Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
2 feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Cet exercice est un QCM qui comporte 8 questions, numérotées de 1 à 8. À chaque question, une seule des trois réponses notée a, b ou c est exacte. On demande au candidat d'indiquer sur sa copie, pour chaque question, quelle est la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlèvent pas de point.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal , on considère les points : , , , , , , , , , , comme indiqués sur la figure ci-dessous :
1.Question 1 : Le triangle est :
2.Question 2 : Le barycentre du système de points pondérés est :
3.Question 3 : Le produit scalaire est égal à :
4.Question 4 : Les points B, C, I, H :
5.Question 5 : Une représentation paramétrique de paramètre de la droite est :
6.Question 6 : Une équation cartésienne du plan est :
7.Question 7 : La distance du point au plan est :
8.Question 8 : Le volume du tétraèdre est égal à :
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct . L'unité graphique est 1 cm.
On note le nombre complexe de module 1 et d'argument .
On considère les points , , et d'affixes respectives :
Partie A - Étude de la configuration
1.Construction de la figure. a) Placer les points et dans le repère .
b) Déterminer les modules des nombres complexes et .
c) Utiliser les cercles de centre et de rayons respectifs 4 et 6 pour construire les points et .
2. Démontrer que le triangle est équilatéral.
3. On note la rotation de centre et d'angle .
a) Vérifier que l'image du point par a pour affixe : .
b) Vérifier l'égalité : . Que peut-on en déduire pour les points , et ?
4. Soit le symétrique de par rapport à .
a) Démontrer que les droites , et sont concourantes en .
b) Établir que : .
Partie B
On note l'application qui, à tout point du plan, associe le réel défini par : .
1. Calculer .
2. Soient un point quelconque et son image par la rotation .
Démontrer que : puis que .
3.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l'évaluation. En utilisant l'inégalité triangulaire, démontrer que pour tout point du plan, .
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct . L'unité graphique est 1 cm.
On note le nombre complexe de module 1 et d'argument .
On considère les points , et d'affixes respectives :
Construire une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.
1.Étude de la position du point a) Calculer les rapports , et .
b) Démontrer qu'il existe une similitude directe qui transforme le triangle en le triangle .
c) Déterminer l'écriture complexe de cette similitude ainsi que ses éléments caractéristiques.
2.Étude d'une seconde similitude Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l'évaluation. On note la similitude qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe telle que .
Démontrer que est composée d'une simétrie orthogonale d'axe , et d'une similitude directe dont le centre appartient à . Préciser .
3.Étude d'une composée a) Calculer le rapport de la similitude composée .
b) En déduire le rapport entre les aires des triangles et .
4 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Lorsque le n-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L'événement : « le n-ième sondage est positif » est noté , on note la probabilité de l'événement .
L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :
si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d'être aussi positif ;
si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d'être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : .
1. Calculer les probabilités des événements suivants :
a) : « les 2e et 3e sondages sont positifs » ;
b) : « les 2e et 3e sondages sont négatifs ».
2. Calculer la probabilité pour que le 3e sondage soit positif.
3. désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Recopier et compléter l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé :
4. Pour tout entier naturel non nul, établir que .
5. On note la suite définie, pour tout entier naturel non nul par .
a) Démontrer que est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.
b) Exprimer en fonction de .
c) Calculer la limite, quand tend vers , de la probabilité .
7 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
L'objectif de l'exercice est l'étude d'une fonction et d'une suite liée à cette fonction.
Partie A
On note la fonction définie sur l'intervalle par .
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal . L'unité graphique est 1 cm.
1.Étude des limites a) Déterminer la limite de la fonction quand tend vers 0.
b) Déterminer la limite de la fonction quand tend vers .
c) Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe ?
2.Étude des variations de la fonction a) Démontrer que la fonction dérivée de la fonction s'exprime, pour tout réel strictement positif, par : .
b) Déterminer le signe de et en déduire le tableau de variation de sur l'intervalle .
c) Démontrer que l'équation a une unique solution notée appartenant à l'intervalle et donner la valeur approchée de arrondie au centième.
3. Tracer la courbe dans le repère orthonormal .
Partie B - Étude d'une suite d'intégrales
Pour tout entier naturel , on considère l'intégrale définie par : .
1. Calculer .
2.Une relation de récurrence a) Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel : .
b) Calculer .
3.Étude de la limite de la suite de terme a) Établir que pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle , on a : .
b) En déduire un encadrement de puis étudier la limite éventuelle de la suite .
Publié par Porcepic/
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Porcepic pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !