Fiche de mathématiques

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Bac Economique et Social
Session 2005

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 5 Durée : 3 heures

3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

La courbe $(\mathcal{C})$ donnée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]-3; + $\small \infty$ [.

sujet national du bac ES 2005 - terminale : image 1

On sait que le point A de coordonnées (0; 1) appartient à la courbe $(\mathcal{C})$ et que la fonction f admet un minimum pour x = 0. En outre, les droites d'équations respectives y = 4 et x = -3 sont asymptotes à la courbe $(\mathcal{C})$ .

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

1.La limite de la fonction f en + $\small \infty$ est :	+ $\small \infty$ -3 4
2. On note f ' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle ]-3; + $\small \infty$ [	f '(0) = 1 f '(1) = 0 f '(0) = 0
3. L'équation de la tangente à la courbe $\normalsize(\mathcal{C})$ au point A est :	y = 1 y = x y = 0
4. Sur l'intervalle ]-3; + $\small \infty$ [, l'équation f(x) = x	n'admet aucune solution admet comme solution unique : x = 0 admet une solution unique appartenant à l'intervalle ]1; 2[

Dans les deux questions suivantes, on considère la fonction g définie sur l'intervalle ]-3; + $\small \infty$ [ par $g = \ln \circ f$ , où ln désigne la fonction logarithme népérien.

5. Si x = 0, alors	on ne peut pas calculer g(x) g(x) = 1 g(x) = 0
6. On peut affirmer que sur l'intervalle ]-3; + $\small \infty$ [	g a les mêmes variations que la fonction ln g a les mêmes variations que la fonction f g a les variations inverses de celles de la fonction f

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

En 2004, une caisse de retraite propose à ses adhérents un barème de rachat d'un trimestre de cotisation des années antérieures selon le tableau suivant :

Age de l’adhérent en années	54	55	56	57	58
Rang x_i	0	1	2	3	4
Montant y_i du rachat d’un trimestre de cotisation en euros	2229	2285	2340	2394	2449

(Source : CARMF Mai 2004)

1. Calculer l'augmentation en pourcentage du montant du rachat d'un trimestre entre un salarié de 54 ans et un salarié de 58 ans. On donnera le résultat arrondi à l'unité.

2. Sur votre copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique (x_i; y_i) dans un repère othogonal :
sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2cm pour une unité;
sur l'axe des ordonnées, on placera 2200 à l'origine et on choisira 1cm pour 20 euros.

3. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
Le nuage de points permet de penser qu'un ajustement affine est justifié.
Donner une équation de la droite de régression (D) de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés.
Représenter la droite (D) dans le repère précédent.

4. Quel serait avec cet ajustement affine le montant du rachat d’un trimestre pour un salarié âgé de 60 ans ?

5. En fait le montant du rachat d’un trimestre pour un salarié âgé de 60 ans est de 2 555 euros et le montant du rachat d’un trimestre après 60 ans est calculé de la façon suivante : à partir de 60 ans, le montant du rachat baisse de 3% par an.
Calculer le montant du rachat d’un trimestre pour un salarié ayant 65 ans. 5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Au 1^er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de 100 000 habitants.
Un bureau d’étude fait l’hypothèse qu’à partir du 1^er janvier 2005 :
le nombre d’habitants de la ville augmente chaque année de 5% du fait des naissances et des décès;
du fait des mouvements migratoires, 4 000 personnes supplémentaires viennent s’installer chaque année dans cette ville.

PARTIE A : étude théorique

Pour tout entier naturel n, on note u_n le nombre d’habitants de cette ville au 1^er janvier de l’année 2005 + n.
Ainsi, u₀ = 100 000.

1. Calculer u₁ et u₂.

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on pose u_n₊₁ = 1,05u_n + 4 000.

3. Pour tout entier naturel n, on pose v_n = u_n + 80 000.
    a) Calculer v₀.
    b) Montrer que $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    c) Exprimer v_n en fonction de n. En déduire que u_n = 180 000 × (1,05)ⁿ - 80 000.
    d) Calculer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ .

PARTIE B :

Le but de cette partie est de prévoir l’évolution de la population jusqu’en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à la partie A.

