Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème. 4 points

exercice 1

Un jeu est organisé de la manière suivante : le joueur mise 3 € puis fait tourner une roue partagée en 6 secteurs circulaires. Lorsque la roue s'immobilise, un repère situé devant la roue indique le secteur circulaire désigné. On suppose que la roue est lancée suffisamment vite pour que la position du repère corresponde à un tirage aléatoire ; la probabilité que le repère indique un secteur donné est donc proportionnelle à l'angle au centre de ce secteur.

Sur chacun des secteurs circulaires est affichée une somme que le joueur reçoit :
    le secteur 1 mesure 150° et indique la somme 0 € : le joueur ne reçoit rien ;
    le secteur 2 mesure 100° et affiche 3 € ;
    le secteur 3 mesure 50° et affiche 4 € ;
    le secteur 4 mesure 35° et affiche 6 € ;
    le secteur 5 mesure 15° et affiche 10 € ;
    le secteur 6 qui est le dernier mesure 10° et affiche 15 €.

On appelle "gain" du joueur la somme, positive eu négative, que le joueur obtient après le lancer de la roue : cette somme prend en compte la mise de 3 €. Ainsi, par exemple, le gain correspondant au secteur 5 égal à 7 €.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.


1. Déterminier la loi de probabilité de la variable X.

2. Quelle est la probabilité d'obtenir un gain d'au moins 3 € ?

3. a) Calculer l'espérance mathématique de la variable X.
   b) Le jeu est-il équitable ?

4. Dans cette question, les cinq premiers secteurs soit inchangés, mais le sixième affiche une somme de a € où a est un nombre un réel positif. On note encore X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur.
   a) Calculer l'espérance mathématique de la variable X en fonction du réel a.
   b) Déterminer la valeur de a pour que cette espérance soit nulle. 4 points

exercice 2

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (0 ; ; ).
L'unité graphique est 1 cm ; on construira une figure que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice.

1. On note A, B et C les points d'affixes respectives : .
   a) Ecrire le nombre complexe a sous forme algébrique.
   b) Placer les points A, B et C sur la figure.

2. Démontrer que le triangle ABC est isocèle.

3. Soit z un nombre complexe quelconque et M le point du plan d'affixe z.
   a) Donner l'interprétation géométrique des nombres |z - a| et |z - b|.
   b) Déterminer l'ensemble des points M du plan tel que l'on ait : |z - a| = |z - b|.
Tracer cet ensemble sur la figure.
   c) On note D le point d'affixe d = 6 + i. Les points C et D appartiennent-ils à l'ensemble ?

4. Démonter que le triangle ABD est rectangle.

5. On considère le point H tel que ADBH soit un carré. Déterminer l'affixe h de ce point H.

 Problème (12 points)

Soit la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; [ par : .
On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; la courbe est donnée ci-dessous.

Partie A - Etude de la fonction

1. Déterminer la limite de la fonction en .

2. On rappelle le résultat suivant : .
   a) En remarquant que , déterminer la limite de lorsque tend vers 0.
   b) En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe et en donner une équation.

3. a) Calculer et montrer que pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle ]0 ; [ on a : .
   b) Déterminer le tableau des variations de sur l'intervalle ]0 ; [. Indiquer la valeur de l'extremum.

4. a) Démontrer que, sur l'intervalle [0,1 ; 10], la fonction s'annule pour deux valeurs exactement. On note et ces deux valeurs avec .
   b) Placer et sur l'axe représenté sur le graphique ci-dessus, et donner les valeurs approchées arrondies au centième de ces deux nombres.

Partie B - Etude d'une tangente

On désigne par la tangente à la courbe au point A d'abscisse 2.

1. Démontrer qu'une équation de la droite est : .

2. On considère la fonction définie sur ]0 ; [ par : .
   a) Calculer et vérifier que, pour tout de ]0 ; [, on a :
   b) En déduire le sens de variation de la fonction sur l'intervalle ]0 ; [.
   c) Calculer et en déduire le signe de la fonction sur l'intervalle ]0 ; [.

3. A l'aide des questions précédentes, déterminer la position relative de la courbe et de la tangente .

4. Tracer la droite sur le graphique, en tenant compte du résultat obtenu dans la question précédente.

Partie C - Calcul d'une aire

1. On note la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; [ par : . Calculer .

2. En déduire une primitive de la fonction sur l'intervalle ]0 ; [.

3. On considère la partie du plan comprise entre les droites d'équation et d'une part, entre l'axe horizontal et la courbe d'autre part. On note l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.
   a) Hachurer cette partie de plan sur le graphique.
   b) Donner la valeur exacte de l'aire , puis sa valeur arrondie au centième.