Fiche de mathématiques

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Suites numériques

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I. L'ensemble des suites réelles

1. Définition d'une suite

On appelle suite réelle toute application d'une partie de $\mathbb{N}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ et on note $(U_{n})_{n}$ ou $(V_{n})_{n}$ en général.

Vocabulaire :
L'ensemble des suites réelles sera noté par $\mathbb{R}^{\mathbb{N}$ .

2. Opérations algébriques
a) Egalité

Soient $(U_{n})$ et $(V_{n}) \; \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ .
On dit que les suites sont égales et on note : $(U_{n}) = (V_{n})$ ssi : $(\forall n \in \mathbb{N}) : U_{n}=V_{n}$

Exemple :
$\forall n \in \mathbb{N}$ : $U_{n}= cos(n \Pi)$ et $V_{n} = (-1)^{n}$
On a $\forall n \in \mathbb{N}$ : $cos(n\Pi) = (-1)^{n}$ donc $\forall n \in \mathbb{N}$ : $U_{n} = V_{n}$ alors : $(U_{n})=(V_n)$

b) Addition

Soient $(U_n)$ et $(V_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ .
La suite $(W_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ définie par : $\forall n : \; W_n = U_n +V_n$ est appelée la suite somme de $(U_n)$ et $(V_n)$ et on note : $(W_n) = (U_n+V_n)$ .

Exemple :
$\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n = n^2+1 \text{ et } V_n = 2n$
On a donc : $W_n = U_n + V_n = n^2+1+2n = (n+1)^2$ alors : $W_n = (n+1)^2$

c) Produit

Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ $\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , la suite $(W_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ définie par : $\forall n : \; W_n = U_n . V_n$ est appelée la suite produit de $(U_n)$ et $(V_n)$ et on note : $(W_n) = (U_n.V_n)$

Exemple :
$\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n = (n+1)^2 \text{ et } V_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$
On a : $W_n = U_n.V_n = (n+1)^2.\frac{1}{\sqrt{n+1}}=(n+1).\sqrt{n+1}$ alors : $W_n = (n+1).\sqrt{n+1}$

d) Produit par un scalaire

Soit $(U_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ et soit $\lambda \in \mathbb{R}$ , la suite $(W_n)$ définie par : $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; W_n= \lambda U_n$ sera noté : $(\lambda U_n)$

3. Suite minorée - majorée - bornée

Définition :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ .
On dit que $(U_n)$ est majorée (respectivement minorée) ssi :
$\exists M \in \mathbb{R}, \; \forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n \leq M$ (respectivement $M \leq U_n$ ).
On dit que $(U_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple :
$\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n = \sin(n^4+3n^3+5)$ .
Puisque $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; -1 \leq \sin(n^4+3n^3+5) \leq 1$ (Propriété de la fonction $\sin$ )
Alors $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; -1 \leq U_n \leq 1$ , c'est-à-dire que $(U_n)$ est bornée .

Proposition :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ , $(U_n)$ est bornée ssi :
$\exists M \in \mathbb{R}^{+} \; / \; \forall n \in \mathbb{N} ) \; : \; |U_n| \leq M$ .

4. Suite croissante - décroissante - monotone

Définition :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ , on dit que :
$(U_n)$ est croissante (resp. strictement croissante) ssi : $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n \leq U_{n+1}$ (resp. $U_n < U_{n+1}$ )
$(U_n)$ est décroissante (resp. strictement décroissante) ssi : $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n \geq U_{n+1}$ (resp $U_n >U_{n+1}$ )
$(U_n)$ est monotone ssi elle est croissante ou décroissante.
$(U_n)$ est strictement monotone ssi elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Exemple :
Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}} \; / \; \forall n \in \mathbb{N}) \; : \; U_n = \sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!}$
Soit $n \in \mathbb{N} \; : \; U_{n+1} - U_n = \sum_{k=0}^{n+1}~\frac{1}{k!} -\sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!} =\frac{1}{(n+1)!}>0$
Donc $(U_n)$ est croissante. (Même strictement croissante)

II. Notions de suites convergentes

1. Définition et propriétés de la convergence

Définitions :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ et soit $l \in \mathbb{R}$ .
On dit que $(U_n)$ converge vers $l$ ssi :
$(\forall \epsilon >0 ), ( \exists N \in \mathbb{N}) \; , \; (\forall n \in \mathbb{N}) \; : \; n \geq N \Rightarrow |U_n-l| \leq \epsilon$
Si une suite ne converge pas, on dit alors qu'elle diverge.

Vocabulaire - Notation :
$l$ est appelé limite de la suite $(U_n)$ et on note : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} U_n = l$ ou $lim_{ } U_n = l$ .

Théorème :

Si la suite $(U_n)$ converge vers une limite $l$ , cette limite $l$ est unique.

Proposition :

Toute suite convergente est bornée.

Remarque :
La réciproque est fausse en général.

Exemple :
Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}} \; / \forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n = (-1)^n$
$(U_n)$ est bornée mais pas convergente.

