exercice Démonstration - Suites - 01 - Suite croissante majorée
Extrait du sujet de baccalauréat S, Polynésie, juin 2005
La même question a aussi été posée dans le sujet de baccalauréat S, Liban, juin 2008
Prérequis : Définition d'une suite tendant vers "Une suite tend vers si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à A."
Démontrer le théorème suivant :
Une suite croissante non majorée tend vers .
Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2005
On suppose connus les résultats suivants :
(1) Deux suites et sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et tend vers 0 quand n tend vers ;
(2) Si et sont deux suites adjacentes telles que est croissante et est décroissante, alors pour tout n appartenant à , on a ;
(3) Toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.
Démontrer alors la proposition suivante :
"Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite."
exercice Démonstration - Fonctions - 01 - Dérivabilité et primitive d'une fonction
Extrait du sujet de baccalauréat S, Pondichéry, mars 2005
On considère la fonction , définie sur par : On admet que la fonction est continue et croissante sur .
On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni.
Pour tout réel de , on note l'aire du domaine délimité par la courbe représentant dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur est une primitive de .
a) Que vaut ?
b) Soit un réel quelconque de et un réel strictement positif.
Justifier l'encadrement suivant : c) Lorsque , quel encadrement peut-on obtenir pour et tel que ?
d) En déduire la dérivabilité en de la fonction ainsi que le nombre dérivé en de la fonction .
e) Conclure.
exercice Démonstration - Fonctions - 02 - Dérivabilité et primitive d'une fonction
Extrait du sujet de baccalauréat S, Antilles-Guyane, juin 2006
Pré-requis :
La fonction logarithme népérien est dérivable sur et sa fonction dérivée est la fonction inverse ;
.
1. Démontrer que pour tous réels strictement positifs et , .
2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que :
et que pour tous réels strictement positifs et .
3. On donne et .
En déduire des encadrements de , et .
Extrait du sujet de baccalauréat S, France, septembre 2006
Pré-requis :
désigne un nombre réel de l'intervalle .
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions où est une constante réelle.
a) Démontrer l'existence et l'unicité de la solution de l'équation différentielle telle que .
b) Donner l'expression de cette fonction que l'on notera .
Extrait du sujet de baccalauréat S, Antilles-Guyane, juin 2007
Pré-requis : Positivité et linéarité de l'intégrale.
Soient et deux réels d'un intervalle de tels que .
Démontrer que si et sont deux fonctions continues sur telles que pour tout réel de l'intervalle , , alors .
exercice Démonstration - Fonctions - 05 - Calcul de limite à l'infini
Extrait du sujet de baccalauréat S, Asie, juin 2007
On rappelle que lorsque tend vers , alors tend vers .
Démontrer que .
exercice Démonstration - Fonctions - 06 - Calcul de limite à l'infini
Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Nord, mai 2007
L'objet de cette question est de démontrer que .
On supposera connus les résultats suivants :
La fonction exponentielle est dérivable sur et est égale à sa fonction dérivée ;
;
Pour tout réel , on a ;
Soient deux fonctions et définies sur l'intervalle où est un réel positif.
Si pour tout de , et si , alors .
a) On considère la fonction définie sur par .
Montrer que pour tout de .
b) En déduire que .
exercice Démonstration - Fonctions - 07 - Intégration par parties
Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2007
Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle .
Extrait du sujet de baccalauréat S, La Réunion, juin 2007
On suppose connue la propriété :
"Pour tout couple de nombres réels strictement positifs, on a ".
En déduire que, pour tout nombre réel strictement positif, on a .
exercice Démonstration - Fonctions - 09 - Limites et théorème des gendarmes
Extrait du sujet de baccalauréat S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2007
1. Soit une fonction réelle définie sur . Compléter la phrase suivante :
"On dit que admet une limite finie en si ... "
2. Démontrer le théorème « des gendarmes » :
Soient , et trois fonctions définies sur et un nombre réel.
Si et ont pour limite commune quand tend vers , et si pour tout assez grand , alors la limite de quand tend vers est égale à .
Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Sud, novembre 2007
On suppose connu le résultat suivant :
La fonction est l'unique fonction dérivable sur telle que , et .
Soit un réel donné.
a) Montrer que la fonction définie sur par est solution de l'équation .
b) Soit une solution de l'équation . Soit la fonction définie sur par . Montrer que est une fonction constante.
c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation .
exercice Démonstration - Fonctions - 11 - Formules de dérivation
Extrait du sujet de baccalauréat S, La Réunion, septembre 2007
La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse et justifier.
Dans cet exercice désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.
P : Soit la fonction définie sur par ; alors est dérivable sur , de dérivée donnée sur par : .
Q : Soit une fonction dérivable sur et soit la fonction définie sur par ; alors est dérivable sur , de dérivée donnée par .
exercice Démonstration - Fonctions - 12 - Intégration par parties
Extrait du sujet de baccalauréat S, Antilles-Guyane, septembre 2007
Soit un intervalle de .
Soient et deux fonctions continues, dérivables sur telles que et soient continues sur .
Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle de .
Extrait du sujet de baccalauréat S, Polynésie, juin 2008
On supposera connus les résultats suivants :
Soient et deux fonctions continues sur un intervalle avec .
Si sur alors .
Pour tous réels et .
