Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session de remplacement
Métropole - Session Septembre 2005

exercice 1 - Commun à tous les candidats

exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

exercice 3 - Commun à tous les candidats

exercice 4 - Commun à tous les candidats

exercice 1 - Commun à tous les candidats

exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

exercice 3 - Commun à tous les candidats

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

Partie B

Partie A

Partie B

Partie A

Partie B

Partie A

Partie B

Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > Bac 2005

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) Durée : 4 heures

7 points

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0; + $\infty$ [ par $f(x) = (20x + 10)e^{-\frac12 x}$ .
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right)$ (unité graphique : 1 cm).

1. Etudier la limite de la fonction $f$ en + $\infty$ .
2. Etudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation.
3. Etablir que l'équation $f(x) = 10$ admet une unique solution strictement positive $\alpha$ dans l'intervalle ]0; + $\infty$ [. Donner une valeur décimale approchée à 10^-3 près de $\alpha$ .
4. Tracer la courbe $\mathcal{C}$ .
5. Calculer l'intégrale $I = \displaystyle \int_0^3 f(x) dx$

On note $y(t)$ la valeur, en degrés Celsius, de la température d'une réaction chimique à l'instant $t$ , $t$ étant exprimé en heures. la valeur initiale, à l'instant $t = 0$ , est $y(0) = 10$ .
On admet que la fonction qui, à tout réel $t$ appartenant à l'intervalle [0; + $\infty$ [ associe $y(t)$ , est solution de l'équation différentielle (E) : $y' + \dfrac12 y = 20 e^{-\frac12 t}$ .

1. Vérifier que la fonction $f$ étudiée dans la partie A est solution de l'équation différentielle (E) sur l'intervalle [0; + $\infty$ [.

2. On se propose de démontrer que cette fonction $f$ est l'unique solution de l'équation différentielle (E), définie sur l'intervalle [0; + $\infty$ [, qui prend la valeur 10 à l'instant 0.
    a) On note $g$ une solution de l'équation différentielle (E), définie sur [0; + $\infty$ [, vérifiant $g(0) = 10$ . Démontrer que la fonction $g - f$ est solution, sur l'intervalle [0; + $\infty$ [, de l'équation différentielle : (E') $y' + \frac12 y = 0$ .
    b) Résoudre l'équation différentielle (E').
    c) Conclure.

3. Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescend-elle à sa valeur initiale ? Le résultat sera arrondi à la minute.

4. La valeur $\theta$ en degrés Celsius de la température moyenne de cette réaction chimique durant les trois premières heures est la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0; 3].
calculer la valeur exacte de $\theta$ , puis donner la valeur approchée décimale de $\theta$ arrondie au degré.

5 points

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Aucune justification n'est demandée.

1. Soit $z$ le nombre complexe de module $\sqrt{2}$ et d'argument $\frac{\pi}{3}$ . On a alors :
$\begin{array}{lllll} \text{A : }& z^{14} = -128\sqrt{3} - 128i & \hspace{50pt} & \text{C : } & z^{14} = -64 + 64i\sqrt{3}\\ \text{B : }& z^{14} = 64 - 64i & & \text{D : } & z^{14} = -128 + 128i\sqrt{3}\\ \end{array}$

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthnormal, le point S d'affixe 3 et le point T d'affixe 4i. Soit (E) l'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $\|z - 3\| = \|3 - 4i\|$ .
    A : (E) est la médiatrice du segment [ST].
    B : (E) est la droite (ST).
    C : (E) est le cercle de centre $\Omega$ , d'affixe 3 - 4i, et de rayon 3.
    D : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5.

3. On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longeur 1. Le produit scalaire $\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{CF}}$ est égal à :
A : $\sqrt{3}$     B : -3     C : $-\sqrt{3}$     D : $\dfrac32$

4. Une fonction $g$ est définie sur l'intervalle ]- $\infty$ ; 0] par $g(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 2x}}{x - 3}$ ; soit $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
    A : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation y = -1.
    B : $\Gamma$ n'admet pas d'asymptote.
    C : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation y = $x$ .
    D : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation y = 1.

5. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \displaystyle \int_0^x e^{-t^2} dt$ . La fonction $f''$ , dérivée seconde de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ , est définie par :
$\begin{array}{lllll} \text{A : }& f''(x) = \displaystyle \int_0^x -2te^{-t^2} dt & \hspace{50pt} & \text{C} & f''(x) = -2xe^{-x^2}\\ \text{B : }& f''(x) = \displaystyle \int_0^1 -2xe^{-x^2} dx & & \text{D} & f''(x) = e^{-x^2}\\ \end{array}$

5 points

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Aucune justification n'est demandée.

1. On considère dans l'ensemble des entiers relatifs l'équation : $x^2 - x + 4 \equiv 0$ (modulo 6).
    A : toutes les solutions sont des entiers pairs.
    B : il n'y a aucune solution.
    C : les solutions vérifient $x \equiv 2$ (modulo 6).
    D : les solutions vérifient $x \equiv 2$ (modulo 6) ou $x \equiv 5$ (modulo 6).

2. On se propose de résoudre l'équation (E) : $24x + 34y = 2$ , où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
    A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x; y) = (34k - 7; 5 - 24k), k \in \mathbb{Z}$ .
    B : L'équation (E) n'a aucune solution.
    C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x; y) = (17k - 7; 5 - 12k), k \in \mathbb{Z}$ .
    D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x; y) = (-7k; 5k), k \in \mathbb{Z}$ .

3. On considère les deux nombres $n = 1\,789$ et $p = 1\,789^{2005}$ . On a alors :
    A : $n \equiv 4$ (modulo 17) et $p \equiv 0$ (modulo 17).
    B : $p$ est un nombre premier.
    C : $p \equiv 4$ (modulo 17).
    D : $p \equiv 1$ (modulo 17).

4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d'affixes respectives a et b. Le triangle MAB est rectangle isocèle direct d'hypoténuse [AB] si et seulement si le point M d'affixe z est tel que :
$\begin{array}{lllll} \text{A : }& z = \dfrac{b - ia}{1 - i} & \hspace{50pt} & \text{C : } & a - z = i(b - z)\\ \text{B : }& z - a = e^{i\frac{\pi}{4}}(b - a) & & \text{D : } & b - z = \dfrac{\pi}{2}(a - z)\\ \end{array}$

5. On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B; on note I le milieu du segment [AB]. Soit $f$ la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d'angle $\frac{2\pi}{3}$ ; soit $g$ la similitude directe de centre A, de rapport $\frac12$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ ; soit $h$ la symétrie centrale de centre I.
    A : $h \circ g \circ f$ transforme A en B et c'est une rotation.
    B : $h \circ g \circ f$ est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].
    C : $h \circ g \circ f$ n'est pas une similitude.
    D : $h \circ g \circ f$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

5 points

L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$ .

1. On considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point B(1; -2; 1) et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ (-2; 1; 5) et le plan $\mathcal{R}$ d'équation cartésienne $x + 2y - 7 = 0$
a) Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont perpendiculaires.
b) Démontrer que l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ est la droite $\Delta$ passant par le point C(-1; 4; -1) et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ (2; -1; 1).
c) Soit le point A(5; -2; -1). Calculer la distance du point A au plan $\mathcal{P}$ , puis la distance du point A au plan $\mathcal{R}$ .
d) Déterminer la distance du point A à la droite $\Delta$

2. a) Soit, pour tout nombre réel t, le point M_t de coordonnées (1 + 2t; 3 - t; t).
Déterminer en fontion de t la longueur AM_t. On note $\phi(t)$ cette longueur. On définit ainsi une fonction $\phi$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ .
b) Etudier le sens de variation de la fonction $\phi$ sur $\mathbb{R}$ ; préciser son minimum.
c) Interpréter géoémtriquement la valeur de ce minimum.