1. Quel sera le nombre d’habitants de la ville au 1^er janvier 2020 ?

2. A partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200 000 habitants ?

FORMULAIRE POUR L’EXERCICE 2
SUITES ARITHMETIQUES, SUITES GEOMETRIQUES
Suite arithmétique de premier terme u₀ $\in \mathbb{R}$ et de raison a $\in \mathbb{R}$ :
Pour tout $n \in \mathbb{N}, \hspace{50pt} u_{n + 1} = u_n + a \hspace{50pt} u_n = u_0 + na$

Suite géométrique de premier terme u₀ $\in \mathbb{R}$ et de raison b $\in \mathbb{R}$ :
Pour tout $n \in \mathbb{N}, \hspace{50pt} u_{n + 1} = bu_n \hspace{50pt} u_n = u_0b^n$

Somme de termes :
$\bullet 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2} \hspace{50pt} \bullet \text{Si } b \neq 1, \text{ alors } 1 + b + b^2 + ... +b^n = \frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}$ 7 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0; + $\small \infty$ [ par : f(x) = x - 2 + 10e^-0,5x.
On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et $(\mathcal{D})$ la droite d'équation y = x - 2. La courbe $(\mathcal{C})$ est partiellement représentée en annexe.

1. Déterminer la limite de la fonction f en + $\small \infty$ .

2. On pose $\alpha$ = 2 ln 5.
    a) Montrer que $f(\alpha) = \alpha$ .
    b) Donner une valeur approchée à 10^-1 près de $\alpha$ .

3. On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [0; + $\small \infty$ [ et on note f ' la fonction dérivée de f sur cet intervalle.
    a) Calculer f '(x), pour tout x élément de l'intervalle [0; + $\small \infty$ [.
    b) Etudier le signe de f '(x) sur l'intervalle [0; + $\small \infty$ [, et dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur cet intervalle.

4. Justifier que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left[f(x) - (x - 2)\right] = 0$ et que, pour tout x de l'intervalle [0; + $\small \infty$ [, f(x) - (x - 2) > 0.
Donner l'interprétation graphique de ces résultats.

5. Sur le graphique donné en annexe :
    a) Placer le point de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse $\alpha$ ;
    b) Tracer la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $\alpha$ ;
    c) Tracer la droite $(\mathcal{D})$ .

6. On note $\mathcal{A}$ l'aire (en unités d'aire) du domaine E délimité par la courbe $(\mathcal{C})$ , la droite $(\mathcal{D})$ et les droites d'équations respectives x = 2 et x = 6.
    a) Hachurer sur le graphique, le domaine E, puis exprimer l'aire $\mathcal{A}$ à l'aide d'une expression faisant intervenir une intégrale.
    b) Déterminer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ , puis en donner la valeur arrondie au centième.

Courbe représentative $(\mathcal{C})$ sur l'intervalle [0; 8] de la fonction f définie par :
f(x) = x - 2 + 10e^-0,5x.

sujet national du bac ES 2005 - terminale : image 2

Annexe

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Une usine d’emballage de pommes est approvisionnée par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70% de l’approvisionnement de cette usine, le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le troisième.
Avant d’être emballées, les pommes sont calibrées par une machine pour les trier selon leur diamètre. Les pommes dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont emballées, les autres, dites « hors calibre », sont rejetées.

Il est constaté que :
20% des pommes fournies par le premier producteur sont hors calibre,
5 % des pommes fournies par le second producteur sont hors calibre et
4 % des pommes fournies par le troisième producteur sont hors calibre.

Chaque jour les pommes livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l’étude du problème qui suit, on convient qu’elles sont bien mélangées.
Un contrôle de qualité sur les pommes est effectué de la manière suivante :
un contrôleur choisit de manière aléatoire une pomme dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de « bon calibre » ou « hors calibre ».

Un mercredi matin, un contrôle de qualité est effectué par le contrôleur de la manière décrite ci-dessus.
On appellera :
F₁ l’événement : « la pomme prélevée provient du premier producteur »
F₂ l’événement : « la pomme prélevée provient du deuxième producteur »
F₃ l’événement : « la pomme prélevée provient du troisième producteur »
C l’événement : « la pomme prélevée a un bon calibre »
$\bar{C}$ l’événement : « la pomme prélevée a un hors calibre ».

Tous les résultats de cet exercice seront donnés à 10^-4 près.

1. Déterminer les probabilités des évènements F₂ et F₃.

2. Compléter l’arbre suivant :

sujet national du bac ES 2005 - terminale : image 3

3. Justifier que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est 0,1440.

4. Montrer que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est : 0,8465.

5. La pomme mesurée est hors calibre. Le contrôle affirme : « Cette pomme provient très probablement du premier producteur ».
Quel calcul permet de justifier cette affirmation ?
Faire ce calcul et conclure.

