Fiche de mathématiques

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Bac Économique et Social
Pondichéry - Session Avril 2009

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

Cette première partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes trois réponses sont proposées, une seule de ces réponses convient.
Sur votre copie, noter le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une seule réponse est acceptée.
Barème: Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point; l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total donne un nombre négatif, la note attribuée à cette partie sera ramenée à zéro.

Rappel de notations :

$p(A)$ désigne la probabilité de A, $P_{B}(A)$ désigne la probabilité conditionnelle de A sachant B, $p(A \cup B$ ) signifie la probabilité de « A ou B» et $p(A \cap B)$ signifie la probabilité de « A et B ».

1. On lance un dé cubique équilibré. Les faces sont numérotées de 1 à 6.
La probabilité d'obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

2. Soient A et B deux événements tels que $p(A) = 0,2$ , $p(B) = 0,3$ et $p(A \cap B) = 0,1$ ; alors

$p(A \cup B) = 0,4$

$p(A \cup B) = 0,5$

$p(A \cup B) = 0,6$

3. Soient A et B deux événements indépendants de probabilité non nulle, alors on a obligatoirement :

$p(A \cap B) = 0$

$P_{A}(B) = P_{B}(A)$

$p(A \cap B) =p(A) \times p(B)$

4. Une expérience aléatoire a trois issues possibles : 2 ; 3 et $a$ (où $a$ est un réel).
On sait que $p(2) = \dfrac{1}{2}$ , $p(3) = \dfrac{1}{3}$ et $p(a) = \dfrac{1}{6}$ .
On sait de plus que l'espérance mathématique associée est nulle. On a alors

$a=-12$

$a=6$

$a=-5$

Partie B

Dans cette partie toutes les réponses seront justifiées.
Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que lors d'un lancer sa probabilité de marquer un panier est égale à 0,6.

1. Julien lance le ballon quatre fois de suite. Les quatre lancers sont indépendants les uns des autres.
a) Montrer que la probabilité que Julien ne marque aucun panier est égale à 0,0256.
b) Calculer la probabilité que Julien marque au moins un panier.

2. Combien de fois Julien doit-il lancer le ballon au minimum pour que la probabilité qu'il marque au moins un panier soit supérieure à 0,999 ?
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

5 points

exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie l

Sachant qu'il y avait 13 millions de cotisants au regime général de retraites en France métropolitaine en 1975 et 16,6 millions de cotisants en 2005, calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de cotisants entre 1975 et 2005. On arrondira le résultat à 0,1 % près.

Partie 2

Le tableau ci-dessous donne le nombre de retraités en France métropolitaine entre 1975 et 2005 :

Année	1975	1980	1985	1990	1995	2000	2005
Rang de l'année $x_i$ $0 \le i \le 6$	0	1	2	3	4	5	6
Nombre de retraités (en millions) $y_i$ $0 \le i \le 6$	4,1	5,0	5,9	7,4	8,3	9,7	10,7

Source : INSEE / Caisse Nationale d'Assurance Vieillesse 2007

1. Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points $M_i (x_i; y_i)$ , $0 \le i \le 6$ , associé à la série statistique dans un repère orthogonal d'unités graphiques 2 cm en abscisse (pour les rangs d'année) et 1 cm en ordonnée (pour 1 million de retraités).

2. a) Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique.
b) Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation réduite de la droite $d$ d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au dixième).
c) Placer le point G et tracer la droite $d$ dans le repère construit à la première question.

3. En utilisant l'ajustement trouvé à la question 2, déterminer par un calcul une estimation du nombre de retraités en 2010.

Partie 3

On utilisera les données des parties 1 et 2. Dans cette partie, les résultats seront donnés sous forme de pourcentage, arrondis au dixième.
On appelle rapport démographique de l'année $n$ le rapport $R_n=\dfrac{\text{nombre de cotisants de l'année }n}{\text{nombre de retraités de l'année }n}$
1. Calculer le taux d'évolution de $R_n$ entre 1975 et 2005 .