3 points

On dispose d'un dé en forme de tétraèdre régulier, possédant une face bleue, deux faces rouges et une face verte; on suppose le dé parfaitement équilibré.
Une partie consiste à effectuer deux lancers successifs et indépendants de ce dé. A chaque lancer on note la couleur de la face cachée.
On considère les événements suivants :
E est l'événement "à l'issue d'une partie, les deux faces notées sont vertes",
F est l'événement "à l'issue d'une partie, les deux faces notées sont de la même couleur".

1. Calculer les probabilités des événements E et F qinsi que la probabilité de E sachant F.

2. On effectue dix parties identiques et indépendantes.
Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux fois l'événement F au cours de ces dix parties (on donnera une valeur approchée décimale à 10^-3 près).

On souhaite savoir si le dé utilisé peut être considéré comme parfaitement équilibré.
Pour cela, on numérote de 1 à 4 les quatre faces de ce dé, puis on lance ce dé 156 fois en notant le nombre n_i de fois où chaque face i est cachée; on obtient les résultats suivants :

Face i	1	2	3	4
Effectif n_i	30	48	46	32

On note f_i la fréquence relative à la face i et d²_obs le réel $\displaystyle \sum_{i = 1}^4 \left(f_i - \frac14\right)^2$ .
On simule ensuite 1000 fois l'expérience consistant à tirer un chiffre au hasard 156 fois parmi l'ensemble {1, 2, 3, 4} puis, pour chaque simulation, on calcule $d^2 = \displaystyle \sum_{i = 1}^4 \left(F_i - \frac14\right)^2$ , où F_i est la fréquence d'apparition du chiffre i. Le 9^e décile de la série statistique des 1000 valeurs de d² est égal à 0,0098.
Au vu de l'expérience réalisée et au risque de 10%, peut-on considérer le dé comme parfaitement équilibré ?

Correction

1. Pour lever l'indétermination il faut développer $f(x)$ .
$f(x) = 20xe^{-\frac{1}{2}x} + 10e^{-\frac{1}{2}x}$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 20xe^{-\frac{1}{2}x} =\displaystyle \lim_{x \to +\infty}40\,\dfrac{1}{\frac{e^{\frac{1}{2}x}}{\frac{1}{2}x}}=0$ car $\displaystyle \lim_{X \to +\infty}\frac{e^X}{X}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 10e^{-\frac{1}{2}x} = 0$
Donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

2. $f$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ comme composée, somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$f(x)$ est de la forme $uv$ dont la dérivée est égale à $u'v + uv'$ .
On pose : $u(x) = 20x + 10$ , donc $u'(x) = 20$
et $v(x) = e^{-\frac{1}{2}x}$ , donc $v'(x) = -\dfrac{1}{2} e^{-\frac{1}{2}x}$
$f'(x) = 20 \times e^{-\frac{1}{2}x} + (-10x - 5) e^{-\frac{1}{2}x}$
$= e^{-\frac{1}{2}x} (20 - 10x - 5)$ en factorisant par $e^{-\frac{1}{2}x}$
$= e^{-\frac{1}{2}x} (15 - 10x) = 5e^{-\frac{1}{2}x} (3 - 2x)$
$e^{-\frac{1}{2}x} > 0$ donc f'(x) est du signe de $(3 - 2x)$
$3 - 2x \geq 0 \Longleftrightarrow -2x \geq -3 \Longleftrightarrow x \leq \dfrac{3}{2}$
$f'(x) \geq 0$ pour $x \in \left[0 ; \dfrac{3}{2} \right]$ . $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
$f'(x) \leq 0$ pour $x \in [\dfrac{3}{2} ; +\infty[$ . $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle. $f(0) = 10$ ; $f \left( \dfrac{3}{2} \right) = 40e^{-\frac{3}{4}}$ , d'où le tableau de variations de $f$ :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 0 & & \dfrac{3}{2} & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline \niveau{2}{2} f(x) & 10 & \croit & 40e^{-\frac{3}{4}} & \decroit & 0 \\ \hline \end{tabvar}$

