{\dfrac{1}{16}(-\sin 5\theta +2\sin \theta +\sin 3\theta)}\end{matrix}$

b- Transformation d'une expression linéaire en une expression polynômiale :

Il s'agit de transformer une combinaison linéaire en $\cos k\theta$ et $\sin l\theta \enskip (k,l \in\Z)$ en une expression polynômiale en $\cos\theta \text{ et }\sin\theta$ .
La méthode consiste à utiliser la formule de Moivre : On développe $(\cos\theta + i\sin\theta)^{k}$ avec la formule du binôme, puis on prend la partie réelle (respectivement imaginaire) du résultat pour obtenir $\cos k\theta$ (respectivement $\sin l\theta$ )
Exemple :
Les expressions de $\cos 3\theta \enskip \text{ et }\enskip \sin 3\theta$
On a : $\cos 3\theta+i\sin 3\theta=(\cos\theta+ki\sin\theta)^3=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)$
Donc : $\cos 3\theta= \cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta \enskip \text{ et } \enskip \sin 3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$
Or : $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta \enskip \text{ et }\enskip \sin^2\theta=1-\cos^2\theta$
On obtient :
$\cos 3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta(1-\cos^2\theta)=\boxed{4\cos^3\theta-3\cos\theta} \\\\ \sin3\theta=3(1-\sin^2\theta)\sin\theta-\sin^3\theta=\boxed{3\sin\theta-4\sin^3\theta}$

4- Arguments d'un nombre complexe

Proposition

Soit $z\in\C^{*}$
1) $z$ s'écrit de manière unique sous la forme : $z=ru\text{ où } r\in\mathbb{R}^{*}_{+} \text{ et } u\in\U$
2) $z$ s'écrit sous la forme $z=r\text{e}^{i\theta} \text{ où } r\in\mathbb{R}^{*}_{+} \text{ et } \theta\in\R$

Dans cette écriture, $r$ est unique : c'est le module de $z$ , et $\theta$ est défini modulo $2\pi$ .
En particulier, la deuxième écriture est unique si on impose à $\theta$ d'appartenir à un intervalle fixé semi-ouvert de longueur $2\pi$ , tel que $[0,2\pi[ \text{ ou } ]-\pi,\pi]$ par exemple.

Définition

Soit $z\in\C^{*}$ écrit sous la forme $z=r\text{e}^{i\theta} \text{ où } r\in\mathbb{R}^{*}_{+} \text{ et } \theta\in\R$
Cette écriture est appelée forme trigonométrique de $z$ . On dit que le réel $\theta$ est un argument de $z$

Les nombres complexes - supérieur : image 5

Remarque :
Le nombre $0$ ne possède ni forme trigonométrique, ni argument.

D'après ce qui précède, on a immédiatement :

Proposition

Deux arguments d'un nombre complexe non nul $z$ diffèrent d'un multiple entier de $2\pi$ . En conséquence, si $\theta_0$ est un argument de $z$ , alors l'ensemble de tous les arguments est $\left\lbrace \theta_0+2k\pi \text{/ } k\in\Z\right\rbrace$

On peut donc utiliser la notation suivante : on écrit $\arg (z)\equiv \theta \enskip [2\pi]$ pour exprimer que $\theta$ est un agument de $z$ .

Remarque :
Si $z\in\C^{*}$ s'écrit sous la forme algébrique $z=x+iy$ , alors : $\forall\theta\in\R \enskip\text{ : }\enskip \arg(z)\equiv\theta\enskip[2\pi] \iff \left(\cos\theta=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{ et }\sin\theta = \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$

Proposition

Soit $z\in\C^{*}$
Si $M$ est el point de $\mathcal{P}_{\C}$ d'affixe $z$ , tout argument de $z$ est une mesure de l'angle orienté $(\vec{i},\overrightarrow{OM})$
Si $\vec{u}$ est le vecteur de $\mathcal{V}$ d'affixe $z$ , tout argument de $z$ est une mesure de l'angle orienté $(\vec{i},\vec{u})$

Proposition

Soient $z,z'\in\C^{*}$ d'arguments respectifs $\theta, \theta'$ . Alors :
1) $\theta+\theta$ ' est un argument de $zz'$ , et $\theta-\theta'$ est un argument de $\dfrac{z}{z'}$
2) $-\theta$ est un argument de $z^{-1}$ ainsi que de $\bar{z}$

3) $\forall n\in\Z\text{ , } n\theta$ est un argument de $z^{n}$

5- Racines n-ièmes de 1

Dans ce paragraphe, $n\in\N^{*}$ donné.

