Expression du terme de rang n d'une suite récurrente
Partager :
exercice
On considère la suite récurrente de premier terme et telle que, pour tout entier naturel n, .
1. En utilisant un tableur ou une calculatrice, calculer et représenter graphiquement les 20 premiers termes de cette suite Le nuage de points obtenus a-t-il une particularité ? Si oui, laquelle ?
Appeler l'examinateur pour une vérification de la particularité trouvée.
2.n étant donné, on peut calculer la valeur de si on connait la valeur de .
On voudrait à présent pouvoir calculer, pour n'importe quelle valeur de l'entier naturel non nul n, la valeur de sans pour autant connaître la valeur de . Pour cela il faudrait disposer d'une formule donnant en fonction de n.
a) A l'aide des observations faites dans la première question, conjecturer une formule donnant, pour n'importe quelle valeur de l'entier naturel n, en fonction de n.
Appeler l'examinateur pour une vérification de la formule trouvée.
b) Démontrer cette formule.
Production demandée : - Le nuage de points attendus dans la question 1 et la particularité trouvée à ce nuage.
- La stratégie de démonstration retenue à la question 2 ainsi que les étapes de cette démonstration.
1. Voici ce qu'on obtient avec un tableur (les résultats, les formules à saisir, et la courbe) :
Le nuage de points a une particularité : il semblerait que tous les points se situent sur une parabole.
2. a) Si les points se situent sur une parabole, alors on peut conjecturer que est de la forme où a, b et c sont trois réels à déterminer.
Etant donné que et , alors se factorise par n et n-12, donc se met sous la forme : .
Pour déterminer la valeur de a, on peut par exemple utiliser la valeur de :
Donc, on émet la conjecture que, pour tout entier naturel n : Une vérification sur le tableur permet de s'apercevoir que cette formule semble bien donner les mêmes résultats :
2. b) Démonstration par récurrence :
On appelle (Pn) la propriété : Initialisation : d'après l'énoncé , donc la proprité est vérifiée au rang 0, donc (P0) est vraie.
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier naturel n non nul et on démontre qu'elle est encore vraie au rang n+1.
On a donc :
D'après l'énoncé : , donc :
Or, la propriéte (Pn+1) s'écrit : On vient donc de démontrer que si (Pn) est vraie, alors (Pn+1) est vraie, donc la propriété est héréditaire.
Conclusion : La propriété (Pn) est initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel non nul n.
La conjecture est donc démontrée, donc pour tout entier naturel non nul n, on a :
Publié par jamo
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à jamo pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !
)
de premier terme 
et telle que, pour tout entier naturel n, 
.
si on connait la valeur de 
.
où a, b et c sont trois réels à déterminer.
, alors )
.
:
 = -20 \\ \hspace{15pt} \Longleftrightarrow a=1)
 = n^2 - 12n})
^2 - 12(n+1) = n^2 - 10n - 11)
Voir la correction
forum de terminale