3. Sur $]0 ; \dfrac{3}{2}[$ , $f(x) > 10$ : il n'y a pas de solution.
Sur $[\dfrac{3}{2} ; +\infty[$ , $f$ est continue et strictement décroissante
$f \left(\dfrac{3}{2} \right) \approx 18,9$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
$10 \in \left]\lim\limits_{x\to +\infty}f(x) ; f \left( \dfrac{3}{2} \right) \right]$ . Le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer que l' équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[\dfrac{3}{2} ; +\infty[$ .
L' équation $f(x)=10$ admet donc une unique solution $\alpha$ dans $]0;+\infty[$
$f(4,673) \approx 10,00039$ et $f(4,674) \approx 9,9979$
Donc $4,673 \leq \alpha \leq 4,674$
$\alpha \approx 4,673$ par défaut.

4.

bac S 2005 session de remplacement métropole : image 1

5. $I=\displaystyle \int_0^{3} f(x) dx = \displaystyle \int_0^{3} (20x + 10) \left(e^{-\frac{1}{2}x} \right) dx$
On pose $u(x)= 20x + 10$ , donc $u'(x) = 20$
et $v'(x) = e^{-\frac{1}{2}x}$ , donc $v(x) = -2 e^{-\frac{1}{2}x}$
$u$ et $v$ sont dérivables sur [0 ; 3], $u'$ et $v'$ continues sur ce même intervalle.
On peut donc intégrer par parties en utilisant la formule du cours :
$\text{I} = \left[(20x + 10) \left(-2 e^{-\frac{1}{2}x} \right) \right]_0^{3} - \displaystyle \int_0^{3} \left( -2 e^{-\frac{1}{2}x}\right) \times 20 \text{d}x \\ \text{I} = - 140 e^{-\frac{3}{2}} + 20 + 40 \left[-2 e^{-\frac{1}{2}x} \right]_0^{3} \\ \text{I} = - 140e^{-\frac{3}{2}} + 20 - 80 \left(e^{-\frac{3}{2}} - 1 \right) \\ \boxed{\text{I} =100 - 220 e^{-\frac{3}{2}}}$

1. Pour tout $t \in [0; +\infty[$ :
$f(t) = (20t + 10) e^{-\frac{1}{2}t}$
$f'(t) = (-10t + 15)e^{-{\frac{1}{2}t}$ (calculée précédemment)
Pour tout $t \in [0; +\infty[$ :
$f'(t) + \dfrac{1}{2} f(t) = (-10t + 15) e^{-\frac{1}{2}t} + \dfrac{1}{2} (20t + 10) e^{-\frac{1}{2}t}$
$f'(t) + \dfrac{1}{2} f(t) = e^-{\frac{1}{2}t} (-10t + 15 + 10t + 5)$ en factorisant par $e^{-\frac{1}{2} t}$
$f'(t) + \dfrac{1}{2} f(t) = e^{-\frac{1}{2} t } (20) \\ f'(t) + \dfrac{1}{2} f(t) = 20 e^{-\frac{1}{2}t}$
Donc $f$ est bien solution de (E) sur [0; + $\infty$ [.

2. a) $g$ est solution de (E), donc pour tout $t \in [0 ; +\infty[$ , $g'(t) + \dfrac{1}{2} g(t) = 20e^{-\frac{1}{2}t}$
On a vu que pour tout $t \in [0; +\infty[$ :
$f'(t) + \dfrac{1}{2} f(t) = 20 e^{-\frac{1}{2}t}$
On peut en déduire que pour tout $t \in [0; +\infty[$ , $g'(t) + \dfrac{1}{2} g(t) = f'(t) + \dfrac{1}{2} f(t)$ .
$g'(t) - f'(t) + \dfrac{1}{2} g(t) - \dfrac{1}{2} f(t) = 0$
c'est-à-dire $(g - f)' + \dfrac{1}{2} (g - f) = 0$
Donc $g - f$ est solution sur $[0 ; +\infty[$ de l'équation différentielle : $y' + \dfrac{1}{2} y = 0$ .

