Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Amérique du Nord - Session 2005

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point.
L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.

1. Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d'affixes respectives -2 + 3i, -3 - i et 2,08 + 1,98i. Le triangle ABC est :

(a) : isocèle et non rectangle	(b) : rectangle et non isocèle
(c) : rectangle et isocèle	(d) : ni rectangle ni isocèle

2. A tout nombre complexe $z \neq -2$ , on associe le nombre complexe $z'$ défini par : $z' = \dfrac{z - 4i}{z + 2}$
L'ensemble des points M d'affixe z tels que |z'| = 1 est :

(a) : un cercle de rayon 1	(b) : une droite
(c) : une droite privée d'un point	(d) : un cercle privé d'un point

3. Les notations sont les mêmes qu'à la question 2.
L'ensemble des points M d'affixe z tels que z' est un réel est :

(a) : un cercle	(b) : une droite
(c) : une droite privée d'un point	(d) : un cercle privé d'un point

4. Dans le plan complexe, on donne le point D d'affixe i.
L'écriture complexe de la rotation de centre D et d'angle $-\dfrac{\pi}{3}$ est :

(a) : $z' = \left(\dfrac12 - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac12 i$	(b) : $z' = \left(-\dfrac12 + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac12 i$
(c) : $z' = \left(\dfrac12 - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac12 i$	(d) : $z' = \left(\dfrac12 - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac12 i$

6 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Le graphique sera complété et remis avec la copie.

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0; 2] par $f(x) = \frac{2x + 1}{x + 1}$
1. Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle [0; 2].
Montrer que si $x \in [1; 2]$ , alors $f(x) \in [1; 2]$

2. (u_n) et (v_n) sont deux suites définies sur $\mathbb{N}$ par :
u₀ = 1 et pour tout entier naturel n, u_{n + 1} = f(u_n).
v₀ = 2 et pour tout entier naturle n, v_{n + 1} = f(v_n).

a) Le graphique donné représente la fontion $f$ sur l'intervalle [0; 2].
Construire sur l'axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (u_n) et (v_n) en laissant apparents tous les traits de construction.
A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (u_n) et (v_n) ?

b) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que :
Pour tout entier naturel n, $1 \leq v_n \leq 2$ .
Pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} \leq v_n$ .
On admettra que l'on peut démontrer de la même façon que :
Pour tout entier naturel n, $1 \leq u_n \leq 2$ .
Pour tout entier naturel n, $u_n \leq u_{n + 1}$ .

c) Montrer que pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} - u_{n + 1} = \frac{v_n - u_n}{(v_n + 1)(u_n + 1)}$ .
En déduire que pour tout entier naturel n, $v_n - u_n \geq 0 \text{ et } v_{n + 1} - u_{n + 1} \leq \frac14 (v_n - u_n)$ .

d) Montrer que pour tout entier naturel n, $v_n - u_n \leq \left(\frac14\right)^n$ .

e) Montrer que les suites (u_n) et (v_n) convergent vers un même réel $\alpha$ .
Déterminer la valeur exacte de $\alpha$

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats -

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; +\infty[ \text{ par } f(x) = (x - 1)(2 - exp^{-x})$ .
Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous (unité graphique 2 cm).

1. a) Etudier la limite de $f \text{ en } +\infty$ .
b) Montrer que la droite $\Delta$ d'équation y = 2x - 2 est asymptote à $\mathcal{C}$ .
c) Etudier la position relative de $\mathcal{C} \text{ et } \Delta$ .

2. a) Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = x exp^{-x} +2(1 - exp^{-x})$ .
b) En déduire que, pour tout réel x strictement positif, $f'(x) > 0$ .
c) Préciser la valeur de $f'(0)$ , puis établir le tableau de variations de $f$ .

3. A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire, exprimée en cm², du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ , la droite $\Delta$ et les droites d'équations x = 1 et x = 3.

4. a) Déterminer le point A de $\mathcal{C}$ où la tangente à $\mathcal{C}$ est parallèle à $\Delta$ .
b) Calculer la distance, exprimée en cm, du point A à la droite $\Delta$ .