2. Opérations sur les limites

Théorème :

Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ .
Soient $l$ et $l'$ de $\mathbb{R}$ , tq : $(x_n)$ converge vers $l$ et $(y_n)$ converge vers $l'$ , alors on a :
$\forall \lambda \in \mathbb{R}$ , la suite $(x_n + \lambda y_n)$ est convergente et on a : $\displaystyle \lim (x_n + \lambda y_n) = l + \lambda l'= \displaystyle \lim x_n + \lambda . \displaystyle \lim y_n$ .
La suite $(x_n.y_n)$ est convergente et on a : $\displaystyle \lim (x_n.y_n) = l \times l' = lim {x_n} \times lim {y_n}$ .
Si $l' \not = 0$ , alors $\exists N \in \mathbb{N} \; / \; \forall n \geq N \; : \; y_n \not = 0$ , de plus, dans ce cas, la suite $\left( \frac{x_n}{y_n}\right)$ est convergente et on a : $lim \left(\frac{x_n}{y_n}\right) = \frac{l}{l'} = \frac{\displaystyle \lim x_n }{\displaystyle \lim y_n }$ .

Théorème :

Soient $(x_n),(y_n) et (z_n)$ trois suites de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ tq : $\forall n \in \mathbb{N} \; y_n \leq x_n \leq z_n$ .
Si $\displaystyle \lim y_n = \displaystyle \lim z_n = l \in \mathbb{R}$ , alors $(x_n)$ converge aussi vers $l$ .

3. Convergence des suites monotones

Théorème fondamental :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ une suite croissante, $(U_n)$ converge ssi elle est majorée, et on a, dans ce cas : $\displaystyle \lim \: U_n = Sup(U_n)$
Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ une suite decroissante, $(U_n)$ converge ssi elle est minorée, et on a, dans ce cas : $\displaystyle \lim \: U_n = Inf(U_n)$

Corollaire :

Toute suite croissante négative est convergente.
Toute suite décroissante positive est convergente.

Définition :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ .
On dit que $(U_n)$ tend vers $+ \infty$ (resp $-\infty$ ) ssi : $(\forall A >0), (\exists N \in \mathbb{N}), (\forall n \in \mathbb{N}),$ $n \geq N \Rightarrow U_n \geq A$ (resp : $U_n \leq A$ ), et on note : $\displaystyle \lim \: U_n= +\infty$ (resp $-\infty$ ).

Proposition :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ ,
Si $(U_n)$ est croissante et non majorée alors : $\displaystyle \lim \: U_n = +\infty$ .
Si $(U_n)$ est décroissante et non minorée alors : $\displaystyle \lim \: U_n = -\infty$ .

Proposition :

Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ $\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ tq : $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n \geq V_n$
Si $\displaystyle \lim \: U_n = -\infty$ alors $\displaystyle \lim \: V_n = -\infty$ .
Si $\displaystyle \lim \: V_n = +\infty$ alors $\displaystyle \lim \: U_n = +\infty$ .

III. Suites extraites - Suites adjacentes

1. Suites extraites

Définition :

Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ $\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , on dit que $(V_n)$ est une suite extraite de $(U_n)$ ssi : $\exist\begin{array}{rcccl} \psi&:&\mathbb{N}&\to& \mathbb{N}\\ \end{array}$ strictement croissante tq : $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; V_n = U_{\psi(n)}$ et on appelle $\psi$ une extractrice.

Exemple :
Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ tq : $U_n = (-1)^n$ et soient : $\begin{array}{rcccl} \psi_1&:&\mathbb{N}&\to& \mathbb{N}\\ & &n &\mapsto &2n\end{array}$ et $\begin{array}{rcccl} \psi_2&:&\mathbb{N}&\to& \mathbb{N}\\ & &n &\mapsto &2n+1\end{array}$
$(V_n)$ et $(W_n)$ sont extraites de $(U_n)$ tq : $V_n = U_{\psi_1 (n)} = U_{2n}=(-1)^{2n} = 1$ et $W_n = U_{\psi_2 (n)} = U_{2n+1}=(-1)^{2n+1} = -1$

Proposition :

Soit $\psi$ une extractrice alors : $\forall n \in \mathbb{N}$ : $\psi(n) \geq n$

Proposition :

Toute suite extraite d'une suite bornée est bornée.
Toute suite extraite d'une suite convergente est convergente et converge vers la même limite.
Alors si on trouve que deux suites extraites ne convergent pas vers la même limite, alors la suite "mère" n'est pas convergente (diverge).

Exemple : dans l'exemple précédent,
$\displaystyle \lim \: V_n = 1$ et $\displaystyle \lim \: W_n = -1$ , alors $(V_n)$ et $(W_n)$ ne convergent pas vers la même limite ( $1 \not = -1$ ), ce qui montre que $(U_n)$ diverge.

Théorème de Bolzano - Weierstrass réel :

De toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente.

2. Suites adjacentes

Définition :

Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ $\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , on dit qu'elles sont adjacentes si l'une est croissante et l'autre est décroissante et $\displaystyle \lim \: (U_n - V_n) = 0$

Proposition :

Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ deux suites adjacentes tq : $(U_n)$ croissante et $(V_n)$ décroissante, alors :
$\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n \leq V_n$ .