2. b) D'après le cours, les solutions de $(E')$ sont les fonctions: $t\mapsto K e^{-\frac{1}{2}t} \, \text{ où } \, K \in \mathbb{R}$

2. c) $g - f$ est solution de $(E')$ .
Donc $g(t) - f(t) = K e^{-\frac{1}{2}t}$
$g(t) = f(t) + K e^{-\frac{1}{2}t} \\ g(t) = (20t + 10)e^{-\frac{1}{2}t} + K e^{-\frac{1}{2}t}$
$g(0) = 10 \; \Longleftrightarrow \; 10e^0 + Ke^0 = 10 \; \Longleftrightarrow \; K=0$
Pour tout $t \in [0; +\infty[$ , $g(t) = f(t)$ .
Donc $f$ est l'unique solution de $(E)$ prenant la valeur 10 à l'instant 0.

3. On résout l' inéquation $f(t) < f(0)$ sur $]0;+\infty[$
Sur $\left]0;\frac{3}{2}\right[$ , $f$ est strictement croissante donc $f(t)>f(0)$ avec $f(0)=f(\alpha )=10$
Sur $\left[\frac{3}{2};+\infty\right[$ , $f$ est strictement décroissante donc $f(t)<f(\alpha )\Longleftrightarrow t>\alpha$
La température redescend au dessous de sa valeur initiale au bout d' une durée $t = \alpha$ soit environ 4h 40 minutes.

4. La valeur moyenne est donnée par la formule :
$\theta = \dfrac{1}{3-0} \displaystyle \int_0^{3} f(t) dt \\ = \dfrac{1}{3} \displaystyle \int_0^{3} f(t)dt$
En utilisant la 5eme question de la partie A on trouve :
$\theta = \dfrac{1}{3} (100 - 220) e^{-\frac{3}{2}} \approx 17°$

1. Réponse correcte : C
$z = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{3}}$ donc $z^{14} = \left(\sqrt{2} \right)^{14} e^{i\frac{14\pi}{3}}$
Or, $\begin{matrix}&\left( \sqrt{2} \right)^2 = 2 \, \, \Rightarrow \left(\sqrt{2}\right)^{14} = \left(\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)^7 = 2^7 = 128& \\ &\dfrac{14\pi}{3} = \dfrac{12\pi + 2\pi}{3} = 4\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \, \, [2\pi]&\end{matrix}$
D'où : $z^{14} = 128 \left( \cos \dfrac{2\pi}{3} +i \sin \dfrac{2\pi}{3} \right) = 128 \left( -\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \boxed{-64 + 64i \sqrt{3}}$

2. Réponse correcte : D
$|z - 3| = |z_{\text{M}} - z_{\text{S}}| = \text{SM}$
$|3 - 4i| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
SM = 5, (E) est donc le cercle de centre S et de rayon 5.

3. Réponse correcte : B

bac S 2005 session de remplacement métropole : image 4

$[CF]$ est un diamètre du cercle circonscrit à $A B C D E F$ , donc: $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AF}=0$ .
Donc : $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AC}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF})=\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AC}^{2}=-AC^{2}$
$[AD]$ est un autre diamètre du cercle circonscrit à $A B C D E F$ , donc le triangle $ACD$ est rectangle en $C$ et :
$AC^{2}=AD^{2}-DC^{2}=4-1=3$
On en déduit que: $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CF}=-AC^{2}=-3$

4. Réponse correcte : A
Pour $x<0$ : $g(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-2x}}{x-3} = \dfrac{\sqrt{x^2 \left(1 - \dfrac{2}{x}\right)}}{x-3} = \dfrac{|x|\sqrt{1 - \dfrac{2}{x}}}{x-3} = -\dfrac{x\sqrt{1 - \dfrac{2}{x}}}{x-3}$ car $|x| = -x$ quand $x < 0$
$g(x)=-\dfrac{x\sqrt{1 - \dfrac{2}{x}}}{x\left(1-\dfrac{3}{x}\right)}=-\dfrac{\sqrt{1 - \dfrac{2}{x}}}{1-\dfrac{3}{x}}$
$\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{2}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{3}{x}=0$ donc :
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} g(x) = -1$