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On dispose d'un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3.
On dispose également d'une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).

Un joueur fait une partie en deux étapes :
Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.
Deuxième étape :
si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l'urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

A la fin de chaque partie, il remet dans l'urne la ou les boules tirée(s).

On définit les événements suivants :

D₁ : "le dé indique 1"	D₂ : "le dé indique 2"	D₃ : "le dé indique 3"
G : "la partie est gagnée"

A et B étant deux événements tels que p(A) $\small \neq$ 0, on note p_A(B) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1. a) Déterminer les probabilités p_D₁(G), p_D₂(G) et p_D₃(G).
b) Montrer alors que p(G) = $\frac{23}{180}$ .

2. Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu'il ait obtenu le numéro 1 avec le dé.

3. Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu'il en gagne exactement deux et en donner une valeur arrondie à 10^-2 près.

4. Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d'en gagner au moins une soit supérieure à 0,9 ?

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

La figure ci-dessous sera complétée au cours de l'exercice. On y laissera les traits de construction.

Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB = 2, AC = $1 + \sqrt{5} \text{ et } (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\pi}{2}$ .

1. a) Démonstration de cours : démontrer qu'il existe une seule similitude directe S transformant B en A et A en C.
b) Déterminer le rapport et une mesure de l'angle de S.
2. On appelle $\Omega$ le centre de S. Montrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [AB] et à la droite (BC). Construire le point $\Omega$ .
3. On note D l'image du point C par la similitude S.
a) Démontrer l'alignement des points A, $\Omega$ et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D.
b) Montrer que CD = $3 + \sqrt{5}$
4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).
a) Expliquer la construction de l'image F du point E par S et placer F sur la figure.
b) Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ?

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. (b) : rectangle et non isocèle
Explications :
Calculons les distances AB, AC et BC :
AB = |z_B - z_A| = |-3 - i + 2 - 3i| = |-1 - 4i| = $\sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{17}$
AC = |z_C - z_A| = |2,08 + 1,98i + 2 - 3i| = |4,08 - 1,02i| = $\normalsize \sqrt{(4,08)^2 + (-1,02)^2} = \sqrt{17,6868}$
BC = |z_C - z_B| = |2,08 + 1,98i + 3 + i| = |5,08 + 2,98i| = $\sqrt{(5,08)^2 + (2,98)^2} = \sqrt{34,6868}$
BC² = 34,6868 et AB² + AC² = 17 + 17,6868 = 34,6868
Donc BC² = AB² + AC²
Donc le triangle ABC est rectangle en A.
On a : AB $\small \neq$ AC $\small \neq$ BC, donc le triangle ABC n'est pas isocèle.
D'où : le triangle est rectangle et non isocèle.

2. (b) : une droite
Explications :
|z'| = 1 $\small \Longleftrightarrow$ |z - 4i| = |z - (-2)| et z $\small \neq$ -2
$\small \hspace{40pt} \Longleftrightarrow$ MA = MB et M $\small \neq$ B où A et B ont pour affixes respectives 4i et -2.
L'ensemble des points M d'affixe z tels que |z'| = 1 est donc la médiatrice du segment [AB], c'est-à-dire une droite.

3. (c) : une droite privée d'un point
Explications :
z' est réel si et seulement si z' = 0 ou arg z' = 0 [ $\small \pi$ ]
si et seulement si z = 4i ou $\arg \left(\frac{z - 4i}{z + 2}\right) = 0 \left[\pi\right]$
si et seulement si M = A ou $(\overrightarrow{BM}, \overrightarrow{AM}) = 0 \left[\pi\right]$
L'ensemble des points M d'affixe z tels que z' est un réel est la droite (AB) privée du point B.