Démontrer que si et sont deux fonctions continues sur un intervalle avec et si, pour tout de , alors .
exercice Démonstration - Fonctions - 14 - Calcul de limite à l'infini
Extrait du sujet de baccalauréat S, Asie, juin 2008
On suppose connu le résultat suivant : .
Démontrer que : .
exercice Démonstration - Fonctions - 15 - Calcul de limite à l'infini
Extrait du sujet de baccalauréat S, Centres étrangers, juin 2008
Prérequis : on rappelle que : .
1. Démontrer que .
2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : .
exercice Démonstration - Géométrie - 01 - Distance entre un point et un plan dans l'espace
Extrait du sujet de baccalauréat S, Pondichéry, avril 2006
L'espace est muni d'un repère orthonormal .
Soient et des réels tels que .
Soit le plan d'équation .
On considère le point de coordonnées et le vecteur de coordonnées .
Le but est de démontrer que la distance de au plan est égale à .
1. Soit la droite passant par et orthogonale au plan .
Déterminer, en fonction de et , un système d'équations paramétriques de .
2. On note le point d'intersection de et .
a) Justifier qu'il existe un réel tel que .
b) Déterminer l'expression de en fonction de et .
c) En déduire que .
exercice Démonstration - Géométrie - 02 - Equation cartésienne d'un plan dans l'espace
Extrait du sujet de baccalauréat S, Nouvelle-Calédonie, mars 2007
L'espace est muni d'un repère orthonormal .
Établir l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal et un point .
exercice Démonstration - Nombres complexes - 01 - Argument d'un quotient de nombres complexes
Extrait du sujet de baccalauréat S, Asie, juin 2006
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct .
On rappelle que pour tout vecteur non nul, d'affixe , on a : et à près.
Prérequis : On sait que si et sont deux nombres complexes non nuls, alors : .
Soient et deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : .
exercice Démonstration - Nombres complexes - 02 - Module et argument d'un produit de nombres complexes
Extrait du sujet de baccalauréat S, Centres étrangers, juin 2006
Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
a) Si est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :
b) Pour tous nombres réels et :
Soient et deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations :
et à près.
exercice Démonstration - Nombres complexes - 03 - Module de produit et inverse de nombre complexes
Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Nord, mai 2006, obligatoire
Prérequis : le module d'un nombre complexe quelconque, noté , vérifie où est le conjugué de .
Démontrer que :
Pour tous nombres complexes et , .
Pour tout nombre complexe non nul, .
Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Nord, mai 2006, spécialité
Prérequis : Définitions géométriques du module d'un nombre complexe et d'un argument d'un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments.
Démontrer que : si A est un point donné d'affixe , alors l'image du point P d'affixe par la rotation de centre A et d'angle est le point Q d'affixe telle que .
exercice Démonstration - Nombres complexes - 05 - Arguments d'un quotient de nombres complexes
Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2006, obligatoire
On prend comme pré-requis les résultats suivants :
Si et sont deux nombres complexes non nuls, alors : à près, avec entier relatif ;
Pour tout vecteur non nul d'affixe on a : à près, avec entier relatif.
a) Soient et des nombres complexes non nuls, démontrer que : à près, avec entier relatif.
b) Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives , , , on a : à près, avec entier relatif.
exercice Démonstration - Nombres complexes - 06 - Module et argument d'un quotient de nombre complexes
Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Sud, Novembre 2006, obligatoire
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal .
On rappelle que : "Pour tout vecteur non nul, d'affixe on a : et ".
Soient M, N et P trois points du plan, d'affixes respectives , et tels que et .
a) Démontrer que : .
b) Interpréter géométriquement le nombre .
exercice Démonstration - Nombres complexes - 07 - Propriétés sur les nombres complexes
Extrait du sujet de baccalauréat S, Centres Etrangers, juin 2007, obligatoire
1. Démontrer qu'un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si .
2. Démontrer qu'un nombre complexe est réel si et seulement si .
3. Démontrer que pour tout nombre complexe , on a l'égalité : .
exercice Démonstration - Nombres complexes - 08 - Affixe du centre d'une similitude plane directe
Extrait du sujet de baccalauréat S, Centres Etrangers, juin 2007, spécialité
On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude plane directe autre qu'une translation est de la forme , où et sont des nombres complexes avec .
Déterminer en fonction de et de l'affixe du centre d'une telle similitude plane directe.
Extrait du sujet de baccalauréat S, Pondichéry, avril 2008, obligatoire
On suppose connus les résultats suivants :
1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes , et trois points A, B et C.
Alors : et 2. Soit un nombre complexe et soit un réel : si et seulement si et , où est un entier relatif.
Démonstration de cours : Démontrer que la rotation d'angle et de centre d'affixe est la transformation du plan qui à tout point M d'affixe associe le point M' d'affixe tel que :
Extrait du sujet de baccalauréat S, Pondichéry, avril 2008, spécialité
On suppose connu le résultat suivant :
Une application du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si admet une écriture complexe de la forme , où et .
Démonstration de cours : On se place dans le plan complexe. Démontrer que si A, B, A' et B' sont quatre points tels que A est distinct de B et A' est distinct de B', alors il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'.
exercice Démonstration - Arithmétique - 01 - Théorèmes de Gauss et de Bézout
Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2006, spécialité
1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Sud, novembre 2006, spécialité
Rappel :
Pour deux entiers relatifs et , on dit que est congru à modulo 7, et on écrit lorsqu'il existe un entier relatif tel que .
a) Soient et des entiers relatifs.