Correction

3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. La limite de la fonction $f$ en + $+\infty$ est : 4

2. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]-3 ; + $\infty$ [ : $f' (0) = 0$

3. L'équation de la tangente à la courbe $(\scr{C})$ au point A est : y = 1

4. Sur l'intervalle ]-3 ; + $\infty$ [, l'équation $f(x) = x$ admet une solution unique appartenant à l'intervalle ]1 ; 2[.

5. Si $x = 0$ , alors $g(x) = 0$

6. On peut affirmer que sur l'intervalle ]-3 ; + $\infty$ [, g a les mêmes variations que la fonction f.

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. L'augmentation en pourcentage du rachat d'un trimestre entre un salarié de 54 ans et un salarié de 58 ans est $\frac{2449-2229}{2229} \time 100$ soit une augmentation d'environ 10 %.

2.

sujet national du bac ES 2005 - terminale : image 4

3. L'utilisation d'une calculatrice donne a = 54,9 et b = 2 229,6.
L'équation de la droite de régression (D) de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés est donc y = 54,9 x + 2 229,6

4. Le montant du rachat d'un trimestre par un salarié âgé de 60 ans est y = 54,9 × 6 + 2 229,6 car le rang de l'année correspondant à un âge de 60 ans est x = 6.
Donc ce montant s'élève à : 2 559 €.

5. Comme le montant du rachat baisse de 3 % par an, alors le montant du rachat d'une année sur l'autre suit la progression géométrique de raison 0,97.
Donc le montant du rachat d'un trimestre par un salarié ayant 65 ans sera de : 2 555 × (0,97)⁵, soit 2 194 €.

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

PARTIE A : étude théorique

1. Pour augmenter une quantité de 5%, on la multiplie par le coefficient 1,05. D'où :
u₁ = 1,05 u₀ + 4 000 = 1,05 × 100 000 + 4 000 = 109 000
u₂ = 1,05 u₁ + 4 000 = 1,05 × 109 000 + 4 000 = 118 450.

2. Chaque année la population augmente de 5% du fait des naissances et décès, donc la population a été multiplié par le coefficient 1,05. En outre, il vient 4 000 personnes du fait des flux migratoires, donc :
u_n+1 = 1,05 u_n + 4 000 (pour tout naturel n).

3. a) v₀ = u₀ + 80 000 = 180 000

3. b) Pour tout entier naturel n, on a : v_n+1 = u_n+1 + 80 000 = 1,05u_n + 4 000 + 80 000
soit v_n+1 = 1,05u_n + 84 000 = 1,05(u_n + $\frac{84000}{1,05}$ ) = 1,05(u_n + 80 000) = 1,05v_n.
On en déduit que (v_n) est la suite géométrique de premier terme v₀ = 180 000 et de raison q = 1,05.

3. c) D'après la question précédente : v_n = v₀ × qⁿ = 180 000 × (1,05)ⁿ.
Or, v_n = u_n + 80 000, donc u_n = v_n - 80 000,
Et par suite, pour tout naturel n, u_n = 180 000 × 1,05ⁿ - 80 000.

3. d) 1,05 > 1 ; donc la suite géométrique de terme général 1,05ⁿ diverge vers + $\infty$ . $\left(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 1,05^n = +\infty\right)$
Par conséquent $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

PARTIE B :

1. 2020 = 2005 + 15; donc la population au 01/01/2020 correspond au terme de rang 15 de la suite (u_n).
Or, u₁₅ = 180 000 × 1,05¹⁵ - 80 000 $\approx$ 294 207.
Le nombre d'habitants au 01/01/2020 sera environ égal à 294 207.

2. $u_n > 200 000 \Longleftrightarrow 180 000 \time 1,05^n - 80 000 > 200 000$
$\Longleftrightarrow 1,05^n > \frac{14}{9}$
Soit en passant au logarithme, $n \times \ln(1,05) > \ln\left(\frac{14}{9}\right)$
Comme ln(1,05) > 0, on en déduit que $n > \frac{\ln\left(\frac{14}{9}\right)}{\ln(1,05)}$
Or, $\frac{\ln\left(\frac{14}{9}\right)}{\ln(1,05)} \approx 9,06$
Finalement, la population dépassera 200 000 habitants à partir de n = 10, c'est-à-dire à partir de l'année 2015.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-0,5x) = -\infty \text{ et } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 10e^x = 0$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 10e^{-0,5x} = 0$
Par ailleurs, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x - 2) = +\infty$
Donc, par somme, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

2. a) $f(a) = a - 2 + 10e^{-\ln(5)} = a - 2 + 10 \times \frac15 = a$ .