4. (a) : $z' = \left(\frac12 - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac12 i$
Explications :
Ecriture complexe de la rotation de centre D et d'angle $-\frac{\pi}{3}$ :
$z' - z_D = exp^{-i\frac{\pi}{3}}(z - z_D)\\ \Longleftrightarrow z' = \left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)(z - i) + i\\ \Longleftrightarrow z' = \left(\frac12 - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(z - i) + i\\ \Longleftrightarrow z' = \left(\frac12 - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \frac12 i - \frac{\sqrt{3}}{2} + i\\ \Longleftrightarrow z' = \left(\frac12 - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac12 i$

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. Variations de f sur [0; 2] :
f est dérivable sur [0; 2] et pour tout rél x de [0; 2],
$f'(x) = \frac{2(x + 1) - 1 \times (2x + 1)}{(x + 1)^2}\\ \hspace{30pt} = \frac{2x + 2 - 2x - 1}{(x + 1)^2}\\ \hspace{30pt} = \frac{1}{(x + 1)^2}$

Pour tout réel x de [0; 2], (x + 1)² > 0.
Donc : pour tout réel x de [0; 2], f'(x) > 0.
D'où : f est strictement croissante sur [0; 2].

Montrons que si $x \in [1; 2] \text{ , alors } f(x) \in [1; 2]$ :
$x \in [1; 2] \text{ , donc } 1 \leq x \leq 2$
Or, f est croissante sur [0; 2], donc : $f(1) \leq f(x) \leq f(2)$ .
De plus, $f(1) = \frac{2 + 1}{1 + 1} = \frac32 \text{ et } f(2) = \frac53$
Donc : $\frac32 \leq f(x) \leq \frac53$ .
Comme $1 \leq \frac32 \text{ et } \frac53 \leq 2 \text{ , alors } f(x) \in [1; 2]$

2. a) On trace la droite d'équation y = x.

A partir du graphique, on peut conjecturer que la suite (u_n) est croissante et que la suite (v_n) est décroissante.
Ces deux suites semblent converger vers un même réel.

2. b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, $\bold{1 \leq v_n \leq 2}$
au rang 0 :
v₀ = 2, donc $1 \leq v_0 \leq 2$
La propriété est vraie pour n = 0.

Supposons que la propriété soit vraie au rang n et montrons qu'elle l'est encore au rang (n + 1) :
La propriété est vraie au rang n, donc $1 \leq v_n \leq 1$ .
D'éaprès la question 1., on en déduit que $1 \leq f(v_n) \leq 2$ .
c'est-à-dire que $1 \leq v_{n + 1} \leq 2$ .
La propriété est donc vraie au rang (n + 1).
On a donc montré que pour tout enteir naturel n, $1 \leq v_n \leq 2$ .

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, $\bold{v_{n + 1} \leq v_n}$
au rang 0 :
$v_0 = 2 \text{ et } v_1 = f(v_0) = f(2) = \frac53$ .
Donc : $v_1 \leq v_0$ .
La propriété est donc vraie au rang 0.

Supposons que la propriété soit vraie au rang n et montrons qu'elle l'est encore au rang (n + 1).
La propriété est vraie au rang n, donc $v_{n + 1} \leq v_n$ .
On a montré que pour tout entier naturel n, $1 \leq v_n \leq 2$ et que f est croissante sur [0; 2], donc :
$f(v_{n + 1}) \leq f(v_n) \text{ , soit } v_{n + 2} \leq v_{n + 1}$ .
La propriété est donc encore vraie au rang (n + 1).
On a donc montré que pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} \leq v_n$

2. c) Pour tout entier naturel n,
$v_{n + 1} - u_{n + 1} = f(v_n) - f(u_n)\\ \hspace{70pt} = \frac{2v_n + 1}{v_n + 1} - \frac{2u_n + 1}{u_n + 1}\\ \hspace{70pt} = \frac{(2v_n + 1)(u_n + 1) - (2u_n + 1)(v_n + 1)}{(v_n + 1)(u_n + 1)}\\ \hspace{70pt} = \frac{2v_nu_n + 2v_n + u_n + 1 - 2u_nv_n - 2u_n - v_n - 1}{(v_n + 1)(u_n + 1)}\\ \hspace{70pt} = \frac{v_n - u_n}{(v_n + 1)(u_n + 1)}$

Pour tout entier naturel n, $1 \leq v_n \leq 2 \text{ et } 1 \leq u_n \leq 2$
Donc : v_n + 1 > 0 et u_n + 1 > 0.
Donc : (v_n + 1)(u_n + 1) > 0.
On en déduit que (v_{n + 1} - u_{n + 1}) et (v_n - u_n) sont de même signe.
Or, v₀ - u₀ = 2 - 1 = 1 $\small \geq$ 0, donc v_n - u_n $\small \geq$ 0.