Démontrer que : si et alors .
b) En déduire que : pour et entiers relatifs non nuls, si alors pour tout entier naturel n, .
exercice Démonstration - Arithmétique - 03 - Congruences et opérations
Extrait du sujet de baccalauréat S, Nouvelle-Calédonie, mars 2008, spécialité
Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.
Extrait du sujet de baccalauréat S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2005
Soient A et B deux évènements indépendants. Démontrer que A et sont indépendants.
exercice Démonstration - Probabilités - 02 - Loi exponentielle
Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2008
Soit une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre , .
La fonction définie sur l'intervalle par est appelée fonction de fiabilité.
a) Démontrer que pour tout on a .
b) Démontrer que la variable suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel , la probabilité conditionnelle ne dépend pas du nombre .
exercice Démonstration - Suites - 01 - Suite croissante majorée
Montrons que toute suite croissante non majorée tend vers . Soit une suite croissante non majorée, .
n'étant pas majorée, considérons un entier tel que . Comme la suite est croissante, pour tout
tel que , on a .
Autrement dit, pour tout réel , il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à .
Ceci montre exactement que tend vers .
Montrons que deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite. Soient et deux suites adjacentes, telles que soit croissante et soit décroissante.
Montrons dans un premier temps que et sont convergentes. Comme est supposée croissante, on a pour tout , .
De même, étant supposée décroissante, on a pour tout , .
Or, d'après le résultat 2), pour tout , on a : .
D'où finalement on a pour tout , .
Autrement dit : est croissante et majorée, donc convergente ; et idem, est décroissante et minorée, donc convergente.
D'où la convergence des deux suites.
Montrons qu'alors elles ont la même limite. On sait que et convergent. Notons respectivement et leur limite (réelle).
Comme les deux suites sont adjacentes, on a (1)
Or, les deux suites étant convergentes : . (2)
D'après (1) et (2), il résulte finalement que : les deux suites ont la même limite.
exercice Démonstration - Fonctions - 01 - Dérivabilité et primitive d'une fonction
a) représente l'aire du domaine délimité par la courbe représentant , l'axe des abscisses et les deux droites d'équation et (évidemment confondues !).
D'où en fait : .
b) représente l'aire du domaine délimité par la courbe représentant , l'axe des abscisses et
les deux droites d'équation et .
Par la méthode des rectangles, on constate que cette aire est comprise entre et .
D'où finalement : .
c) On suppose et tel que .
Soit . Comme est croissante sur , on peut écrire : .
D'où en intégrant cette relation de à , on obtient :
.
Soit, comme : .
Enfin, d'après la relation de Chasles, on a : .
D'où finalement, en réinjectant dans l'inéquation plus haut et en divisant par , on obtient :
.
Remarque : On pouvait également adopter ce point de vue pour la question précédente...
d) Par continuité de en , on a : .
D'où en faisant tendre vers 0 dans l'un des encadrements trouvés aux questions précédentes, on obtient d'après le théorème des gendarmes que est
dérivable en , et que .
e) Ceci étant valable pour tout (en 1, on n'aura que la dérivabilité à droite... mais c'est suffisant !), la fonction est
dérivable sur , et pour tout , on a : .
D'où est finalement une primitive de sur .
exercice Démonstration - Fonctions - 02 - Dérivabilité et primitive d'une fonction
1. Soit . On définit pour tout la fonction .
On a : , d'où par intégration où est une constante à déterminer.
De plus, , d'où finalement : et . (valable pour tous réels strictement positifs).
2. Soient a et b deux réels strictement positifs.
On sait que .
Or, , d'où finalement : .
a) Soit . On a , et l'équation s'écrit alors : .
D'où l'existence de solutions à cette équation différentielle. La condition (soit ) impose l'unicité (puisqu'alors une unique
constante convient).
b) En reprenant les mêmes notations que ci-dessus, on sait que l'équation admet pour solution les fonctions de la forme , où est une constante à
déterminer. Comme , on a , d'où en fait : .
Finalement, on a pour tout réel [tetx]x[/tex], , d'où :
Soient et deux fonctions continues sur tels que pour tout , .
Alors la fonction est positive. D'où (par positivité de l'intégrale)
Or : (par linéarité)
D'où finalement : .
exercice Démonstration - Fonctions - 05 - Calcul de limite à l'infini
En effectuant le changement de variable , on a : .
Or, , donc .
D'où finalement : .
exercice Démonstration - Fonctions - 06 - Calcul de limite à l'infini
a) Soit .
On a : . Or, pour , on a : (cf. 3ème point), d'où .
Ainsi, la fonction est croissante sur , et donc comme , on a bien pour tout , .
b) Soit . On sait que . Autrement dit, on a , soit encore (x positif).
Or, , d'où finalement (cf. 4ème point) :
exercice Démonstration - Fonctions - 07 - Intégration par parties
Soient et deux fonctions dérivables sur , de dérivées continues sur , et , deux points de . D'après la
formule d'intégration par parties, on a :
.
En effet : si pour ton , on définit par .
Alors : la fonction est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables.
De plus, on calcule : , où les fonctions et sont continues sur comme produit de fonctions continues. Finalement, on obtient :
exercice Démonstration - Fonctions - 09 - Limites et théorème des gendarmes
1. On dit que admet une limite finie en si pour tout , il existe un réel tel que pour
tout réel , on ait .