Définition

Dans $\C$ , on appelle racine n-ième de l'unité tout complexe $z$ vérifiant $z^n=1$ .
L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité est noté $\U_{n}$

Si $z\in\U_{n}$ , on a $z^n=1$ , et donc $|z^n|=|z|^n=1\Longrightarrow |z|=1\iff z\in\U$ , d'où $\U_n\subset \U$

Remarque :
On a $1\in\U_n$ , et si $z,z'\in\U_n$ , alors $zz'\in\U_n \text{ et }z^{-1}\in\U_n$
Ces propriétés expriment que $\U_n$ , muni de la multiplication, est un sous-groupe de $\U$ .

Théorème : Expression des racines n-ièmes de 1

L'ensemble $\U_n$ comporte exactement $n$ éléments.
Ce sont les complexes $z_0,z_1,\cdots,z_{n-1}$ définis par : $\forall k\in\left\lbrace 0,1,\cdots, n-1\right\rbrace \enskip \text{ : }\enskip z_k=\text{e}^{ i\frac{2k\pi}{n}}$

Remarque :
En notant $\zeta=\text{e}^{i\frac{2k\pi}{n}}$ , on constate que $\U_n=\lbrace 1,\zeta,\zeta^2,\cdots, \zeta^{n-1}\rbrace$
Cette description est souvent utile dans les problèmes concernant les racines n-ièmes, il est même fréquent que l'on n'ait pas à remplacer $\zeta$ par sa valeur.

Proposition

Si $u$ est une racine n-ième de l'unité distincte de $1$ , alors : $1+u+u^2+\cdots+u^{n-1}=0$
En conséquence, la somme de toutes les racines n-ièmes de l'unité est nulle

Ce résultat découle directement du fait que, comme $u\neq 1$ , on peut utiliser la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique :
$1+u+u^2+\cdots+u^{n-1}=\dfrac{1-u^n}{1-u}=0\enskip \text{ car } u^n=1$

Exemples :

$\bullet n=1 \enskip \text{ : }\enskip \U_1=\lbrace{1\rbrace$

$\bullet n=2 \enskip \text{ : }\enskip \U_2=\lbrace-1,1\rbrace$

$\bullet n=3 \enskip \text{ : }\enskip \U_3=\lbrace1,\text{e}^{\frac{2\pi}{3}},\text{e}^{\frac{4\pi}{3}}\rbrace$

Les nombres complexes - supérieur : image 2

Notation : On note $j=\text{e}^{i\frac{2\pi}{3}}$ . Et on se rappelle de : $j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\enskip \text{ , }\enskip j^2=\bar{j} \enskip\text{ , }\enskip 1+j+j^2=0$

$\bullet n=4 \enskip \text{ : }\enskip \U_4=\lbrace{1,i,-1,-i\rbrace$
En effet : $\text{e}^{i\frac{\pi}{2}}=i\enskip \text{ , }\enskip \text{e}^{i\pi}=-1\enskip \text{ , }\enskip\text{e}^{i\frac{3\pi}{2}}=-i$

Les nombres complexes - supérieur : image 7

Remarque :
On constate que les racines n-ièmes de $1$ sont les sommets d'un triangle équilatéral et d'un carré, on a la généralisation suivante :

Proposition

Les images dans le plan complexe des racines n-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ sommets inscritdans le cercle unité