De $1 \leq v_n \leq 2 \text{ et } 1 \leq u_n \leq 2$ , on en déduit que :
$2 \leq v_n + 1 \text{ et } 2 \leq u_n + 1\\ \text{Donc : } \frac{1}{v_n + 1} \leq \frac12 \text{ et } \frac{1}{u_n + 1} \leq \frac12$
D'où : pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} - u_{n + 1} \leq \frac14 (v_n - u_n)$

2. d) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, $v_n - u_n \leq \left(\frac14\right)^n$
au rang 0 :
$v_0 - u_0 = 2 - 1 = 1 \text{ et } 1 \leq \left(\frac14\right)^0$
La propriété est donc vraie pour n = 0.

Supposons que la propriété soit vraie au rang n et montrons qu'elle l'est encore au rang (n + 1) :
On a montré que $v_{n + 1} - u_{n + 1} = \frac{v_n - u_n}{(v_n + 1)(u_n + 1)}$
Donc, d'après l'hypothèse de récurrence : $v_{n + 1} - u_{n + 1} \leq \left(\frac14\right)^n \times \frac{1}{(v_n + 1)(u_n + 1)}$
Et on a montré à la question précédente que $\frac{1}{v_n + 1} \leq \frac12 \text{ et } \frac{1}{u_n + 1} \leq \frac12$
D'où : $v_{n + 1} - u_{n + 1} \leq \left(\frac14\right)^n \times \frac12 \times \frac12$
Soit : $v_{n + 1} - u_{n + 1} \leq \left(\frac14\right)^{n + 1}$
La propriété est donc vraie au rang (n + 1).
On a donc montré que pour tout entier naturel n, $v_n - u_n \leq \left(\frac14\right)^n$

2. e) On a montré que :
Pour tout entier naturel n, $u_n \leq u_{n + 1}$ , donc la suite (u_n) est croissante.
Pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} \leq v_n$ , donc la suite (v_n) est décroissante.
Pour tout entier naturel n, $v_n - u_n \geq 0 \text{ et } v_n - u_n \leq \left(\frac14\right)^n$ ,
Donc : $0 \leq v_n - u_n \leq \left(\frac14\right)^n$
Or, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac14\right)^n = 0 \text{ car } -1 \leq \frac14 \leq 1$ , donc d'après le théorème des gendarmes, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$
D'où : les suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes. Elles convergent vers un même réel $\alpha \text{ (avec } 1 \leq \alpha \leq 2)$

On sait que u_{n + 1} = f(u_n).
Donc, en passant à la limite : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_{n + 1} = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(u_n)$
Comme f est continue sur [1; 2], alors $\alpha = f(\alpha)$ . Donc :
$\alpha = \frac{2\alpha + 1}{\alpha + 1}\\ \Longleftrightarrow \alpha(\alpha + 1) = 2\alpha + 1\\ \Longleftrightarrow \alpha^2 - \alpha - 1 = 0$
Calculons le discriminant : $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 5$
Les solutions de cette équation sont donc : $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \text{ et } \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
Or, $\alpha \in [1; 2] \text{, donc } \alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) Limite de f en $+\infty$ :
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x - 1) = +\infty\\ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} exp^{-x} = 0 \text{, donc } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (2 - exp^{-x}) = 2$
D'où : par produit, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

1. b) Montrons que la droite $\Delta$ d'équation y = 2x - 2 est asymptote à $\mathcal{C}$ :
Pour tout x de [0; + $\infty$ [,
f(x) - (2x - 2) = (x - 1)(2 - e^-x) - (2x - 2)
= 2x - xe^-x - 2 + e^-x - 2x + 2
= e^-x - xe^-x

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} exp^{-x} = 0 \text{ et } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x exp^{-x}) = 0$ .
D'où : par différence, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - (2x - 2)\right] = 0$
La droite $\Delta$ d'équation y = 2x - 2 est donc asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$ .

