Fiche de mathématiques

Bac 2008

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Electronique - Génie Electrotechnique - Génie Optique
Polynésie Française - Session 2008

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. (Circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
Le sujet est composé de deux exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les 2 exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel et une feuille de papier millimétré sont distribués avec le sujet.

6 points

exercice 1

Le plan complexe est muni du repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ d'unité graphique 2 cm.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue z : z² + 2z + 2 = 0.

2. Soient A et C deux points du plan complexe, d'affixes respectives : z_A = -1 + i et z_C = $\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac12\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac12\right)\text{i}.$
   a) Déterminer le module de z_A et le module de z_C.
   b) Donner un argument de z_A.

3. a) On pose $Z = \frac{z_{\text{C}}}{z_{\text{A}}}.$ Démontrer que $Z = \frac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}.$
   b) Démontrer que $Z = e^{-\text{i}\frac{\pi}{3}.$
   c) En déduire que le point C est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $-\frac{\pi}{3}$ (en radian).
   d) Placer le point A puis construire le point C en utilisant le résultat de la question précédente. Décrire la construction. Toute rédaction, même partielle, sera prise en compte dans l'évaluation.

4. Soit B l'image du point O par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{CA}}$ .
Constuire le point B et démontrer que OCAB est un losange. 4 points

exercice 2

Un professeur d'une classe de terminale S.T.I. donne à ses élèves trois questions dans une interrogation écrite et propose deux réponses par question : l'une juste et l'autre fausse.

On désignera par J une réponse juste et par F une réponse fausse.
On suppose que les élèves répondent à chaque question en indiquant soit la réponse juste, soit la réponse fausse. A chaque élève, on associe le résultat de son interrogation, sous la forme d'un triplet constitué des réponses données aux trois questions. Par exemple, si un élève a répondu juste à la première, faux à la deuxième et à la troisième, on lui associera le résultat (J, F, F).

I. Déterminer à l'aide d'un arbre l'ensemble des résultats possibles. Combien y a-t-il de résultats possibles ?

II. On considère un élève qui répond au hasard à chaque question et de façon indépendante pour chacune d'elles. Le professeur fait l'hypothèse d'équiprobabilité des résultats.

1. Démontrer que la probabilité de l'évènement A "le résultat contient exactement une réponse juste" est égale à $\frac38$ .

2. Déterminer la probabilité de l'évènement B "le résultat contient au moins une réponse juste".

3. Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et 0 pour une réponse fausse.
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève.
   a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ?
   b) Donner la loi de probabilité de X.
   c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.

4. Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et enlève 0,25 point pour une réponse fausse.
Si le total des points ainsi obtenu est négatif, la note attribuée est 0.

On appelle Y la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève. Calculer l'espérance mathématiques E(Y) de Y.

Problème (10 points)

Partie A - Etude de la représentation graphique d'une fonction $f$

On donne, ci-dessous, la représentation graphique $\mathcal{C_f}$ d'une fonction $f$ , définie et dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels.

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$ d'unités graphiques 1,5 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2008 - terminale : image 1

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2008 - terminale : image 1

La courbe $\mathcal{C_f}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse ln 2.
La droite d'équation y = 6 est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C_f}$ en $- \infty$ .
La courbe $\mathcal{C_f}$ admet une tangente de coefficient directeur -2 au point A(0 ; 3).
Par lecture graphique et en utilisant les informations ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

1. Quelles sont les valeurs $f$ (ln 2) et $f$ (0) ?

2. Déterminer, en le justifiant, $f'$ (ln 2) et $f'$ (0).

3. Quelle est la limite de $f$ en $- \infty$ ?

Partie B - Etude de la fonction $f$

On admettra maintenant que $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^{2x} - 4e^{x} + 6$
et on se propose dans cette partie de retrouver par le calcul les résultats obtenus graphiquement dans la partie A.

1. Vérifier que pour tout nombre réel $x$ : $f(x)=(e^x-2)^2+2$ .

2. Calculer $f$ (ln 2).

3. a) Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ .
   b) Quelle propriété de la courbe $\mathcal{C_f}$ présentée dans la partie A, est ainsi confirmée ?

4. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ en utilisant l'expression de $f(x)$ donnée en B.1..

5. a) Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que pour tout nombre réél $x$ , $f'(x)=2e^x(e^x-2)$
   b) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $f'(x) = 0$ .
   c) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $f'(x) > 0$ .
   d) En déduire sur $\mathbb{R}$ , le tableau de signe de $f'(x)$ , puis les variations de la fonction $f$ .
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ . Indiquer la valeur exacte de $f$ (ln 2) et les limites trouvées en B.3.a) et B.4..

6. Montrer que l'équation $f(x)=7$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ . Donner, en le justifiant un encadrement de $\alpha$ à 10^-1 près.

Partie C - Calcul d'une aire

1. Montrer que la fonction F définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} - 4e^{x} + 6x$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. Hachurer sur la figure la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C_f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ .

3. Soit $\mathcal{A}$ l'aire en cm² de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ , puis en donner une valeur arrondie au centième.

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