2. Entre 2005 et 2010, une étude montre que le nombre de cotisants devrait augmenter de 6,4% et que le nombre de retraités devrait augmenter de 12,1%. Calculer le taux d'évolution du rapport démographique entre 2005 et 2010.
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

5 points

exercice 2 - Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une agence de voyages organise différentes excursions dans une région du monde et propose la visite de sites incontournables, nommés A, B, C, D, E et F.
Ces excursions sont résumées sur le graphe ci-dessous dont les sommets désignent les sites, les arêtes représentent les routes pouvant être empruntées pour relier deux sites et le poids des arêtes désigne le temps de transport (en heures) entre chaque site.

bac économique et social Pondichéry Avril 2009 - terminale : image 2

1. Justifier que ce graphe est connexe.

2. Un touriste désire aller du site A au site F en limitant au maximum les temps de transport.
a) En utilisant un algorithme, déterminer la plus courte chaîne reliant le sommet A au sommet F.
b) Déduire le temps de transport minimal pour aller du site A au site F.

3. Un touriste désirant apprécier un maximum de paysages souhaite suivre un parcours empruntant toutes les routes proposées une et une seule fois.
Si ce parcours existe, le décrire sans justifier; dans le cas contraire justifier qu'un tel parcours n'existe pas.

10 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A. Lectures graphiques

La courbe $\matcal{C}$ ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $f$ définie et dérivable sur ]0 ; + $\infty$ [.
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ .
La courbe $\matcal{C}$ passe par les points A(e ; 0) et B(1 ; -1).
La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 et la tangente au point d'abscisse e passe par le point D(0 ; -e).

bac économique et social Pondichéry Avril 2009 - terminale : image 1

1. Déterminer une équation de la droite (AD).

Aucune justification n'est exigée pour les réponses à la question 2.
2. Par lectures graphiques:
    a) Déterminer $f(1)$ et $f'(1)$ .
    b) Dresser le tableau de signes de $f$ sur ]0 ; 5].
    c) Dresser le tableau de signes de $f'$ sur ]0 ; 5].
    d) Soit F une primitive de $f$ sur ]0 ; + $\infty$ [. Déterminer les variations de F sur ]0 ; 5].
    e) Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\matcal{C}$ et les droites d'équation $x=4$ et $x=5$ .

Partie B. Étude de la fonction

La courbe $\matcal{C}$ de la partie A est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = x (\ln x -1)$ .

1. a) Déterminer la limite de $f$ en + $\infty$ .
    b) Soit $h$ la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $h(x) = x \ln x$ . On rappelle que $\displaystyle \lim_{x \to 0} h(x) = 0$ .
Déterminer la limite de $f$ en 0.

2. a) Montrer que, pour tout $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, on a : $f'(x) = \ln x$ .
    b) Étudier le signe de $f'(x)$ sur ]0 ; + $\infty$ [ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur ]0 ; + $\infty$ [.

3. a) Démontrer que la fonction $H$ définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $\displaystyle H(x) = \frac{1}{2} x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2$ est une primitive sur ]0 ; + $\infty$ [ de la fonction $h$ définie à la question 1.b).
    b) En déduire une primitive $F$ de $f$ et calculer $\displaystyle \int_1^e f(x)dx$ .
    c) En déduire l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par $\matcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = e$ . On arrondira le résultat au dixième.

Voir la correction

exercice 1

Partie A

1. $\dfrac{1}{3}$

2. $p(A\cupB)=0,4$

3. $p(A\capB)=p(A)\timesp(B)$

4. $a=-12$

Partie B

1. a) Intersection des 4 évènements indépendants "manquer le panier".
La probabilité de "manquer le panier" est 1-0,6=0,4.
Donc la probabilité cherchée est 0,4⁴=0,0256

1. b) L'évènement "marquer au moins un panier" est le complément de l'évènement "marquer 0 panier". Donc, d'après la question 1. a) ci-dessus,
p("marquer au moins un panier")=1-p("marquer 0 panier")=1-0,0256=0,9744

2. En raisonnant comme dans la question 1. b) ci-dessus, l'évènement "Marquer au moins un panier en k lancers" a pour probabilité 1-0,4^k
L'entier k est donc le plus petit entier tel que
$1-0,4^k\geq 0,999$
soit :
$- 0.4^k \geq 0,999 - 1\\ - 0,4^k \geq - 0,001 \\ 0,4^k \leq 0,001 \\ k \ln(0,4) \leq \ln 0,001$
et, comme $\ln(0,4)<0$ :
$k \geq \dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,4)}$
$k\geq 7,54$
Julien doit donc lancer le ballon au moins 8 fois.

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Il y a une chaîne de tout sommet à tout sommet. Le graphe est donc connexe.

2. a) On va utiliser l'algorithme de Dijkstra.
Soit P l'ensemble des sommets dont le poids est fixé.
On représente les différentes étapes de l?algorithme par un tableau où figurent à droite les éléments successifs de P :

A	B	C	D	E	F	P
0	7(A)		15(A)			A
	7(A)	19(B)	15(A)	11(B)	23(B)	A, B
		19(B)	13(E)	11(B)	23(B)	A, B, E
		18(D)	13(E)		23(B)	A, B, E, D
		18(D)			21(C)	A, B, E, D, C
					21(C)	A, B, E, D, C, F

La plus courte chaîne est donc : ABEDCF, de poids 21

2. b) Le temps le plus court pour aller de A à F est de 21 heures.

3. Un tel parcours n'existe pas. En effet, pour que le graphe admette un cycle ou une chaîne eulérien,
Il faudrait qu'il ait 0 sommet ou 2 sommets de degré impair. Or, il a 4 sommets de degré impair (C,D,E,F).

exercice 3

Partie A

1. L'équation est de la forme $y=ax+b$ .
Comme elle passe par le point $D(0,-e)$ , on a $b=-e$
Comme elle passa par le point $A(e,0)$ , on a $0=a.e-e$ donc a=1.
On voit d'ailleurs sur le graphique que la pente est 1 et l'ordonnée à l'origine $-e$ .
L'équation est donc $y=x-e$

2. a) $f(1)=-1$ ; $f'(1)=0$

2. b) $f$ est négative sur ]0; $e$ [, nulle au point $e$ , positive sur ]e; 5]

2. c) $f'$ est négative sur ]0;1[, nulle au point 1, positive sur ]1; 5]

2. d) $F$ est décroissante sur ]0; $e$ [,minimum en $e$ , croissante sur ]e; 5]

2. e) L'aire est comprise entre 2 et 3

Partie B

1. a) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}}f(x)=+\infty$

1. b) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}}f(x)=0.(0-1)=0$

2. a) $f'(x)=\ln x+x\dfrac{1}{x}-1=\ln x$

2. b) $f'$ est négative sur ]0;1[, nulle au point 1, positive sur $]1; +\infty[$
Donc $f$ est décroissante sur ]0;1][,minimum en 1, croissante sur $]1; +\infty[$

3. a) Calculons la dérivée de $H$ sur $]0; +\infty]$ :
$H'(x)=\dfrac{1}{2}(2x\ln x+\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{1}{4}2x$
$~~~~=x\ln x+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{2}=x\ln x=h(x)$

3. b) $f(x)=h(x)-x$ donc $F(x)=H(x)-\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{3}{4}x^2$
On a donc : $\int_1^e f(x)dx=F(e)-F(1)=\dfrac{3-e^2}{4}$

3. c) $\dfrac{3-e^2}{4}=\dfrac{3-2,72^2}{4}=-1,09$ .
Arrondie au dixième, l'aire est donc égale à 1,1 unités d'aire.

Publié par correction de jmh43 le 15-05-2010

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