1. c) Position relative de $\mathcal{C}$ et de $\Delta$ :
Etudions le signe de f(x) - (2x - 2) :
On a vu que f(x) - (2x - 2) = e^-x - xe^-x = (1 - x)e^-x
Comme pour tout réel x de [0; + $+\infty$ [, e^-x > 0, alors f(x) - (2x - 2) est du signe de 1 - x.
Donc : f(x) - (2x - 2) $\geq$ 0 si 1 - x $\geq$ 0, c'est-à-dire si x $\leq$ 1
et f(x) - (2x - 2) $\leq$ 0 si 1 - x $\leq$ 0, c'est-à-dire si x $\geq$ 1.
D'où : $\mathcal{C}$ est au-dessus de $\normalsize\Delta$ sur [0; 1] et $\mathcal{C}$ est en-dessous de $\Delta$ sur [1; + $\infty$ [.

2. a) $f$ est dérivable sur [0; + $\infty$ [ et pour tout x de [0; + $\infty$ [ :
$f'(x) = 1 \times (2 - exp^{-x}) + (x - 1) \times exp^{-x}\\ \hspace{30pt} = 2 - exp^{-x} + x exp^{-x} - exp^{-x}\\ \hspace{30pt}= x exp^{-x} + 2(1 - exp^{-x})$

2. b) Pour tout réel x strictement positif, xe^-x > 0.
Pour tout réel x strictement positif, -x < 0,
donc : e^-x < 1 (car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ )
donc : -e^-x > -1
donc : 2(1 - e^-x) > 0
D'où : pour tout réel x strictement positif, f'(x) > 0.

2. c) Valeur de f'(0) :
f'(0) = 0 + 2(1 - e⁰) = 0.
f est strictement croissante sur [0; + $+\infty$ [.

Tableau de variations de f :
$\begin{array}{|c|lcr|} \hline x&0&\hspace{40pt}&+\infty\\ \hline f'(x)&0&+&\\ \hline \hspace{1pt}&&&+\infty\\ f(x)&&\nearrow&\\ \hspace{1pt}&-1&&\\ \hline \end{array}$

3. Sur [1; 3], $\Delta$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$ .
L'aire du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ , la droite $\Delta$ et les droites d'équations x = 1 et x = 3 est donnée par :
$\displaystyle \int_1^3 \left[(x - 2) - f(x)\right]dx = \int_1^3 (x - 1) exp^{-x} dx$
On intégre par parties en posant :
$\begin{array}{lll} u(x) = x - 1&\hspace{30pt}& u'(x) = 1\\ v'(x) = exp^{-x}&&v(x) = -exp^{-x}\\ \end{array}$
Les fonctions u et v sont continues et dérivables sur [1; 3].
On obtient :
$\displaystyle \int_1^3 \left[(x - 2) - f(x)\right]dx = \displaystyle \left[(x - 1)(-exp^{-x})\right]_1^3 + \int_1^3 1 \times (-exp^{-x}) dx\\ \hspace{110pt} = \displaystyle \left[-(x - 1)exp^{-x}\right]_1^3 + \int_1^3 exp^{-x} dx\\ \hspace{110pt} = \left[-(x - 1)exp^{-x}\right]_1^3 + \left[-exp^{-x}\right]_1^3\\ \hspace{110pt} = -(3 - 1)exp^{-3} + (1 - 1)exp^{-1} - exp^{-3} + exp^{-1}\\ \hspace{110pt} = -2exp^{-3} - exp^{-3} + exp^{-1}\\ \hspace{110pt} = -3exp^{-3} + exp^{-1}$
Donc : $\displaystyle \int_1^3 \left[(x - 2) - f(x)\right]dx = -3exp^{-3} + exp^{-1} \text{ u.a. }$
L'unité graphique est 2 cm, donc 1 u.a. correspond à 4 cm².
D'où : l'aire du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ , la droite $\Delta$ et les droites d'équations x = 1 et x = 3 est égale à 4(-3e^-3 + e^-1) = -12e^-3 +4e^-1 cm².

