L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Scientifique
La Réunion - Session 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

 Exercice 1 (5 points) - Commun à tous les candidats

Soient a et b deux nombres réels strictement positifs tels que a < b.
On désigne par A et par B les points d'abscisses respectives a et b de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien dans un repère orthonormal .
Les points Q et R sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur l'axe des ordonnées.

1. a) Donner l'équation réduite de la tangente au point A à la courbe .
   b) Déterminer l'ordonnée du point d'intersection P de avec l'axe des ordonnées.
Calculer la longueur PQ. En déduire une construction simple de ; la réaliser sur la figure en annexe 1.

2. Restitution organisée de connaissances
On suppose connue la propriété :
Pour tout couple de nombres réels strictement positifs, on a .
En déduire que, pour tout nombre réel m strictement positif, on a .

3. Utiliser le résultat de la question 2 pour placer sur l'axe des abscisses le point G d'abscisse .
Expliquer la construction et la réaliser sur la figure de l'annexe (on laissera les traits de construction apparents).

Annexe 1

 Exercice 2 (4 points) - Commun à tous les candidats

Soit a un nombre réel tel que -1 < a < 0.
On considère la suite u définie par u₀ = a, et pour tout entier naturel n, u_n+1 = u_n² + u_n.

1. Etudier la monotonie de la suite u.

2. a) Soit h la fonction définie sur par . Etudier le sens de variation de la fonction h.
En déduire que pour tout appartenant à l'intervalle ]-1 ; 0[, le nombre appartient aussi à l'intervalle ]-1 ; 0[.
   b) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : -1 < u_n < 0.

3. Etudier la convergence de la suite u. Déterminer, si elle existe, sa limite.

 Exercice 3 (6 points) - Commun à tous les candidats

On considère la fonction définie sur par :
On note la courbe représentative de dans un repère orthononormal .

1. a) Déterminer la limite de en .
   b) Etablir que, pour tout nombre réel non nul, on a .
En déduire la limite de en .

2. Donner, sans démontrer, la limite suivante : et démontrer que est continue en 0.

3. a) Démontrer que, pour tout nombre réel , on a : , et que l'égalité n'a lieu que pour .
   b) Calculer la dérivée de la fonction et déterminer la fonction g telle que, pour tout nombre réel non nul,
   c) Donner le tableau des variations de .

4. Soient un nombre réel non nul et les points et de la courbe .
   a) Etablir que puis déterminer le coefficient directeur de la droite (MM').
   b) On admet que la fonction est dérivable en 0. Que suggère alors le résultat précédent ?

 Exercice 4 (5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct .
A, B, C désignent les points d'affixes respectives a = ,  b = et c = 2i.

1. a) Ecrire b sous forme exponentielle.
   b) Les points A et C sont représentés sur la figure ci-dessous. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).

2. On désigne par E le barycentre du système {(A ; 1 ) ; (C ; 3)} et par F le barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1)}.
   a) Etablir que l'affixe e du point E est égale à .
   b) Déterminer l'affixe f du point F.

3. a) Démontrer que le quotient peut s'écrire peut s'écrire ki où k est un nombre réel à déterminer.
En déduire que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. Placer le point E sur le dessin.
   b) Démontrer que le point F possède une propriété analogue. Placer F sur le dessin.

4. On désigne par H le barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 6)}.
Démontrer que le point H est le point d'intersection des droites (BE) et (CF).
Qu'en déduit-on pour le point H ?

 Exercice 4 (5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct .
A, B, C désignent les points d'affixes respectives a = ,  b = et c = 2i.

1. a) Ecrire b sous forme exponentielle.
   b) Les points A et C sont représentés sur la figure ci-dessous. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).

   c) Déterminer une mesure en radians de l'angle et de l'angle .

2. Les points Les points E et F ont pour affixes respectives et .
    a) Démontrer que les points A, E et C, d'une part, et les points A, F et B, d'autre part, sont alignés.
    b) Démontrer que le quotient peut s'écrire ki où k est un nombre réel à déterminer.
Interpréter géométriquement ce résultat. On admet que, de façon analogue, peut s'écrire k'i où k' est un nombre réel non nul que l'on ne demande pas de déterminer.
    c) Placer les points E et F sur la figure.

3. On désigne par S la similitude indirecte dont l'écriture complexe est .
Déterminer les images par S des trois points A, B et C.

4. Soit H le point d'intersection des droites (BE) et (CF). Placer le point S(H) sur la figure.

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