5. Réponse correcte : C
$f(x)= \displaystyle \int_0^{x} e^{-t^2} dt$ est la primitive de la fonction $x\mapsto e^{-x^2}$ qui s' annulle en 0.
Donc $f'(x) = e^{-x^2}$
$(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \times u'(x)$ (cours)
$f''(x) = e^{-x^2} \times (-2x) = -2x \times e^{-x^2}$

1. Réponse correcte: D
On dresse un tableau contenant les 6 cas possibles selon les valeurs de $x$ . La congruence employée a pour modulo 6.

Le tableau indique que $x^2 - x + 4 \equiv 0 [6]$
si : $x \equiv 2 [6] \text{ ou } x \equiv 5 [6]$

2. Réponse correcte : C
On simplifie $24x + 34y = 2$ par 2. On obtient $12x + 17y = 1$ (de la forme $au + bv = d$ )
Le couple $x_0 = u_0 = -7$ et $y_0 = v_0 = 5$ est une solution évidente.
On admet que l'ensemble solution des couples est de la forme : $(x_0 + bk ~;~ y_0 - ak) = (-7 + 17k ~;~ 5 - 12k) \, k \in \mathbb{Z}$

3. Réponse correcte : C
$(1789)^{2005} \equiv 4^{2005} [17]$ (on remarque que 1789 = 17 × 105 + 4)
De plus, $4^0 \equiv 1 [17]$
$4^1 \equiv 4 [17] \\ 4^2 \equiv 16 [17] \\ 4^3 \equiv 64 \equiv 13 [17] \\ 4^4 \equiv 52 \equiv 1$
On remarque que 2005 = 4 × 501 + 1
$4^{2005} \equiv 4^{4 \times 501 + 1} \equiv 4^{4 \times 501} \times 4^1 \equiv 1 \times 4 [17]$
On en déduit que $p \equiv 4 [17]$

4. Réponse correcte : A
MAB est rectangle isocèle direct en M $\Longleftrightarrow$ la rotation de centre M et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ transforme A en B ce qui se traduit par l'égalité :
$b - z = e^{i\frac{\pi}{2}} (a - z) \\ \Longleftrightarrow b - z = i(a - z) \\ \Longleftrightarrow z(1 - i) = b - ia \\ \Longleftrightarrow z = \dfrac{b-ia}{1-i}$

5. Réponse correcte : D
$f$ est une similitude directe de rapport 2 et d' angle $\dfrac{2\pi}{3}$
$g$ est une similitude directe de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d' angle $\dfrac{\pi}{3}$
$h$ est une similitude directe de rapport 1 et d' angle $\pi}$
En conséquence $h\circ g\circ f$ est une similitude directe de rapport le produit des rapports soit 1 et d' angle la somme des angles soit 0 modulo $2\pi$
$h\circ g\circ f$ est donc soit l' identité du plan soit une translation.
On remarque que $(h\circ g\circ f)(A)=(h\circ g)(A)=h(A)=B$
$h\circ g\circ f$ est donc la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$

1. a) $(\mathcal{P})$ a pour vecteur normal $\large \vec{n}(-2 ; 1 ; 5)$ et $\large (\mathcal{R})$ a pour vecteur normal $\large \vec{r}(1 ; 2 ; 0)$

$\large \vec{n}.\vec{r} = (-2)\times1 + 1\times2 + 0 = -2 + 2 = 0 \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \boxed{{\rm (P) \, \, est \, \, perpendiculaire \, \, à \, (R)}}$

1. b) $\vec{u}.\vec{n}=2\times -4-1+5=0$ et $\vec{u}.\vec{r}=2-2=0$
Ainsi $\vec{u}$ , orthogonal à un vecteur normal à $\mathcal{P}$ et orthogonal à un vecteur normal à $\mathcal{R}$ , est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ intersection de ces deux plans.
$\overrightarrow{BC}(-2;6;-2)$ et $\overrightarrow{BC}.\vec{n}=4+6-10=0$ donc $\overrightarrow{BC}$ est orthogonal à $\vec{n}$ donc $C\in \mathcal{P}$
De plus, les coordonnées de $C(-1;4;-1)$ vérifient l' équation du plan $\mathcal{R}$ donc $C\in \mathcal{R}$
On en déduit que $C\in\Delta$
L' intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ est donc la droite $\Delta$ passant par $C(-1;4;-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;1)$ .