4. a) Une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse a est de la forme : y = f'(a)(x - a) + f(a).
Or, cette tangente est parallèle à la droite $\Delta$ . Leurs équations ont donc le même coefficient directeur, donc : f'(a) = 2.
Ce qui équivaut à : ae^-a + 2(1 - e^-a) = 2
ae^-a + 2 - 2e^-a - 2 = 0
(a - 2)e^-a = 0
Donc a - 2 = 0 (car e^-a > 0).
a = 2

Déterminons l'ordonnée du point A :
A est un point de la courbe $\mathcal{C}$ , donc :
y_A = f(2) = 2 - e^-2.
D'où : A(2; 2 - e^-2).

4. b) Distance du point A à la droite $\Delta$ :
Soit H le projeté orthogonal de A sur la droite $\Delta$ .
Déterminons la distance AH :
$\Delta$ a pour équation y = 2x - 2 ou encore -2x + y + 2 = 0.
$\overrightarrow{n}(-2; 1)$ est un vecteur normal à $\Delta$ .
Les vecteurs $\overrightarrow{n} \text{ et } \overrightarrow{AH}$ sont colinéaires, ce qui se traduit par :
$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AH} = ||\overrightarrow{n}|| \times ||\overrightarrow{AH}||\\ \hspace{50pt} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} \times AH = AH\sqrt{5}$
D'autre part,
$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AH} = -2(x_H - 2) + 1 \times (y_H - 2 + exp^{-2})\\ \hspace{50pt}= -2x_H + 4 + y_H - 2 + exp^{-2}\\ \hspace{50pt}= exp^{-2} \text{ car H appartient a } \Delta \text{ , donc } -2x_H + y_H + 2 = 0$
D'où :
$AH \sqrt{5} = exp^{-2}\\AH = \frac{exp^{-2}}{\sqrt{5}} \text{ u. d. }$
L'unité graphique étant de 2 cm, la distance du point A à la droite $\Delta$ est égale à $\frac{2exp^{-2}}{\sqrt{5}}$ cm.

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Sachant que le dé indique 1, déterminons la probabilité que le joueur gagne :
$p_{D_1}(G) = \frac{4}{10} = \frac25$

Sachant que le dé indique 2, déterminons la probabilité que le joueur gagne :
$p_{D_2}(G) = \frac{\left(_2^4\right)}{\left(_2^{10}\right)} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$

Sachant que le dé indique 3, déterminons la probabilité que le joueur gagne :
$p_{D_3}(G) = \frac{\left(_3^4\right)}{\left(_3^{10}\right)} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$

1. b) $G = (G \cap D_1) \cup (G \cap D_2) \cup (G \cap D_3)$
Les événements $G \cap D_1 \text{ , } G \cap D_2 \text{ et } G \cap D_3$ sont incompatibles, donc :
$p(G) = p(G \cap D_1) + p(G \cap D_2) + p(G \cap D_3)\\ \hspace{25pt} = p(D_1) \times p_D_1(G) + p(D_2) \times p_D_2(G) + p(D_3) \times p_D_3(G)\\ \hspace{25pt} = \frac16 \times \frac25 + \frac26 \times \frac{2}{15} + \frac{3}{6} \times \frac{1}{30}\\ \hspace{25pt} = \frac{23}{180}$

2. Sachant qu'un joueur a gagné la partie, calculons la probabilité qu'il ait obtenu le numéro 1 avec le dé :
$p_G(D_1) = \frac{p(G \cap D_1)}{p(G)} = \frac{p(D_1) \times p_D_1(G)}{p(G)}\\ \hspace{55pt} = \frac{\frac16 \times \frac25}{\frac{23}{180}} = \frac{12}{23}$