Remarque : Avec des quantificateurs, cela s'écrit : .
2. Soient trois fonctions définies sur et un nombre réel.
On suppose que et convergent vers une même limite quand tend vers , et que pour tout assez grand, on a : .
Soit . Comme tend vers , il existe un réel tel que pour , . De
même, il existe un réel tel que pour , .
Enfin, il existe un réel tel que pour , .
D'où pour , on a : .
D'où finalement la limite de quand tend vers est aussi .
1. On a : , d'où est bien solution de l'équation .
2. Pour réel, on a : .
Or, comme est solution de l'équation , on a : .
D'où pour tout réel . Autrement dit, est une fonction constante.
3. On vient de montrer que si est solution de l'équation , alors pour tout réel, on a (où est
une constante), autrement dit est de la forme .
Réciproquement, les fonctions de la forme sont bien solutions de l'équation .
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions de la forme ().
exercice Démonstration - Fonctions - 11 - Formules de dérivation
La proposition P est vraie. En effet, par récurrence sur :
Initialisation : pour , si , alors .
Hérédité : soit . On suppose que si , alors est dérivable sur , de dérivée
donnée par : .
Soit définie par . Alors est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables, et de plus :
.
D'où l'hérédité. Et d'où la proposition P.
En revanche, la proposition Q est fausse. Pour le montrer, il suffit d'exhiber un contre-exemple.
Par exemple, pour , on a (dérivée de la composée) : .
exercice Démonstration - Fonctions - 12 - Intégration par parties
(Voir Démonstration - Fonctions - 07 - Intégration par parties pour une autre démonstration, qui repose néanmoins sur la même idée.)
Soient et deux fonctions dérivables, de dérivées continues, sur un intervalle . D'après la formule d'intégration par parties, on a :
.
En effet, Si on pose On a : .
Alors : .
On vérifie de plus que : .
Finalement, est l'unique primitive de qui s'annule en a, d'où la formule susmentionnée.
Soient et deux fonctions continues sur tels que pour tout , .
Alors la fonction est positive. D'où (par positivité de l'intégrale)
Or : . (par linéarité)
D'où finalement : .
exercice Démonstration - Fonctions - 14 - Calcul de limite à l'infini
On a : .
D'où : .
exercice Démonstration - Fonctions - 15 - Calcul de limite à l'infini
1. En effectuant le changement de variable , on a : , où quand tend vers ,
tend vers .
Or, , donc .
D'où finalement : .
2. Pour tout entier naturel strictement positif, on a : .
Or, (1).
si , le résultat a été montré à la question précédente.
si , alors d'après (1) et les règles sur les limites d'un produit, .
exercice Démonstration - Géométrie - 01 - Distance entre un point et un plan dans l'espace
1. D'après l'équation du plan, le vecteur est un vecteur normal au plan .
La droite étant par ailleurs orthogonale à ce plan, est en fait un vecteur directeur de cette droite.
Enfin, comme passe par le point , on a donc le système d'équations paramétriques de suivant :
.
2. a) On a en particulier et .
Mais comme est un vecteur directeur de la droite , les vecteurs et sont colinéaires, d'où
l'existence de tel que .
2. b) étant un point de , on écrit les coordonnées de :
.
D'où en utilisant le fait que , on obtient : ,
soit .
De plus, on en déduit donc que les coordonnées du vecteur sont . Mais comme
, les coordonnées de sont également de la forme .
D'où on conclut par identification que .
2. c) On a donc Cette longueur est la distance du point au plan puisque est le projeté orthogonal de sur ce plan.
exercice Démonstration - Géométrie - 02 - Équation cartésienne d'un plan dans l'espace
Comme le vecteur est un vecteur normal au plan, on sait que son équation est de la forme où
est une constante à déterminer.
Sachant que , on a de plus , soit encore .
D'où finalement l'équation du plan de vecteur normal et passant par est :
exercice Démonstration - Nombres complexes - 01 - Argument d'un quotient de nombres complexes
Soient deux nombres complexes non nuls.
On a : .
Or, .
D'où finalement : (à près).
exercice Démonstration - Nombres complexes - 02 - Module et argument d'un produit de nombres complexes
On écrit et , avec .
On constate dans un premier temps que (resp. ) sont les modules (resp. des arguments) des complexes .
On calcule :
D'où par identification :
exercice Démonstration - Nombres complexes - 03 - Module de produit et inverse de nombres complexes
Soient deux nombres complexes. On a :
.
D'où comme le module est positif : .
Soit un nombre complexe non nul. On a : d'après le résultat de la question précédente.
Or : .
D'où finalement ( non nul) : .
Soient A, B, A', B' quatre points du plan complexe d'affixes respectives .
Par hypothèse, on a et .
Il s'agit de résoudre le système suivant : .
Le système admet donc un unique couple solution, d'où (comme est non nul...) l'existence d'une unique similitude directe qui transforme A en A' et B en B'.
exercice Démonstration - Arithmétique - 01 - Théorèmes de Gauss et de Bezout
1.Théorème de Bezout. Soient a et b deux entiers non nuls.
Il existe deux entiers u et v tels que .
Théorème de Gauss. Soient a, b et c trois entiers non nuls.
Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c.
2. Soient a, b et c trois entiers non nuls.
On suppose que a divise le produit bc et que a est premier avec b.
Alors d'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1.