1. c) Equation de $\mathcal{P}$ :
$M(x;y;z)\in\mathcal{P}\Longleftrightarrow \overrightarrow{BM}.\vec{n}=0\Longleftrightarrow -2(x-1)+y+2+5(z-1)=0$
$\mathcal{P}:\,-2x+y+5z-1=0$
$d(\text{A} , \mathcal{P}) = \dfrac{|(-2 \times 5) + (-2) + 5\times(-1) - 1|}{\sqrt{4+1+25}} \\ d(\text{A} , \mathcal{P}) = \dfrac{18}{\sqrt{30}} = \dfrac{3\sqrt{30}}{5}$
$d(\text{A} , \mathcal{R}) = \dfrac{|5-4-7|}{\sqrt{1+4}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$
$\boxed{d(\text{A}, \mathcal{P}) = \dfrac{3\sqrt{30}}{5} \text{ et } d(\text{A}, \mathcal{R}) = \dfrac{6\sqrt{5}}{5}}$

1. d) La droite $\Delta$ , intersection de $(\mathcal{P})$ et de $(\mathcal{R})$ est perpendiculaire à (AIH), donc à toute droite de ce plan, en particulier à AI. AI est donc la distance de A à $\Delta$ .
La figure ci-dessous permet de voir que $d(\text{A} , \mathcal{R}) = \dfrac{6\sqrt{5}}{5} = \text{AH}$ et $d(\text{A} , \mathcal{P}) = \dfrac{3\sqrt{30}}{5} = \text{AK} = \text{IH}$

bac S 2005 session de remplacement métropole : image 3

Par application du théorème de Pythagore dans le triangle AIH rectangle en H, on a :
AI² = AH² + IH²
$\text{AI}^2 = \dfrac{36}{5} + \dfrac{9\times30}{25} = \dfrac{36}{5} + \dfrac{54}{5} = \dfrac{90}{5} = 18 \\ \text{AI} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

2. a) $\text{AM} = \sqrt{(x_{\text{M}} - x_{\text{A}})^2 + (y_{\text{M}} - y_{\text{A}})^2 + (z_{\text{M}} - z_{\text{A}})^2}$
$\text{AM} = \sqrt{(1+2t-5)^2+(3-t+2)^2+(t+1)^2} \\ \text{AM} = \sqrt{(2t-4)^2+(5-t)^2+(t+1)^2} \\ \text{AM} = \sqrt{4t^2-16t+16+25-10t+t^2+t^2+2t+1} \\ \text{AM} = \sqrt{6t^2-24t+42} \\ \text{AM} = \sqrt{6(t^2-4t+7)}$
Donc $AM_t = \sqrt{6(t^2-4t+7)}$

2. b) $\varphi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .
$\varphi '(t) = \dfrac{6(2t-4)}{2\sqrt{6(t^2-4t+7)}} = \dfrac{\sqrt{6}(t-2)}{\sqrt{t^2-4t+7}}$
du signe de $t - 2$ .
$t - 2 \geq 0$ pour $t \geq 2$ , $\varphi ' (t) \geq 0$ , $\varphi$ est croissante.
$t - 2 \leq 0$ pour $t \leq 2$ , $\varphi ' (t) \leq 0$ , $\varphi$ est décroissante.
$\varphi$ admet un minimum en $t = 2$ .
$\varphi (2) = \sqrt{6(4-8+7)} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

2. c) $M_t(1+2t;3-t;t)$ pour $t=-1$ , on obtient $M_{-1}(-1;4;-1)$ soit le point $C$
$\overrightarrow CM_t(2+2t;-1-t;1+t)$ et $\overrightarrow CM_t=(1+t)\,\vec{u}$
Lorsque $t$ décrit $\mathbb{R}$ , le point $M_t$ décrit donc la droite $\Delta$
Géométriquement le minimum obtenu à la question précédente correspond à la plus courte distance de A à M c'est-à-dire la distance de A à $\Delta$ .

