L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Technologique - Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information.
La Réunion - Session 2008

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Le sujet est composé de quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

 Exercice 1 (5 points)

Selon l'institut national de la statistique et des études économiques (INSEE) un indice des prix a suivi, en France, l'évolution suivante entre les années 2000 et 2006.

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Rang de l'année	1	2	3	4	5	6	7
Indice yi	100	101,5	102,8	104,0	107,1	109,4	113,5

INSEE : formation brute de capital fixe

L'exercice a pour objet d'étudier l'évolution de cet indice en utilisant deux modèles mathématiques.
Une représentation graphique du nuage de points M_i de coordonnées est donnée ci-dessous.

1. Ajustement affine
   a) A l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement de y en , obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième).
   b) A partir des calculs effectués ci-dessus, on retient comme ajustement affine du nuage de points la droite d'équation
Tracer la droite sur le graphique donné ci-dessus.
   c) En supposant que ce modèle reste valable pour l'année 2007, donner une prévision de la valeur de l'indice pour 2007. Indiquer la méthode utilisée.

2. Ajustement à l'aide d'un logiciel Un logiciel de calcul propose d'ajuster le nuage de points à l'aide d'une partie de la courbe d'équation
La courbe est tracée sur le graphique ci-dessus.
   a) Déterminer l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 8.
   b) On suppose que le modèle défini par la courbe reste valable pour l'année 2007.
Donner, selon ce modèle, la valeur de l'indice pour 2007.

 Exercice 2 (5 points)

L'extrait de feuille de calcul ci-dessous donne partiellement le nombre de SMS^* interpersonnels émis par téléphone en France lors des années 2001 à 2007. Le format d'affichage sur la plage de cellules B3:H3 est un format numérique à zéro décimale.
(*) Un SMS ou Short Message Service est un message texte, également appelé texto, envoyé d'un téléphone à un autre.

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
2	Nombre de SMS interpersonnels (en millions)	3234	5877	8410		12712	15023	17546
3	Indice	100	182	260	335		465	543

Source : ARCEP Volumes de la messagerie interpersonnelle

1. a) Calculer le nombre de millions de SMS interpersonnels émis au cours de l'année 2004 (arrondir à l'unité).
   b) Calculer l'indice de l'année 2005 (arrondir à l'unité).

2. Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers la droite d'obtenir la plage de cellules C3:H3.

3. Dans cette question les résultats seront arrondis à 1 %.
   a) Donner le taux d'évolution du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007.
   b) Calculer le taux d'évolution moyen annuel du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007.

 Exercice 3 (4 points)

Une entreprise comprend 375 salariés. Elle dispose d'un restaurant d'entreprise.
Une enquête a été réalisée sur la fréquentation de ce restaurant par les salariés de cette entreprise. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.

	Hommes	Femmes	Total
Nombre de salariés qui mangent régulièrement au restaurant d'entreprise	110	55	165
Nombre de salariés qui mangent occasionnellement au restaurant d'entreprise	42	33	75
Nombre de salariés qui ne mangent jamais au restaurant d'entreprise	58	77	135
Nombre total de salariés	210	165	375

On choisit au hasard un salarié dans la liste des 375 salariés de cette entreprise. Tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis.
On considère les événements suivants :
    F : "Le salarié choisi est une femme" ;
    R : "Le salarié choisi mange régulièrement au restaurant d'entreprise" ;
    O : "Le salarié choisi mange occasionnellement au restaurant d'entreprise".

1. Traduire par une phrase l'événement F R, puis calculer sa probabilité (arrondir le résultat au millième).

2. Traduire par une phrase l'événement R O, puis calculer sa probabilité.

3. Calculer la probabilité que, sachant qu'il mange occasionnellement au restaurant d'entreprise, le salarié choisi soit une femme (donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).