En multipliant les deux membres de l'égalité ci-dessus par c, on obtient : auc + bvc = c (1).
Or, a divise le produit bc, donc il existe un entier k tel que bc = ak, d'où en réinjectant dans l'égalité (1), on obtient : auc + akv = c, soit encore a(uc + kv) = c.
a) Soient a, b, c et d des entiers relatifs.
Supposons que et .
On écrit alors a = b + 7k et c = d + 7k' (avec k, k' entiers relatifs).
Ainsi, ac = (b + 7k)(d + 7k') = bd + 7kd + 7bk' + 49kk' = bd + 7(kd+bk'+7kk') = bd + 7K où K est encore un entier relatif.
D'où finalement .
b) Si , par récurrence sur :
Initialisation : pour n=0, on a bien .
Hérédité : Soit On suppose que . Alors comme par hypothèse , on a d'après
le résultat de la question a) : , soit .
D'où l'itération et d'où finalement le résultat.
exercice Démonstration - Arithmétique - 03 - Congruences et opérations
Si a, b, c, d et n sont des entiers tels que et , on a :
;
;
pour tout , .
Démonstration du résultat pour la multiplication : On écrit a = b + nk et c = d + nk' (avec k, k' entiers relatifs).
Ainsi, ac = (b + nk)(d + nk') = bd + nkd + nbk' + n²kk' = bd + n(kd+bk'+nkk') = bd + nK où K est encore un entier relatif.
D'où finalement .
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !
)
et )
sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et 
tend vers 0 quand n tend vers 
, on a 
;
, définie sur 
par : = \displaystyle \frac{e^t}{t}.)
de )
l'aire du domaine délimité par la courbe représentant 
et 
.
)
?
un réel strictement positif.
 \le \displaystyle \frac{\mathcal{A}(x_0 + h) - \mathcal{A}(x_0)}{h} \le f(x_0 + h))
, quel encadrement peut-on obtenir pour 
et tel que 
?
ainsi que le nombre dérivé en 
![]0 ; +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 ; +\infty[)
et sa fonction dérivée est la fonction inverse )
;
 = 0)
.
et 
,  = \ln(a) + \ln(x))
.
 = - \ln (b))
et que  = \ln(a) - \ln(b))
pour tous réels strictement positifs 
.
et 
.
, )
et )
.
désigne un nombre réel de l'intervalle ![]0;1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;1])
.
sont les fonctions 
où 
est une constante réelle.
de l'équation différentielle  \, : \, z' = -(\lambda z +1))
telle que  = 1)
.
.
de 
tels que 
.
sont deux fonctions continues sur  \ge g (x))
, alors  \text{d}x \ge \int_a^b g(x) \text{d}x)
.
tend vers 
tend vers 
.
.
;
;
et 
définies sur l'intervalle 
où 
est un réel positif.
 \le \phi(x))
et si  = +\infty)
, alors  = +\infty)
.
par  = e^x - \displaystyle \frac{x^2}{2})
.
 \ge 0)
.
![[a ; b]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[a ; b])
.
)
de nombres réels strictement positifs, on a  = \ln(x)+ \ln(y))
".
strictement positif, on a  = \displaystyle \frac{1}{2} \ln(m))
.
. Compléter la phrase suivante :
en  \le f(x) \le h(x))
, alors la limite de 
est l'unique fonction 
, et =1)
.
 = e^{ax})
est solution de l'équation 
.
 = g(x)e^{-ax})
. Montrer que 
désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.
 = x^n)
; alors 
donnée sur  = nx^{n-1})
.
une fonction dérivable sur 
; alors 
.
deux fonctions continues, dérivables sur 
et 
soient continues sur 
.
sur  \text{d}x \ge 0)
.
et ![\beta \, , \, \displaystyle \int_a^b \left[ \alpha u(x) + \beta v(x) \right] \text{d}x = \alpha \int_a^b u(x) \text{d}x + \beta \int_a^b v(x) \text{d}x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta \, , \, \displaystyle \int_a^b \left[ \alpha u(x) + \beta v(x) \right] \text{d}x = \alpha \int_a^b u(x) \text{d}x + \beta \int_a^b v(x) \text{d}x)
.
et si, pour tout  \le g(x))
alors  \text{d}x \le \int_a^b g(x) \text{d}x)
.
.
.
.
.
)
.
et 
des réels tels que  \neq (0;0;0))
.
le plan d'équation 
.
)
et le vecteur 
de coordonnées )
.
.
la droite passant par 
et 
, un système d'équations paramétriques de 
le point d'intersection de 
tel que 
.
et 
.
)
et un point )
.
)
.
non nul, d'affixe 
et  = \left( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{w} \right))
à 
près.
sont deux nombres complexes non nuls, alors :  = \arg(z) + arg(z'))
.
 = \arg(z) - \arg(z'))
.
 & \theta \, \text{ à } 2\pi \text{ près} \\ \end{array} \right. \, \Longleftrightarrow \, \left \lbrace \begin{array}{l} z = r( \cos \theta + \sin \theta ) \\ r > 0 \\ \end{array} \right.)
 & \cos a \cos b - \sin a \sin b \\ \sin(a +b) & \sin a \cos + \sin b \cos a \\ \end{array} \right.)
et 
deux nombres complexes non nuls.
et  = \arg(z_1) + \arg(z_2))
à 
, vérifie 
où 
est le conjugué de 
.
