4 points

exercice 1

Pour un jeu, on dispose de deux urnes.
La première urne contient 6 boules indiscernables au toucher. Sur chacune de ces boules est écrite une lettre, les 6 lettres permettant de reconstituer le prénom MARGOT.
La seconde urne contient 7 boules indiscernables au toucher. Sur chacune de ces boules est écrite une lettre, les 7 lettres permettant de reconstituer le prénom JUSTINE.

Le jeu se déroule en deux étapes :

Etape 1 :	On prend au hasard une boule de la première urne et on regarde la lettre tirée.
Etape 2 :	- Si la lettre tirée est une voyelle, on tire au hasard la deuxième boule dans la première urne, la première boule tirée n'étant pas remise en jeu. On regarde la seconde lettre tirée. - Si la première lettre tirée est une consonne, on tire au hasard la deuxième boule dans la deuxième urne. On regarde la seconde lettre tirée.

On considère les deux événements :
    V₁ "la première lettre tirée est une voyelle" ;
    V₂ "la deuxième lettre tirée est une voyelle".

1. Calculer la probabilité que la première lettre tirée soit une voyelle.

2. Calculer la probabilité que la deuxième lettre tirée soit une voyelle sachant que la première est une consonne.

3. Reproduire et compléter l'arbre suivant :


4. Montrer que la probabilité que la deuxième lettre tirée soit une voyelle est

5. On suppose que la deuxième lettre tirée est une voyelle.
Quelle est la probabilité que la première lettre soit une voyelle ? 6 points

exercice 2

On considère la fonction définie par pour tout réél de [0 ; [.
On note sa courbe représentative dans le repère (O , Oy).

1. Calculer et justifier que .

2. a) On note la fonction dérivée de . Démontrer que, pour tout nombre réél positif,
    b) Déterminer le sens de variation de la fonction sur [0 ; [.
    c) Calculer , puis donner une équation de la tangente () à la courbe (C) au point d'abscisse 0.

3. a) Etablir que, pour tout nombre réel positif, .
    b) En déduire que, pour tout nombre réel positif, .

4. Les quatre graphiques ci-dessous ont été obtenus à l'aide d'un logiciel informatique.
Parmi ces quatre graphiques, un seul peut représenter la courbe et la tangente ().
Préciser quel est ce graphique et justifier soigneusement l'élimination de chacun des trois autres graphiques.
6 points

exercice 3

La figure ci-dessous représente, en perspective cavalière, le sol (A₁A₄D₄D₁) et le mur de droite (A₁B₁B₄A₄) d'une salle. Le sol et le mur sont pavés avec des carrelages identiques de forme carrée.


Le but de l'exercice est de représenter sur l'annexe ce carrelage en perspective centrale sachant que le sol est horizontal, le mur est vertical et le plan (D₁A₁B₁) est frontal.

Dans cette perspective centrale, on convient de noter avec une lettre minuscule les images des points. Ainsi a₁ est l'image de A₁, a₂ est l'image de A₂ ...

On a représenté sur la feuille annexe la ligne d'horizon, le segment [a₁b₁] et le point a₃.

Aucune justification des constructions n'est attendue, mais on laissera apparents tous les traits de construction.

1. a) Construire le point de fuite de la droite (A₁A₃), noté f, et le point b₃.
    b) Construire le segment [a₂b₂].
    c) Construire le point c₁.
    d) Construire le segment [a₄b₄].

2. a) Préciser, en justifiant la réponse, le réel k tel que a₁d₁ = k a₁c₁.
    b) Construire le point d₁.
    c) Terminer la figure.

3. Pour chacune des trois affirmations ci-dessous dire, en justifiant la réponse donnée, si elle est vraie ou fausse.
En cas de réponse négative, on pourra fournir un contre-exemple issu de la figure complétée en annexe.
      (1) Le plan (A₄B₄D₄) est frontal.
      (2) En perspective centrale, les milieux sont toujours conservés.
      (3) En perspective centrale, les milieux ne sont jamais conservés.

4 points

exercice 4

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Le but de l'exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre entier dont certaines ne peuvent être obtenues à l'aide d'une calculatrice.

Partie A : Chiffre des unités de

1. Justifier que (modulo 10). En déduire que (modulo 10).

2. Quel est le chiffre des unités de ?

Partie B : Nombre de chiffres de

Dans cette partie, log désigne la fonction logarithme décimal.
On pourra utiliser les propriétés suivantes :
    , pour tout nombre réél strictement positif et tout nombre entier .
    .
    La fonction log est strictement croissante sur ]0 ; [.

1. Sachant que , justifier l'encadrement .

2. Calculer et .

3. Déduire des questions précédentes l'encadrement .

4. Expliquer comment on peut déduire de l'inégalité précédente le nombre de chiffres de l'écriture décimale du nombre entier .