L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Session 2008

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter lesdeux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques et une feuille de papier millimétré sont distribués en même temps que le sujet.

 Exercice 1 (5 points)

On considère les nombres complexes
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal.
Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I : Q.C.M.

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
On ne demande aucune justification.

NOTATION : chaque réponse juste rapporte 0,5 point ; une réponse fausse enlève 0,25 point. Une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.
Si le total des points est négatif, il est ramené à 0.

1. Le nombre complexe Z₁ = z_A z_B est :

Réponse A : un nombre réel positif	Réponse B : un nombre réel négatif
Réponse C : un nombre imaginaire pur	Réponse D : l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes

2. Le nombre complexe Z₂ = z_A⁶ est :

Réponse A : un nombre réel positif	Réponse B : un nombre réel négatif
Réponse C : un nombre imaginaire pur	Réponse D : l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes

3. Le nombre complexe conjugué de z_A est :

Réponse A :	Réponse B :
Réponse C :	Réponse D :

4. Le nombre z_C peut se mettre sous la forme :

Réponse A :	Réponse B :
Réponse C :	Réponse D :

Partie II

On considère les points A, B et C d'affixes respectives z_A, z_B et z_C.

1. Soit M un point du plan d'affixe z.
   a) Interpréter géométriquement |z - z_A|.
   b) Quel est l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie l'égalité : |z - z_A| = |z - z_B|.
   c) Vérifier que le point C appartient à l'ensemble .

2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.

3. Déduire des questions 1. et 2. la nature du triangle ABC.

 Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par .

1. a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction .
   b) En utilisant la relation , montrer que, pour tout nombre réel de l'intervalle [0 ; +], .

2. Résoudre dans l'intervalle [0 ; 2], l'équation produit : .

3. a) En s'appuyant sur la représentation graphique de la fonction dérivée donnée ci-dessous, dresser le tableau de signes de sur l'intervalle [0 ; 2] ?

   b) Déduire des questions 2. et 3. a) le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle [0 ; 2]. Préciser les ordonnées des points dont l'abscisse vérifie

4. Tracer la courbe représentative de sur l'intervalle [0 ; 2] dans le repère ci-dessus (où est déjà représentée).

 Problème (10 points)

On considère la fonction , définie sur l'ensemble des nombres réels par .
On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 2 cm en abscisse, 1 cm en ordonnée).

Partie A : Limites aux bornes de l'ensemble de définition

1. Montrer que la droite d'équation est asymptote à en -.

2. a) Montrer que, pour tout nombre réel , .
   b) En déduire la limite de en +.

Partie B : Intersection de la courbe avec l'axe des abscisses

En utilisant la forme factorisée de donnée dans la partie A. 2. a), déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

Partie C : Etude des variations de la fonction

1. a) Déterminer la dérivée de la fonction .
   b) Etudier le signe de suivant les valeurs du nombre réel .

2. Montrer en détaillant vos calculs, que .

3. Déduire des questions précédentes le tableau de variations complet de la fonction .

4. A l'aide du tableau de variations et du résultat acquis à la partie B, donner le tableau de signes de la fonction sur .

5. Tracer la droite puis la courbe , pour appartenant à l'intervalle [-4 ; 2], dans le repère défini en début de problème.

Partie D : calcul d'une aire

1. Déterminer une primitive F de sur .

2. a) Déterminer l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et
   b) Donner une valeur approchée au mm² près de cette aire.

voir la correction

cours particuliers - cours de maths