3. Un joueur fait six parties. Il répète six fois de manière indépendante la même expérience : jouer une partie en deux étapes.
On note X le nombre de parties gagnées par le joueur. X suit une loi binomiale de paramètres n (nombre de parties) et p = $\frac{23}{180}$ (probabilité de gagner une partie). Donc :
$p(X = 2) = \left(^6_2\right)\left(\frac{23}{180}\right)^2\left(1 - \frac{23}{180}\right)^{6-2}\\ \hspace{50pt} = 15 \times \left(\frac{23}{180}\right)^2 \times \left(\frac{157}{180}\right)^4\\ \hspace{50pt} \approx 0,14$

4.Un joueur fait n parties. Cherchons la probabilité qu'il en gagne au moins une :
$p(X \geq 1) = 1 - p(X = 0)\\ \hspace{50pt}= 1 - \left(^n_0\right)\left(\frac{23}{180}\right)^0 \left(1 - \frac{23}{180}\right)^n\\ \hspace{50pt}= 1 - \left(\frac{157}{180}\right)^n$

On veut que cette probabilité soit supérieure à 0,9, donc :
$1 - \left(\frac{157}{180}\right)^n \geq 0,9\\ \Longleftrightarrow -\left(\frac{157}{180}\right)^n \geq -0,1\\ \Longleftrightarrow \left(\frac{157}{180}\right)^n \leq 0,1\\ \Longleftrightarrow \ln \left(\frac{157}{180}\right)^n \leq \ln 0,1 \text{ car la fonction } \ln \hspace{1pt} \text{ est une fontion croissante sur ]0; +\infty[}\\ \Longleftrightarrow n \ln \left(\frac{157}{180}\right) \leq \ln 0,1\\ \Longleftrightarrow n \geq \frac{\ln 0,1}{\ln \frac{157}{180}} \text{ car } \ln \frac{157}{180} < 0\\ \Longleftrightarrow n \geq 16,84 \text{ a } 10^{-2} \text{ pres}$

D'où : un joueur doit faire au minimum 17 parties pour que la probabilité d'en gagner au moins un soit supérieure à 0,9.

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Une similitude directe S est de la forme z' = az + b (avec a et b deux nombres complexes et a $\small \neq$ 0).
Notons z_A, z_B et z_C les affices des points A, B et C.
La similitude S transforme B en A et A en C si et seulement si :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} z_A & az_B + b \\ z_C & az_A + b \\ \end{array} \right.$
Ce système admet une unique solution si et seulement si z_B × 1 + z_A × 1 $\small \neq$ 0,
C'est-à-dire si z_B $\small \neq$ z_A.
A et B étant deux points distincts, cette condition est vérifiée.

D'où : il existe une seule similitude directe S transformant B en A et A en C.

1. b)Rapport de la simitude S :
Le rapport de la similitude S est égal à $\frac{AC}{BA} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Angle de la similitude S :
L'angle de la similitude S est donné par : $(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{AC}) = -\frac{\pi}{2} \left[2\pi\right]$

2. Montrons que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [AB] :
$\Omega$ est le centre de S, donc $S(\Omega) = \Omega$ .
De plus, S(B) = A.
Donc : $(\overrightarrow{\Omega B}, \overrightarrow{\Omega A}) = -\frac{\pi}{2} [2\pi]$ .
D'où : $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [AB].

Montrons que $\Omega$ apprtient à la droite (BC) :
On sait que $S(\Omega) = \Omega$ et que S(A) = C.
Donc $(\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega C}) = -\frac{\pi}{2} [2\pi]$
De même, $(\overrightarrow{\Omega B}, \overrightarrow{\Omega A}) = -\frac{\pi}{2} [2\pi]$
D'où :
$(\overrightarrow{\Omega B}, \overrightarrow{\Omega C}) = (\overrightarrow{\Omega B}, \overrightarrow{\Omega A}) + (\overrightarrow{\Omega A, \Omega C}) [2\pi]\\ \hspace{50pt} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} [2 \pi]\\ \hspace{50pt} = -\pi [2\pi]$
Les points $\Omega$ , B et C sont alignés.
D'où : le point $\Omega$ appartient à la droite (BC).

Construiction de $\Omega$ :
$\Omega$ est le point d'intersection du cercle de diamètre [AB] et de la droite (BC).

