Fiche de mathématiques

Bac 2008

Bac Technologique
Série Hôtellerie
Polynésie Française - Session 2008

Durée de l'épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

8 points

exercice 1

Le centre de thalassothérapie Neptune propose des formules de cure à la semaine. Trois choix de cures sont possibles :

Cure 1 : détente et remise en forme,
Cure 2 : minceur,
Cure 3 : tonus et vitalité.

6000 clients ont fréquenté l'établissement durant l'année 2007.
On constate que :

2500 clients sont des hommes,
20% des hommes ont choisi la cure 2,
1200 hommes ont choisi la cure 1,
3 client sur 10 ont choisi la cure 3,
36% des clients ont choisi la cure 2.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant qui couvre l'année 2007.

	Cure 1	Cure 2	Cure 3	Total
Femmes	840
Hommes
Total				6000

Dans toute la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis à 10^-2 si nécessaire.

2. On prélève une fiche au hasard parmi les 6000 fiches des clients ayant fréquenté l'établissement durant l'année 2007.
On considère que chaque fiche à la même probabilité d'être choisie.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : Le client a choisi la cure 1.
B : Le client est un homme.
C : Le client est une femme qui a choisi la cure 2.

3. a) Définir par une phrase l'événement $\text{A} \cap \text{B}$ ; calculer la probabilité $\text{P}(\text{A} \cap \text{B})$ .
b) Définir par une phrase l'événement $\text{A} \cup \text{B}$ ; calculer la probabilité $\text{P}(\text{A} \cup \text{B})$ .
c) Définir par une phrase l'événement $\bar{\text{A}}$ ; calculer la probabilité $\text{P}(\bar{\text{A}})$ .

4. On a prélevé la fiche d'une femme. Calculer la probabilité que la cliente ait choisi la cure 3. 12 points

exercice 2

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Dans le but d'informer les personnes souhaitant se lancer dans les métiers de l'hôtellerie, la chambre de commerce et d'industrie de la région Nord-Pas de Calais a décidé de suivre pendant une période de deux ans l'évolution du bénéfice réalisé par un jeune restaurateur qui vient d'ouvrir son établissement.

Les résultats sont consignés, trimestre par trimestre, dans le tableau ci-dessous.
Le nuage de points correspondant est donné ci-dessous.

Trimestre	Rang du trimestre $x_i$	Bénéfice en € $y_i$
janvier-février-mars 2006	1	1700
avril-mai-juin 2006	2	1300
juillet-août-septrembre 2006	3	1000
octobre-novembre-décembre 2006	4	1400
janvier-février-mars 2007	5	1900
avril-mai-juin 2007	6	2000
juillet-août-septrembre 2007	7	2700
octobre-novembre-décembre 2007	8	3500

sujet du bac hôtellerie Polynésie Française 2008 - terminale : image 1

Partie A : Étude statistique et ajustement affine

1. Un ajustement affine pour l'ensemble de ce nuage semble-t-il pertinent ?

2. Afin d'effectuer des prévisions, la chambre de commerce et de l'industrie propose d'appliquer un ajustement affine en se limitant à l'intervalle [ 3 ; 8 ].
Celui-ci est donné par la droite (d) d'équation $y = 471 x - 510.$

Tracer, dans le repère précédent, la droite (d).

3. On suppose que le modèle reste valable en 2008. Calculer le bénéfice prévisible pour le quatrième trimestre 2008 (octobre-novembre-décembre 2008).

Partie B : Étude d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1 ; 12] par : $f(x) = 800x + 1000 - 2000 \ln x$ On nomme $C$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthogonal précédent.

1. Déterminer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et vérifier que $f'(x) = \displaystyle \frac{800x-2000}{x}$ .

2. a) Résoudre $f'(x)=0$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [1 ; 12].
b) Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [1 ; 12].
c) Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [1 ; 12].

3. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. Les valeurs obtenues seront arrondies à la dizaine.

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$f(x)$	1800

4. Tracer $C$ .

Partie C : Étude d'un autre modèle

On admet que la fonction $f$ étudiée dans la partie B réalise, pour le restaurateur de la partie A, un bon ajustement du bénéfice en fonction du rang du trimestre jusqu'en 2008.
Calculer, à l'aide de la fonction $f$ , le bénéfice prévisible pour le quatrième trimestre 2008 (octobre-novembre-décembre 2008). Arrondir à la dizaine.

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