.
par la rotation de centre A et d'angle 
est le point Q d'affixe 
telle que )
.
 = \arg(z) + \arg(z'))
à 
près, avec 
non nul d'affixe  = \left(\vec{u} ; \vec{w}))
à 
, on a :  = \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right))
à 
et  = \left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{w} \right))
".
et 
.
 = \left( \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP} \right))
.
.
.
.
.
, où 
.
, 
et 
trois points A, B et C.
et  = \left( \overrightarrow{CA} , \overrightarrow{CB} \right) \, (2 \pi))
un réel : 
si et seulement si 
et = \theta + 2k \pi)
, où 
d'angle 
d'affixe 
est la transformation du plan qui à tout point M d'affixe )
, où 
et 
.
lorsqu'il existe un entier relatif 
.
alors 
.
.
sont indépendants.
une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 
,  = \displaystyle \int_0^t \lambda e^{-\lambda x} \text{d}x)
.
définie sur l'intervalle  = P(X > t))
est appelée fonction de fiabilité.
 = e^{-\lambda t})
.
, la probabilité conditionnelle )
ne dépend pas du nombre 
.
_{n\in\mathbb{N}})
une suite croissante non majorée, 
.
tel que 
. Comme la suite est croissante, pour tout
tel que 
, on a 
.
.
.
.
.
et 
leur limite (réelle).
(1)
. (2)
: les deux suites ont la même limite.
et =0)
.
-\mathcal{A}\left(x_0\right))
représente l'aire du domaine délimité par la courbe représentant 
et 
.
)
et )
.
\le\displaystyle\frac{\mathcal{A}(x_0+h)-\mathcal{A}(x_0)}{h}\le f(x_0+h))
.
et 
tel que 
.
![t\in[x_0+h;x_0]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t\in[x_0+h;x_0])
. Comme 
, on peut écrire : \leqslant f(t)\leqslant f(x_0))
.
à {\text d}t\leqslant \int_{x_0+h}^{x_0}f(t){\rm d}t\leqslant \int_{x_0+h}^{x_0}f(x_0){\rm d}t)
.
(-h)\leqslant \int_{x_0+h}^{x_0}f(t){\rm d}t\leqslant f(x_0)(-h))
.
{\text d}t=\int_{x_0+h}^{1}f(t){\rm d}t + \int_{1}^{x_0}f(t){\rm d}t = \mathcal{A}(x_0)-\mathcal{A}(x_0+h))
.
, on obtient :
\leqslant \frac{\mathcal{A}(x_0+h)-\mathcal{A}(x_0)}{h}\leqslant f(x_0))
.
=f(x_0))
.
= f(x_0))
.
(en 1, on n'aura que la dérivabilité à droite... mais c'est suffisant !), la fonction 
, on a : =f(x))
.
. On définit pour tout 
la fonction )
.
=a\times\dfrac{1}{ax}=\dfrac{1}{x})
, d'où par intégration =_{déf}\ln(ax)=\ln(x)+C)
où =_{déf}\ln(a)=\ln(1)+C=_{hyp}C)
, d'où finalement : )
et =\ln(a)+\ln(x)})
. (valable pour tous réels 
strictement positifs).
=\ln(b)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right))
.
=\ln(1)=_{hyp}0)
, d'où finalement : =-\ln(b)})
.
=\ln\left(a\times\dfrac{1}{b}\right)=\ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=\fbox{\ln(a)-\ln(b)})
.
=\ln(2\times3)=\ln(2)+\ln(3))
, d'où : \le1,80})
.
=-\ln(6))
, d'où : \le-1,78})
.
=\ln(3)-\ln(8)=\ln(3}-\ln(2\times2\times2)=\ln(3)-3\ln(2))
, d'où : \le-0,97})
.
. On a 
, et l'équation )
s'écrit alors : 
.
=1)
(soit =1+\dfrac{1}{\lambda})
) impose l'unicité (puisqu'alors une unique
constante 
, où =1)
, on a =1+\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{\lambda+1}{\lambda})
, d'où en fait : 
.
=\dfrac{\lambda+1}{\lambda}e^{-\lambda x})
, d'où :
=y_0(x)-\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{\lambda}\left(\left(\lambda+1\right)e^{-\lambda x}-1\right)})
.
, \ge g(x))
.
est positive. D'où (x){\text d}x\ge 0)
(par positivité de l'intégrale)
(x){\rm d}x = \int_a^b f(x){\rm d}x - \int_a^b g(x){\text d}x)
(par linéarité)
{\rm d}x \ge \int_a^b g(x){\rm d}x})
.
, on a : 
.
, donc 
.
.
.
=e^x-x)
. Or, pour 
, on a : 
(cf. 3ème point), d'où >0)
.
, et donc comme =1)
, on a bien pour tout \ge 0)
.
=e^x-\dfrac{x^2}{2}\ge 0)
. Autrement dit, on a 
, soit encore 
(x positif).
, d'où finalement (cf. 4ème point) :
![\displaystyle \int_a^b u'(x)v(x){\text d}x = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x){\text d}x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \int_a^b u'(x)v(x){\text d}x = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x){\text d}x)
. = u(x)v(x))
.