3. a) Démontrons l'alignement des points A, $\Omega$ et D :
On a : S(C) = D, $S(\Omega) = \Omega$ et S(A) = C.
Donc : $(\overrightarrow{\Omega C}, \overrightarrow{\Omega D}) = -\frac{\pi}{2} \text{ et } (\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega C}) = -\frac{\pi}{2} [2 \pi]$
D'où :
$(\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega D}) = (\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega C}) + (\overrightarrow{\Omega C}, \overrightarrow{\Omega D}) [2 \pi]\\ \hspace{50pt} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}[2\pi]\\ \hspace{50pt} = -\pi [2\pi]$
Les points $\Omega$ , D et A sont alignés.

Démontrons le parallélisme des droites (CD) et (AB) :
On a :
$S \circ S(B) = S(A) = C \text{ et } S \circ S(A) = S(C) = D$
$S \circ S$ est une similitude d'angle $-\frac{\pi}{2} + \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\pi$
On en déduit que $(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD}) = -\pi [2 \pi]$
D'où : les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Construction du point D :
Le point D est le point d'intersection de la droite (A $\Omega$ ) et de la parallèle à la droite (AB) passant par C.

3. b) On a S(C) = D et S(A) = C, donc :
$CD = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \times AC\\ \text{soit } CD = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \times (1 + \sqrt{5})\\ \hspace{60pt}= \frac{(1 + \sqrt{5})^2}{2}\\ \hspace{60pt}= \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{2}\\ \hspace{60pt}= 3 + \sqrt{5}$

4. a) Construction du point F :
Montrons que les points A, B et F sont alignés :
E est le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD), donc : $(\overrightarrow{BE}, \overrightarrow{CD}) = \frac{\pi}{2} [\pi]$
Les droites (AB) et (CD) étant parallèles, on a : $(\overrightarrow{BE}, \overrightarrow{AB}) = \frac{\pi}{2} [\pi]$
On sait que S(E) = F et que S(B) = A, donc $(\overrightarrow{BE}, \overrightarrow{AF}) = -\frac{\pi}{2} [2\pi]$
On a : $(\overrightarrow{AF}, \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{AF}, \overrightarrow{BE}) + (\overrightarrow{BE}, \overrightarrow{AB}) [2\pi]$
Donc :
$(\overrightarrow{AF}, \overrightarrow{AB}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} [\pi]\\ \hspace{55pt} = \pi [\pi]\\ \hspace{55pt} = 0 [\pi]$
D'où : les points A, B et F sont alignés.

De plus, S(E) = F, donc $(\overrightarrow{\Omega E}, \overrightarrow{\Omega F}) = -\frac{\pi}{2} [2\pi]$
D'où : le point F est l'intersection de la droite (AB) et de la perpendiculaire à la droite (EF) passant par $\Omega$

4. b) On a S(C) = D et S(E) = F, donc $(\overrightarrow{CE}, \overrightarrow{DF}) = -\frac{\pi}{2}[2\pi]$ .
Les droites (CE) et (DF) sont donc perpendiculaires, soit encore $(ED) \perp (DF)$ .
E est le projeté orthogonal de B sur la droite (CD), donc $(ED) \perp (EB)$ .
On a montré que les droites (CD) et (AB) sont parallèles. De plus les droites (CD) et (EB) sont perpendiculaires, donc $(EB) \perp (AB) \text{ ou encore } (EB) \perp (BF)$ .
Le quadrilatère EBFD a donc trois angles droits : c'est un rectangle.

De plus, on a :
$BF = AF - AB \text{ car } B \in [AF]\\ \hspace{20pt}= CD - AB \text{ (on peut montrer que ACDF est un rectangle, donc AF = CD)}\\ \hspace{20pt}= 3 + \sqrt{5} - 2\\ \hspace{20pt}= 1 + \sqrt{5}\\ \hspace{20pt}= AC\\ \hspace{20pt}= EB$
On en déduit que le quadrilatère EBFD est un carré.

Publié par Tom_Pascal le 30-11--0001

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