On peut calculer la longueur $l$ du côté du polygone :
$l=|\text{e}^{i\frac{2\pi}{n}}-1|=|\text{e}^{i\frac{\pi}{n}}\left(\text{e}^{i\frac{\pi}{n}}-\text{e}^{-i\frac{\pi}{n}}\right)|=|\text{e}^{i\frac{\pi}{n}}|\left|2\dfrac{\text{e}^{i\frac{\pi}{n}}-\text{e}^{-i\frac{\pi}{n}}}{2}\right|=2\cos \left(\dfrac{\pi}{n}\right)$

Proposition

Pour tout complexe $\omega\in\C^{*}$ , il existe exactement $n$ complexes $z$ vérifiant $z^n=\omega$ .
Si on écrit $\omega$ sous forme trigonométrique $\omega=r\text{e}^{i\theta}$ , il s'agit des complexes $z_0(\omega),z_1(\omega),\cdots,z_{n-1}(\omega)$ définis par :
$\displaystyle \forall k\in \lbrace 0,1,\cdots,n-1\rbrace \enskip \text{ : }\enskip z_k(\omega)=\sqrt[n]{r}\text{e}^{i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}$

Exemple :
Déterminons les racines cubiques de $\omega=1+i$
On écrit $\omega$ sous forme trigonométrique : $\omega=\sqrt{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{4}}$
Les racines cubiques sont :
$z_0(\omega)=\sqrt[6]{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{12}}$
$z_1(\omega)=\sqrt[6]{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{12}}\text{e}^{i\frac{2\pi}{3}}=\sqrt[6]{2}\text{e}^{i\frac{3\pi}{4}}$
$z_2(\omega)=\sqrt[6]{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{12}}\text{e}^{i\frac{4\pi}{3}}=\sqrt[6]{2}\text{e}^{i\frac{17\pi}{12}}$

IV- Nombres complexes et géométrie

1- Barycentres

Définition-Proposition

Soient $(A_1,\cdots, A_n)$ des points de $\mathcal{P}_{\C}$ d'affixes respectives $z_1,\cdots,z_n$ et soient $(\alpha_1,\dots,\alpha_n) \in\R^{n}\text{ / } \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\neq 0$ .
On appelle barycentre de la famille de points $A_1,\cdots, A_n$ affectés respectivement des coefficients $\alpha_1,\cdots, \alpha_n$ et on note $G$ l'unique point de $\mathcal{P}_{\C}$ tel que : $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_k \overrightarrow{GA_k}=\vec{0}$
Et en notant $z_G$ l'affixe de $G$ , on a alors : $z_G=\dfrac{\alpha_1 z_1+\alpha_2 z_2+\cdots + \alpha_n z_n}{\alpha_1+\alpha_2+\cdots + \alpha_n}$

Exemple :
Soient $A_1(z_1) et A_2(z_2)$ deux points de $\mathcal{P}_{\C}$ .
Alors la droite $(A_1A_2)$ est l'ensemble des barycentres de $A_1$ et $A_2$
En effet, en exprimant ces barycentres à l'aide de coefficients dont la somme est égale à $1$ , on obtient : $(A_1A_2)=\lbrace M(z)\in\mathcal{P}_{\C}\text{ / } z=\alpha z_1+(1-\alpha)z_2 \text{ , }\alpha\in\R\rbrace$
Ce qui correspond à la représentation paramétrique de la droite $(A_1A_2)$

2- Conditions d'alignement et d'orthogonalité

Proposition

Soient $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ deux vecteurs non nuls de $\mathcal{V}$ d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$
1) $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont colinéaires si et seulement si $\dfrac{z_2}{z_1}\in \R$
Si, de plus, ce réel est positif (respectivement négatif), il sont de même sens (respectivement de sens opposés).
2) $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont orthogonaux si et seulement si $\dfrac{z_2}{z_1}\in i\R$