1. On peut dresser un arbre pondéré :

bac S 2005 session de remplacement métropole : image 2

En examinant cet arbre, on trouve les probabilités demandées :
$\rm P(E) = P({\green V \cap V}) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \boxed{\dfrac{1}{16}}$

$\rm P(F) = P({\blue B \cap B}) + P({\red R \cap R}) + P({\green V \cap V}) \\ = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{16} \\ = \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{4} \\ = \dfrac{2}{16} + \dfrac{4}{16} = \dfrac{6}{16} = \boxed{\dfrac{3}{8}}$

$\rm P_{F}(E) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)} = \dfrac{P(V \cap V)}{P(F)} \\ = \dfrac{\left(\dfrac{1}{16}\right)}{\left(\dfrac{3}{8}\right)} = \dfrac{1}{16} \times \dfrac{8}{3} = \boxed{\bb \dfrac{1}{6}}$

2. On est en présence d'une loi binomiale de paramètres $\boxed{n = 10}$ et $\boxed{p = \dfrac{3}{8}}$
$P(X \geq 2) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - P(X = 1) - P(X = 0) \\ = 1 - \binom{10}{1} \left(\dfrac{3}{8}\right)^1 \left(\dfrac{5}{8}\right)^9 - \binom{10}{0}\left(\dfrac{3}{8}\right)^0 \left(\dfrac{5}{8}\right)^{10} \\ = 1 - 10 \times \dfrac{3 \times 5^9}{8^{10}} - \left(\dfrac{5}{8}\right)^{10} = 1 - 2 \times 5 \times \dfrac{3 \times 5^9}{8^{10}} - \left(\dfrac{5}{8}\right)^{10} = \boxed{1 - 7\left(\dfrac{5}{8}\right)^{10}}$

$\large \boxed{P(X \geq 2) \approx 0,936 \text{ à } 10^{-3} \text{ près}.}$

$x \equiv$

$x^2 - x + 4$

$\begin{matrix}d^2_{obs} &=& \left(\dfrac{30}{156} - \dfrac{1}{4} \right)^2 + \left(\dfrac{48}{156} - \dfrac{1}{4} \right)^2 + \left(\dfrac{46}{156} - \dfrac{1}{4} \right)^2 + \left(\dfrac{32}{156} - \dfrac{1}{4} \right)^2 \\ &=& \left(\dfrac{30}{156} - \dfrac{39}{156} \right)^2 + \left(\dfrac{48}{156} - \dfrac{39}{156} \right)^2 + \left(\dfrac{46}{156} - \dfrac{39}{156} \right)^2 + \left(\dfrac{32}{156} - \dfrac{39}{156} \right)^2 \\ \\ &=& \dfrac{81}{156^2} + \dfrac{81}{156^2} + \dfrac{49}{156^2} + \dfrac{49}{156^2} =\dfrac{260}{156^2}=\dfrac{5}{468}\\ \\ &=& \boxed{\dfrac{5}{468} \approx 0,010~684}\end{matrix}$

Le 9ème décile est $\large D_9 = 0,0098$ cela signifie que 90 % des valeurs de $\large \rm d^2$ obtenues au cours des 1000 simulations sont dans l'intervalle [0 , 0,0098].
On remarque que $\large \boxed{d^2_{obs} > D_9}$ .
Au risque de 10%, on ne peut donc pas considérer que le dé est parfaitement équilibré.

Publié par /cva le 22-11-2013

ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter

Merci à pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Cette fiche

Voir l'énoncé seul
Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, Connectez vous
Forum de maths

forum de terminale
Plus de 147 323 topics de mathématiques en terminale sur le forum.