Théorème :

Deux suites adjacentes sont convergentes et convergent vers la même limite.

IV. Suite de Segments Emboités

Définitions :

Un segment est tout intervalle fermé et borné de la forme $[a,b]$ ( $a<b$ ).
Soit $(I_n)$ une suite de segments, on dit que cette suite est emboitée ssi : $(\forall n \in \mathbb{N} ) \; : \; I_{n+1} \subset I_n$ .

Exemple :
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ , on note : $I_n = [0,\frac{1}{n}]$ , $(I_n)$ est une suite de segments emboités car $\forall n \in \mathbb{N}^* \; [0,\frac{1}{n+1}] \subset [0, \frac{1}{n}]$ .

Proposition :

Soit $(I_n) = ([a_n,b_n])$ une suite de segments, on a : $(I_n)$ est emboité $\Leftrightarrow$ ( $(a_n)$ croissante et $(b_n)$ décroissante).

Théorème des segments emboités :

Soit $(I_n) = ([a_n,b_n])$ une suite de segments emboités tq $\displaystyle \lim(b_n - a_n) = 0$ , alors il existe un $c \in \mathbb{R}$ tq : $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} [a_n,b_n] =\lbrace c\rbrace$

V. Suites récurrentes

1. Suite arithmético-géométrique

Définition :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ , on dit que $(U_n)$ est arithmético-géométrique ssi : $\exists (a,b) \in \mathbb{R}^* -\lbrace 1\rbrace \times \mathbb{R}^*$ tq :
$U_0 \in \mathbb{R} \\ \forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_{n+1}=aU_n+b$

Remarque :
Si $a = 1$ : $(U_n)$ est arithmétique, et si $b = 0$ : $(U_n)$ est géométrique.

Proposition :

$(U_n)$ converge ssi : $|a| < 1$ , et dans ce cas : $\displaystyle \lim \: U_n = \frac{b}{1-a}$

2. Suites récurrentes linéaires du 2e ordre

Définition :

Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ , la suite $(U_n)$ definie par :
$(U_0 ,U_1) \in \mathbb{R}^2 \\ \forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_{n+2} + aU_{n+1} + bU_n = 0$
est appelée suite recurrente linéaire du 2e ordre, et l'équation $x^2 + ax + b = 0 \; (x \in \mathbb{C} )$ est appelé équation caractéristique qu'il faut resoudre pour trouver $(U_n)$ en fonction de $n$ .

Théorème :

Soit $x^2+ax+b=0$ l'équation caractéristique et $\triangle = a^2-4b$ .

Si $\triangle > 0$ : l'équation admet 2 racines réelles $r_1$ et $r_2$ tq : $U_n = \alpha r_1^n+\beta r_2^n$ avec $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ .
Si $\triangle = 0$ : l'équation admet une racine double réelle $r$ tq : $U_n = (\alpha n+\beta)r^n$ avec $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ .
Si $\triangle < 0$ : l'équation admet deux racines conjuguées : $r_1= r e^{i\theta}$ et $r_2= r e^{-i\theta}$ tq : $U_n=r^n(\alpha cos(n\theta)+\beta sin(n\theta))$ avec $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ .

3. Suite recurrente : cas général

Définition :

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $\begin{array}{rcccl} f&:&I&\to& \mathbb{R}\\ \end{array}$ tq $f(I) \subset I$ , la suite $(U_n)$ définie par :
$U_0 \in I \\ \forall n \; U_{n+1} = f(U_n)$
est appelé suite recurrente.

VI. Suites Complexes

Définition :

Une suite complexe est toute application d'une partie de $\mathbb{N}$ à valeurs dans $\mathbb{C}$ notée $(Z_n)$ en général.

Remarques :
1. Soit $(Z_n)$ une suite complexe, alors il existe $(x_n)$ et $(y_n) \; \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ tq : $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; Z_n= x_n+i y_n$ et on note : $\mathfrak{Re}(Z_n) = x_n$ et $\mathfrak{Im}(Z_n)=y_n$ .
2. Tous les résultats dans $\mathbb{R}$ restent valables pour les suites complexes.

Proposition :

Soit $(Z_n)$ une suite complexe, on a : $(Z_n)$ est bornée $\Leftrightarrow (\mathfrak{Re}(Z_n) )_n et (\mathfrak{Im}(Z_n) )_n$ sont bornées.

Proposition :

Soit $(Z_n)$ une suite complexe, et $l = a+ib \in \mathbb{C}$ avec $a,b$ de $\mathbb{R}$ .
$\displaystyle \lim \: Z_n = l \; \Leftrightarrow \; \displaystyle \lim\mathfrak{Re}(Z_n) = a$ et $\displaystyle \lim\mathfrak{Im}(Z_n) = b$ .

Théorème de Bolzano - Weierstrass complexe :

De toute suite complexe bornée on peut extraire une suite convergente.

Publié par Panter le 01-11-2023

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