2. b) a $\approx$ 3,2 à 10^-1 près.

3. a) $f' (x) = 1 + 10 \time \left(-0,5 e^{-0,5x}\right) = 1 - 5e^{-0,5x}$ .

3. b) $f' (x) \geq 0 \: \Longleftrightarrow \: 5e^{-0,5x} \leq 1$
soit $e^{-0,5x} \leq \frac15$
En passant au logarithme, on obtient, $-0,5x \leq \ln\left(\frac15\right)$ soit $x \geq \frac{\ln\left(\frac15\right)}{-0,5}$
Or, $\frac{\ln\left(\frac15\right)}{-0,5} = -2\ln\left(\frac15\right) = 2\ln(5) = a$
Finalement, $f' (x) \geq 0$ si et seulement si $x \geq a$ et $f' (x) \leq 0$ si $x \in$ [0 ; a].
On a donc le tableau de variations suivant :

sujet national du bac ES 2005 - terminale : image 5

4. $f(x) - (x - 2) = 10e^{-0,5x}$ . Or, dans la question 1., on a vu que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 10e^{-0,5x} = 0$
Donc on a bien, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - (x - 2)\right] = 0$
Par ailleurs, comme une exponentielle est toujours positive, $f(x) - (x - 2) > 0$
De ces deux résultats, on déduit que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y = x - 2$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ en + $\infty$ et que la courbe $(\mathcal{C})$ est toujours au-dessus de $(\mathcal{D})$ .

5. On a le graphique suivant :

sujet national du bac ES 2005 - terminale : image 6

6. a) Voir le graphique.

6. b) $\mathcal{A} = \displaystyle \int_2^6 \left[f(x) - (x - 2)\right] \, dx$
Soit $\mathcal{A} = \displaystyle \int_2^6 10e^{-0,5x} \, dx = G(6) - G(2) \text{ avec } G(x) = -20e^{-0,5x}$ une primitive de la fonction $g \: : \: x$ fleche2

$10e^{-0,5x}$ .
Par suite, $\mathcal{A} = -20e^{-3} + 20e^{-1}$
Soit $\mathcal{A} \approx 6,36$ unités d’aire.

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. 30 % de l'approvisionnement est partagé également entre le deuxième et le troisième producteur ; donc p(F₂) = p(F₃) = 0,15

2. On a l’arbre suivant :

sujet national du bac ES 2005 - terminale : image 7

3. On a : p(C $\cap$ F₃) = p(F₃) × p_F₃(C) = 0,15 × 0,96 = 0,1440
La probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est bien égale à 0,1440.

4. F₁, F₂ et F₃ réalisent une partition de l'univers ; donc, d'après la formule des probabilités totales :
p(C) = p(C $\cap$ F₁) + p(C $\cap$ F₂) + p(C $\cap$ F₃) = 0,7 × 0,8 + 0,15 × 0,95 + 0,144 = 0,8465
Ainsi la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est bien 0,8465.

5. Pour valider l'affirmation, on doit calculer la probabilité de F₁ sachant $\bar{\text{C}}$ :
$p_{\bar{\text{C}}}(\text{F}_1) = \frac{p(\bar{\text{C}} \cap \text{F}_1)}{p(\bar{\text{C}})}$
Or, $p(\bar{\text{C}}) = 1 - p(\text{C}) = 1 - 0,8465 = 0,1535$ et $p(\bar{\text{C}} \cap \text{F}_1) = p(\text{F}_1) \times p_{\text{F}_1}(\bar{\text{C}}) = 0,7 \time 0,2 = 0,14$
Par suite, $p_{\bar{\text{C}}}(\text{F}_1) = \frac{0,14}{0,1535} \approx 0,912$
De ce calcul, on déduit qu’il y a 91,2 % de chances pour que cette pomme provienne du premier producteur, donc l’affirmation du contrôleur est correcte.

Publié par Dolphie/fanfan31 le 20-02-2016

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