4. Les événements F et O sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.

 Exercice 4 (6 points)

Cet exercice a pour objet une étude de marché pour un article donné. Cette étude de marché a montré que le nombre de personnes désirant acheter cet article est fonction du prix , en euros, auquel il est proposé à la vente.
Pour cet article et pour un prix , on note est le nombre de milliers d'acheteurs. La fonction est la fonction de demande.
Une entreprise décide de fabriquer cet article. Cette entreprise pourra fabriquer milliers d'articles au prix . La fonction g est la fonction d'offre.
Les courbes représentatives et des fonctions et sont données ci-dessous.

1. On suppose que pour cet article la fonction est définie sur l'intervalle [1 ; 12] par
   a) Soit la fonction dérivée de la fonction . Calculer .
   b) Etudier le signe de sur l'intervalle [1 ; 12].
   c) En déduire le sens de variation de la fonction sur l'intervalle [1 ; 12].

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On suppose que pour cet article la fonction g est définie sur l'intervalle [1 ; 12] par
L'entreprise pourra-t-elle vendre tous les articles qu'elle aura fabriqués si le prix de vente est fixé à 8 € ?

3. On se propose de déterminer à l'aide d'un tableur la valeur de pour laquelle Cette valeur est appelée prix d'équilibre de l'article.
La feuille de calcul ci-dessous, donne les valeurs de , les valeurs de et les valeurs de , pour variant de 7 à 7,5 au pas 0,01.
Sur ce tableur la fonction logarithme népérien se note LN( ) et pour les colonnes B, C et D le format d'affichage est un format numérique à trois décimales.

	A	B	C	D
1
2	7,00	4,162	3,892	-0,270
3	7,01	4,158	3,895	-0,263
4	7,02	4,154	3,898	-0,256
5	7,03	4,149	3,900	-0,249
6	7,04	4,145	3,903	-0,242
7	7,05	4,141	3,906	-0,235
8	7,06	4,137	3,909	-0,228
9	7,07	4,132	3,912	-0,221
10	7,08	4,128	3,915	-0,214
11	7,09	4,124	3,917	-0,207
12	7,10	4,120	3,920	-0,200
13	7,11	4,115	3,923	-0,192
14	7,23	4,111	3,926	-0,185
15	7,12	4,107	3,929	-0,178
16	7,14	4,103	3,931	-0,171
17	7,26	4,099	3,934	-0,164
18	7,16	4,094	3,937	-0,157
19	7,17	4,090	3,940	-0,150
20	7,18	4,086	3,943	-0,144
21	7,19	4,082	3,945	-0,137
22	7,20	4,078	3,948	-0,130
23	7,21	4,074	3,951	-0,123
24	7,21	4,069	3,951	-0,116
25	7,23	4,065	3,956	-0,109
26	7,24	4,061	3,959	-0,102
27	7,25	4,057	3,962	-0,095
28	7,26	4,053	3,965	-0,088
29	7,27	4,049	3,968	-0,081
30	7,28	4,045	3,970	-0,074
31	7,29	4,040	3,973	-0,067
32	7,30	4,036	3,976	-0,061
33	7,31	4,032	3,978	-0,054
34	7,32	4,028	3,981	-0,047
35	7,33	4,024	3,984	-0,040
36	7,34	4,020	3,987	-0,033
37	7,35	4,016	3,989	-0,026
38	7,36	4,012	3,992	-0,020
39	7,37	4,008	3,995	-0,013
40	7,38	4,004	3,998	-0,006
41	7,39	4,000	4,000	0,001
42	7,40	3,996	4,003	0,007
43	7,41	3,992	4,006	0,014
44	7,42	3,987	4,008	0,021
45	7,43	3,983	4,011	0,028
46	7,44	3,979	4,014	0,034
47	7,45	3,975	4,016	0,041
48	7,46	3,971	4,019	0,048
49	7,47	3,967	4,022	0,054
50	7,48	3,963	4,024	0,061
51	7,49	3,959	4,027	0,068
52	7,50	3,955	4,030	0,075

   a) Donner une formule qui, entrée dans la cellule B2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B2:B52.
   b) Donner une formule qui, entrée dans la cellule D2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules D2:D52.
   c) Donner la valeur du prix d'équilibre (arrondir au centime d'euro).
   d) Déterminer le nombre d'articles qui seront achetés si le prix de vente est égal au prix d'équilibre.

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