, où les fonctions 
et 
sont continues sur ![\displaystyle\left[u(x)v(x)\right]_a^b=g(b)-g(a)=\int_a^b g'(x){\text d}x=\int_a^b u'(x)v(x){\text d}x+\int_a^b u(x)v'(x){\text d}x\quad\Longleftrightarrow\quad\fbox{\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)=\left[u(x)v(x)\right]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\left[u(x)v(x)\right]_a^b=g(b)-g(a)=\int_a^b g'(x){\text d}x=\int_a^b u'(x)v(x){\text d}x+\int_a^b u(x)v'(x){\text d}x\quad\Longleftrightarrow\quad\fbox{\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)=\left[u(x)v(x)\right]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x})
.
.
=\ln\left(\sqrt{m}\times\sqrt{m}\right)=\ln(\sqrt{m})+\ln(\sqrt{m})=2\times\ln(\sqrt{m}))
.
=\dfrac{1}{2}\ln(m)})
.
, il existe un réel 
tel que pour
tout réel 
, on ait -L|\le \epsilon)
.
-L|\le \epsilon\right))
.
trois fonctions définies sur 
et \le f(x)\le h(x))
.
tend vers 
un réel tel que pour 
, \le L+\epsilon)
. De
même, il existe 
un réel tel que pour 
, \le L+\epsilon)
.
un réel tel que pour 
, )
, on a : \le f(x)\le h(x)\le L+\epsilon)
.
 = ae^{ax} = af(x))
, d'où 
.
 = g'(x)e^{-ax}+g(x)(-a)e^{-ax} = \left(g'(x)-ag(x)\right)e^{-ax})
.
-ag(x)=0)
.
=0)
pour tout réel e^{-ax}=C)
(où )
est de la forme 
.
sont bien solutions de l'équation 
).
:
, si =x)
, alors =1=1\times x^0)
.
=x^n)
, alors =nx^{n-1})
.
=x^{n+1}=x\times x^n)
. Alors =x^n + x\times nx^{n-1}=(n+1)x^n)
.
, on a (dérivée de la composée) : =u'\times (n u^{n-1})\neq n u^{n-1})
.
![[a;b]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[a;b])
. D'après la formule d'intégration par parties, on a :
![\displaystyle \int_a^b u'(x)v(x){\rm d}x = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \int_a^b u'(x)v(x){\rm d}x = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x)
.![\displaystyle f:t\mapsto \left[u(x)v(x)\right]_a^t - \int_a^t u(x)v'(x){\rm d}x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle f:t\mapsto \left[u(x)v(x)\right]_a^t - \int_a^t u(x)v'(x){\rm d}x)
 = u(b)v(b) - \underbrace{u(a)v(a)}_{\rm constante} - \int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x )
.
 = u'(b)v(b) + u(b)v'(b) - u(b)v'(b) = u'(b)v(b))
.
=0)
.
(x){\rm d}x\ge 0)
(par positivité de l'intégrale)
(x){\rm d}x = \int_a^b f(x){\rm d}x - \int_a^b g(x){\rm d}x)
. (par linéarité)
.
.
, où quand 
.
(1).
, alors d'après (1) et les règles sur les limites d'un produit, 
.
)
est un vecteur normal au plan 
est en fait un vecteur directeur de cette droite.
.
et 
.
et 
tel que 
.
.
, on obtient : +b(bt_0+y_I)+c(ct_0+z_I)+d=0)
,
soit }{a^2+b^2+c^2})
.
)
. Mais comme
)
.
}{a^2+b^2+c^2}})
.
}{a^2+b^2+c^2}\right|\times\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\fbox{\displaystyle\frac{ax_I+by_I+cz_I+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}})
)
est un vecteur normal au plan, on sait que son équation est de la forme 
où
\in\mathcal{P})
, on a de plus 
, soit encore )
.
)
est :
+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0})
deux nombres complexes non nuls.
=\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)+\arg(z'))
.
=\arg(z))
.
=\arg(z)-\arg(z')})
(à )
et )
, avec 
.
(resp. 
) sont les modules (resp. des arguments) des complexes 
.
\times r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\\ z_1z_2 = r_1r_2(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\theta_2+i\sin\theta_1\cos\theta_2+i\sin\theta_2\cos\theta_1)\\ z_1z_2 = r_1r_2(\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+i\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)))
=\theta_1+\theta_2=\arg(z_1)+\arg(z_2)\quad\quad{\rm à\,2\pi\,près}\end{array}\right.})
\times(\overline{z_1z_2})=z_1\overline{z_1}z_2\overline{z_2}=|z_1|^2|z_2|^2)
.
.
d'après le résultat de la question précédente.
.
.
tels que 
soit l'image du point P par la rotation de centre A et d'angle
.
![\displaystyle AQ=AP\quad{\rm et}\quad (\overrightarrow{AP};\overrightarrow{AQ})=\frac{\pi}{2}\,[2\pi]\\ \Longleftrightarrow |q-a|=|p-a|\quad{\rm et}\quad \arg\left(\frac{q-a}{p-a}\right)=\frac{\pi}{2}\,[2\pi]\\ \Longleftrightarrow \left|\frac{q-a}{p-a}\right|=1\quad{\rm et}\quad \arg\left(\frac{q-a}{p-a}\right)=\frac{\pi}{2}\, [2\pi]\\ \Longleftrightarrow \frac{q-a}{p-a}=e^{i\pi/2}\\ \Longleftrightarrow \fbox{\displaystyle (q-a)=i(p-a)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle AQ=AP\quad{\rm et}\quad (\overrightarrow{AP};\overrightarrow{AQ})=\frac{\pi}{2}\,[2\pi]\\ \Longleftrightarrow |q-a|=|p-a|\quad{\rm et}\quad \arg\left(\frac{q-a}{p-a}\right)=\frac{\pi}{2}\,[2\pi]\\ \Longleftrightarrow \left|\frac{q-a}{p-a}\right|=1\quad{\rm et}\quad \arg\left(\frac{q-a}{p-a}\right)=\frac{\pi}{2}\, [2\pi]\\ \Longleftrightarrow \frac{q-a}{p-a}=e^{i\pi/2}\\ \Longleftrightarrow \fbox{\displaystyle (q-a)=i(p-a)})
.
