Intégration (Partie III)
Suites et séries de fonctions intégrables
Soit
un intervalle quelconque et
ou
*) On définit
par :
, c'est un sev de
.
*) On définit
par :
, c'est un sev de
.
I. Convergence en moyenne - convergence en moyenne quadratique
Définition :
Soit
de
.
On dit que
converge en moyenne vers
sur
ssi :
.
Définition :
Soit
de
.
On dit que
converge en moyenne quadratique vers
sur
ssi :
.
Proposition :
Soit
, alors
et
.
Si
est bornée, alors
et
Remarque :
Il n'y a ni unicité de la limite en moyenne, ni unicité de la limite en moyenne quadratique.
Théorème :
Soit
de
tel que
est borné. Alors :
Si
converge uniformément vers
sur
alors
converge en moyenne quadratique vers
sur
.
Si
converge en moyenne quadratique vers
sur
alors
converge en moyenne vers
sur
.
Définition :
Soit
de
.
On dit que la série de fonctions
converge en moyenne vers
sur I ssi la suite
de ses sommes partielles converge en moyenne sur
vers
.
Définition :
Soit
de
.
On dit que la série de fonctions
converge en moyenne quadratique vers
sur
ssi la suite
de ses sommes partielles converge en moyenne quadratique sur
vers
.
Théorème :
Soit
de
. Si
est bornée, on a :
La convergence uniforme sur I de
vers
en moyenne quadratique vers
sur
.
La convergence en moyenne quadratique de
vers
sur
entraîne sa convergence en moyenne vers
sur
.
II. Convergence dominée
Définition : "condition de domination"
Soit
continue par morceaux.
On dit que
vérifie la condition de domination ssi il existe
continue par morceaux, positive et intégrable tel que :
Théorème :
"dit de la convergence dominée"
Soit
continues par morceaux tels que :
converge simplement sur
vers
.
Chaque
est intégrable sur
.
vérifie la condition de domination sur I.
Alors :
est intégrable sur I.
.
Ainsi, on peut écrire :
.
Remarque :
On
ne peut
pas remplacer les hypothèses de ce théorème par :
Chaque
est intégrable sur
.
converge uniformément sur
vers
.
Attention : c'est une erreur beaucoup rencontrée par les correcteurs !
Contre - exemple :
Exemple :
Soit
.
On a :
est continue sur
.
Soit
.
converge simplement vers
sur
et
est continue sur sur
.
,
est intégrable sur
donc sur
.
On en déduit que
vérifie la condition de domination.
Donc, d'après le théorème de la convergence dominée :
Calcul :
Donc :
Théorème :
Soit
continue par morceaux et positive tels que :
converge simplement sur
de somme
.
chaque
est intégrable sur
.
Alors
est intégrable sur
ssi
converge dans
.
De plus, dans ce cas :
Exemple :
On a :
.
On note,
est continue et positive.
De plus :
est intégrable sur
.
Donc
est intégrable sur
.
est donc intégrable sur
et
a un sens.
On a :
.
D'où :
converge de somme
.
Soit
Chaque
est continue, positive et intégrable sur
.
En outre,
converge simplement sur ]0,1[ de somme
.
D'après le théorème,
converge et
.
Quand :
et
:
Donc :
.
Théorème :
Soit
continues par morceaux tels que :
Chaque
est intégrable sur
.
converge simplement sur
de somme
.
converge dans
.
Alors :
converge.
est intégrable sur
.
.
Exemple :
est continue sur
.
sur
. Donc
est intégrable sur
.
Sur
. Donc
est intégrable sur
.
On en déduit que
est intégrable sur
et
à un sens.
.
Alors
converge de somme
.
Soit alors :
Chaque
est continue et intégrable sur
.
converge simplement sur
de somme
.
Si
converge
le théorème précédent permet d'écrire :
, c'est-à-dire :
.
On a :
et :
.
Ainsi :
Reste à montrer
. On peut utiliser 2 méthodes :
Méthode 1 : "Directe"
On pose :
et
On a :
Donc
converge.
Donc
converge.
D'où le résultat.
Méthode 2 : "Utilisation d'un théorème précédent (l'avant dernier)"
On pose
Chaque
est continue, positive et intégrable sur
.
On a :
converge de somme :
.
est continue, positive et intégrable sur
.
D'où le résultat.