Fiche de mathématiques

Bac 2008

Bac Scientifique
Asie - Session 2008

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
2 feuilles de papier millimétré seront remises à la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

A - Vrai ou faux ?

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exemple.

Rappel des notations :

$\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2}$ désigne l'ensemble des points communs aux plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ .

L 'écriture $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} = \emptyset$ signifie que les plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ n'ont aucun point commun.

1. Si $\mathscr{P}_{1}, \, \mathscr{P}_{2} \text{ et } \mathscr{P}_{3}$ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \neq \emptyset \, \text{ et } \, \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset,$
alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{1} \text{ et } \mathscr{P}_{3}$ vérifient : $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset$ .

2. Si $\mathscr{P}_{1}, \, \mathscr{P}_{2} \text{ et } \mathscr{P}_{3}$ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset$ ,
alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{1}, \, \mathscr{P}_{2} \text{ et } \mathscr{P}_{3}$ sont tels que : $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} = \emptyset$ et $\mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset$ .

3. Si $\mathscr{P}_{1}, \, \mathscr{P}_{2} \text{ et } \mathscr{P}_{3}$ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \neq \emptyset \text{ et } \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset$
alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{2} \text{ et } \mathscr{P}_{3}$ vérifient : $\mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset$ .

4. Si $\mathscr{P}_{1} \text{ et } \mathscr{P}_{2}$ sont deux plans distincts et $\mathscr{D}$ une droite de l'espace vérifiant : $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{D} \neq \emptyset \text{et} \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} = \emptyset$ ,
alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{D} \neq \emptyset$

B - Intersection de trois plans donnés

Dans un repère orthonorrnal de l'espace on considère les trois plans suivants :

$\mathscr{P}_{1}$ d'équation $x+ y - z = 0$ ,

$\mathscr{P}_{2}$ d'équation $2x + y + z - 3 = 0$ ,

$\mathscr{P}_{3}$ d'équation $x + 2y - 4z + 3 = 0$ .

1. Justifier que les plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'interseclion, notée $\Delta$ .

2. En déduire la nature de l'intersection $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3}$ . 5 points

exercice 2 - Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère plusieurs sacs de billes S₁, S₂, . . . , S_n, . . . tels que :
- le premier, S₁, contient 3 billes jaunes et 2 vertes ;
- chacun des suivants, S₂, S₃, . . . , S_n, . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution des tirages successifs d'une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :
- on tire au hasard une bille dans S₁ ;
- on place la bille tirée de S₁ dans S₂, puis on tire au hasard une bille dans S₂ ;
- on place la bille tirée de S₂ dans S₃, puis on tire au hasard une bille dans S₃ ;
- etc.

Pour tout entier n ≥ 1, on note E_n l'événement : « la bille tirée dans S_n est verte » et on note p(E_n) sa probabilité.

1. Mise en évidence d'une relation de récurrence
   a) D'après l'énoncé, donner les valeurs de p(E₁), p_E₁(E₂), $p_{\overline{\text{E}_{1}}}(\text{E}_{2})$ .
En déduire la valeur de p(E₂).
   b) A l'aide d'un arbre pondéré, exprimer p(E_n+1) en fonction de p(E_n).

2. Etude d'une suite
On considère la suite (u_n) définie par : $\lbrace u_{1} = \frac{2}{5}\\ u_{n+1} = \frac{1}{5}u_{n} + \frac{2}{5}$ pour tout n ≥ 1.
   a) Démontrer que la suite (u_n) est majorée par $\frac{1}{2}$ .
   b) Démontrer que (u_n) est croissante.
   c) Justifier que la suite (u_n) est convergente et préciser sa limite.

3. Evolution des probabilités p(E_n)
   a) À l'aide des résultats précédents, déterminer l'évolution des probabilités p(E_n).
   b) Pour quelles valeurs de l'entier n a-t-on : 0,49999 ≤ p(E_n) ≤ 0,5 ? 5 points

exercice 2 - Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Soit a et b deux entiers naturels non nuls ; on appelle « réseau » associé aux entiers a et b l'ensemble des points du plan, muni d'un repère orthonormal, dont les coordonnées $(x \, ; \, y)$ sont des entiers vérifiant les conditions : $0 \leq x \leq a$ et $0 \leq y \leq b$ . On note R_a,b ce réseau.

Le but de l'exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers $x$ et $y$ à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau.

A - Représentation graphique de quelques ensembles

Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d'un graphique qui sera dûment complété.
Représenter graphiquement les points M( $x$ ; y) du réseau R_{8,8} vérifiant :
   a) $x \equiv 2$ (modulo 3) et $y \equiv 1$ (modulo 3), sur le graphique 1 ci-dessous ;
   b) $x + y \equiv 1$ (modulo 3), sur le graphique 2 ci-dessous ;
   c) $x \equiv y$ (modulo 3), sur le graphique 3 ci-dessous.