=\arg\left(\frac{z}{z'}\right)+\arg(z'))
.
=\arg(z))
.
. On a :
=\arg(c-a)-\arg(b-a)=(\vec{u};\overrightarrow{AC})-(\vec{u};\overrightarrow{AB})=(\overrightarrow{AB};\vec{u})+(\vec{u};\overrightarrow{AC})= \fbox{\displaystyle(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})})
.
tels que 
et 
.
=\arg(p-m)-\arg(n-m)=(\vec{u};\overrightarrow{MP})-(\vec{u};\overrightarrow{MN})=(\overrightarrow{MN};\vec{u})+(\vec{u};\overrightarrow{MP})= \fbox{\displaystyle(\overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP})})
.
.
+i\mathfrak{I}(z))
, où ,\mathfrak{I}(z)\in\mathbb{R})
.
)
, et donc =-z)
.
, alors -i\mathfrak{I}(z)=-\mathfrak{R}(z)-\mathfrak{I}(z))
, soit encore =-\mathfrak{R}(z))
,
soit =0)
.
)
.
, alors +i\mathfrak{I}(z)=\mathfrak{R}(z)-i\mathfrak{I}(z))
, d'où =0)
et +i\mathfrak{I}(z))(\mathfrak{R}(z)-i\mathfrak{I}(z))=\mathfrak{R}(z)^2 - i^2\mathfrak{I}(z)^2 = \mathfrak{R}(z)^2 + \mathfrak{I}(z)^2 = |z|^2)
.
.
) : 
.
![\left\lbrace\begin{array}{l} (\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M'})=\alpha\,[2\pi]\\ \Omega M=\Omega M'\end{array}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{array}{l} (\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M'})=\alpha\,[2\pi]\\ \Omega M=\Omega M'\end{array}\right.)
.
![\displaystyle \left\lbrace\begin{array}{l} (\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M'})=\alpha\,[2\pi]\\ \Omega M=\Omega M'\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} \arg\left(\displaystyle\frac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=\alpha\,[2\pi]\\ |z-\omega|=|z'-\omega|\end{array}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \left\lbrace\begin{array}{l} (\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M'})=\alpha\,[2\pi]\\ \Omega M=\Omega M'\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} \arg\left(\displaystyle\frac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=\alpha\,[2\pi]\\ |z-\omega|=|z'-\omega|\end{array}\right.)
.
est le nombre complexe de module 1 et d'argument 
.
})
.
.
et 
.
.
\\y=b'-xb\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}\displaystyle x=\frac{a'-b'}{a-b}\quad\quad a-b\neq0\\y=b'-xb\end{array}\right.)
)
solution, d'où (comme )
.
et 
.
.
.
. Alors comme par hypothèse 
, soit 
.
![a\equiv b\,[n]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a\equiv b\,[n])
et ![c\equiv d\,[n]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?c\equiv d\,[n])
, on a :
![a+c \equiv b+d\,[n]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a+c \equiv b+d\,[n])
;
![ac \equiv bd\,[n]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?ac \equiv bd\,[n])
;
, ![a^k\equiv b^k\,[n]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a^k\equiv b^k\,[n])
.
.
=P(A)\times P(B))
.
=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B}))
, d'où : =P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)\times(1-P(B))=P(A)\times P(\overline{B}))
.
sont indépendants.
. On a :
![\displaystyle R(t)=P(X>t)=1-P(X\le t)\\ R(t) = 1-\int_0^t \lambda e^{-\lambda x}{\rm d}x\\ R(t) = 1+\left[e^{-\lambda x}\right]_0^t\\ R(t) = 1+e^{-\lambda t}-1\\ \fbox{\displaystyle R(t)=e^{-\lambda t}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle R(t)=P(X>t)=1-P(X\le t)\\ R(t) = 1-\int_0^t \lambda e^{-\lambda x}{\rm d}x\\ R(t) = 1+\left[e^{-\lambda x}\right]_0^t\\ R(t) = 1+e^{-\lambda t}-1\\ \fbox{\displaystyle R(t)=e^{-\lambda t}})
.
. On a :
 &\displaystyle\frac{P\left((X>t)\cap(X>t+s)\right)}{P(X>t)}\\ &\displaystyle \frac{P(X>t+s)}{P(X>t)} \quad\quad {\rm car\,si\,x>t+s\,\text{ alors à fortiori} \,x>t}\\ &\displaystyle \frac{e^{-\lambda (t+s)}}{e^{-\lambda t}} \quad\quad {\rm d'après\,la\,question\,précédente}\\ &\displaystyle e^{-\lambda s}\end{array})
=e^{-\lambda s})
qui ne dépend pas de t.
Voir la correction
forum de terminale