Exemple : Equation complexe d'une droite
Soient $A,B$ deux points de $\mathcal{P}_{\C}$ d'affixes $a,b$ respectives et soit $M$ un point variable d'affixe $z$ .
On sait que $M\in (AB)\iff \overrightarrow{AM} \text{ et } \overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
Donc :
$\begin{matrix} M\in(AB) &\iff& \dfrac{z-a}{b-a}\in\R\\\\&\iff& \dfrac{z-a}{b-a}=\overline{\dfrac{z-a}{b-a}}\\\\&\iff& (z-a)(\bar{b}-\bar{a})-(\bar{z}-\bar{a})(b-a)=0\end{matrix}$
On conclut que $M\in(AB)$ si et seulement si $(\bar{b}-\bar{a})z-(b-a)\bar{z}+((\bar{a}b-a\bar{b}))=0$
Soit $(AB)\text{ : }\bar{c}z-c\bar{z}+\lambda=0$ où $c=b-a\in\C^{*} \text{ et }\lambda=\bar{a}b-a\bar{b}\in i\R$

3- Angles

Proposition

1) Soient $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ deux vecteurs non nuls de $\mathcal{V}$ d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$ . Alors une mesure de l'angle orienté $( \vec{u_1},\vec{u_2})$ est donnée par un argument de $\dfrac{z_2}{z_1}$
2) Soient $A,B,M$ trois points de $\mathcal{P}_{\C}$ d'affixes $a,b,z$ respectives. On suppose que $M\neq A$ et $M\neq B$ . Alors une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})$ est donnée par un argument de $\dfrac{b-z}{a-z}$

4- Similitudes directes - transformations du plan

Si $F:M\mapsto M'$ est une application du plan $\mathcal{P}_{\C}$ dans lui-même, on appellera représentation analytique complexe de $F$ l'application $f:\C\mapsto \C$ qui, à l'affixe $z$ du point $M$ , associe l'affixe $z'$ de son image $M'$ par $f$ . On écrit alors : $z'=f(z)$

Proposition

1) La représentation complexe de la symétrie orthogonale d'axe $(Ox)$ (respectivement $(Oy)$ ) est : $z'=\bar{z}$ (respectivement $z'=-\bar{z}$ )
2) Soit $\vec{u}$ un vecteur de $\mathcal{V}$ d'affixe $b$ . La représentation complexe de la translation de vecteur $\vec{u} \text{ est : } z'=z+b$
3) Soient $\lambda\in\R^{*}$ et $\Omega$ un point d'affixe $\omega$ . La représentation complexe de l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\lambda$ est : $z'-\omega=\lambda(z-\omega)$ . En particulier, la représentation de l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\lambda$ est tout simplement $z'=\lambda z$
4) Soient $\theta\in\R$ et $\Omega$ un point d'affixe $\omega$ . La représentation complexe de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ est : $z-\omega =\text{e}^{i\theta}(z-\omega)$
En particulier, la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ est : $z'=\text{e}^{i\theta}z$
5) Soit $\Omega$ un point d'affixe $\omega$ . La représentation complexe de la symétrie de centre $\Omega$ est $z'=-z+2\omega$

Définition

On appelle similitude directe toute application du plan $\mathcal{P}_{\C}$ dans $\mathcal{P}_{\C}$ qui admet une représentation complexe de la forme $z\mapsto az+b \text{ où } a\in\C^{*}\text{ et }b\in\C$ définis d'une façon unique.

Proposition

Soit $s$ la similitude directe de représentation complexe $z'=az+b$ avec $a\in\C^{*}\text{ et }b\in\C$
1) Si $a=1$ , alors $s$ est la translation de vecteur $\vec{u}(b)$
2) Si $a\neq 1$ , alors $s$ possède un point fixe unique $\Omega$ . On peut alors écrire : $s=\rho\circ h=h\circ \rho$ , où $h$ est l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\lambda=|a|$ et $\rho$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta=\arg(a)$ . Nous dirons que $s$ est de centre $\Omega$ , de rapport $\lambda$ et d'angle $\theta$ .

Proposition

$\bullet$ Une similitude directe conserve les angles orientés.
$\bullet$ La similitude directe de représentation complexe $z\mapsto az+b$ multiplie les distances par $|a|$

Publié par malou/Panter le 12-01-2022

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