Graphique 1	Graphique 2

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Asie 2008 - terminale : image 1

Graphique 3

B - Résolution d'une équation

On considère l'équation (E) : $7x - 4y = 1$ , où les inconnues $x$ et y sont des entiers relatifs.

1. Déterminer un couple d'entiers relatifs $(x_{0} \, ; \, y_{0})$ solution de l'équation (E).

2. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

3. Démontrer que l'équation (E) admet une unique solution ( $x$ ; y) pour laquelle le point M( $x$ ; y) correspondant appartient au réseau R_4,7.

C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau

Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [OA] du réseau R_a,b, avec O(0 ; 0) et A(a ; b).

1. Démontrer que les points du segment [OA] sont caractérisés par les conditions :
$0 \leq x \leq a \, ; \, 0 \leq y \leq b \, ; \, ay = bx.$

2. Démonter que si a et b sont premiers entre eux, alors les points O et A sont les seuls points du segment [OA] appartenant au réseau R_a,b.

3. Démontrer que si a et b ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [OA] contient au moins un autre point du réseau.
(On pourra considérer le pgcd d des nombres a et b et poser a = da' et b = db'.) 4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ . On prendra pour le dessin : $\left\|\overrightarrow{u}\right\| = 4 \text{ cm}$ .
M est un point d'affixe $z$ non nul. On désigne par M' le point d'affixe $z'$ telle que $z' = -\frac{1}{\overline{z}}$ où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$ .

A - Quelques propriétés

1. Soit $z$ un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de $z$ et $z'$ , puis une relation entre les arguments de $z$ et $z'$ .

2. Démontrer que les points O, M et M' sont alignés.

3. Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ non nul on a l'égalité : $\overline{z' + 1} = \frac{1}{z}(z - 1)$ .

B - Construction de l'image d'un point

On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et -1.
On note $\mathscr{C}$ l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie : |z - 1| = 1.

1. Quelle est la nature de l'ensemble $\mathscr{C}$ ?

2. Soit M un point de $\mathcal{C}$ d'affixe z, distinct du point O.
a) Démontrer que |z'+ 1| = |z'|. Interpréter géométriquement cette égalité.
b) Est-il vrai que si z' vérifie l'égalité : |z' + 1| = |z'|, alors z vérifie l'égalité : |z - 1| = 1 ?

3. Tracer l'ensemble $\mathscr{C}$ sur une figure. Si M est un point de $\mathscr{C}$ , décrire et réaliser la construction du point M'. 7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

A - Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le résultat suivant : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\text{e}^x}{x} = +\infty$ .
Démontrer que : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x\text{e}^{-x} = 0$ .

B - Étude d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}$ .
On note $(\mathscr{C})$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$ du plan. On prendra 4 cm pour unité graphique.

1. Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.
Étudier les variations de la fonction $f$ et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.

2. Tracer la courbe $(\mathscr{C})$ . On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.

C - Etude d'une famille de fonctions

Pour tout entier relatif $k$ , on note $f_{k}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_{k}(x) = (x +1)\text{e}^{kx}$ .
On note $\mathscr{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal du plan.
On remarque que le cas $k = -1$ a été traité dans la partie B, car on a $f_{-1} = f$ et $\mathscr{C}_{-1} = \mathscr{C}$ .

1. a) Quelle est la nature de la fonction $f_{0}$ ?
b) Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathscr{C}_{0}$ et $\mathscr{C}_{1}$ .
Vérifier que, pour tout entier $k$ , ces points appartiennent à la courbe $\mathscr{C}_{k}$ .

2. Étudier, suivant les valeurs du réel $x$ , le signe de l'expression : $(x + 1)(\text{e}^x - 1)$ .
En déduire, pour $k$ entier relatif donné, les positions relatives des courbes $\mathscr{C}_{k}$ et $\mathscr{C}_{k+1}$ .

3. Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$ et pour tout entier $k$ non nul.
En déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$ suivant les valeurs de $k$ . (On distinguera les cas : $k > 0$ et $k < 0$ .)

4. Le graphique suivant représente quatre courbes $\mathscr{E}, \, \mathscr{F}, \, \mathscr{H} \text{ et } \mathcal{K}$ correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre $k$ , parmi les entiers -1, -3, 1 et 2.
identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Asie 2008 - terminale : image 2

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Asie 2008 - terminale : image 2

D - Calcul d'une aire plane

Soit $\lambda$ un réel stritement positif. La fonction $f$ est celle définie dans la partie B.

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer ce nombre : $\mathscr{A}(\lambda) = \displaystyle \int_{0}^{\lambda} f(t) \: \text{d}t$ .

2. Déterminer $\displaystyle \lim_{\lambda \to + \infty} \mathscr{A}(\lambda)$ . Interpréter graphiquement ce résultat.

Voir la correction