Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétrée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Pour chacune des questions suivantes, une ou deux des réponses proposées sont correctes.
Un point est attribué à chacune des questions. Toute réponse inexacte est pénalisée de 0,25 point.
Il n'y a pas de pénalité en cas d'absence de réponse. Aucune justification n'est attendue.
Si le total des points obtenus est négatif, la note attribuée à l'exercice est 0. Recopier le numéro de la question et la ou les réponses correctes (deux au maximum).
1. On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes.
La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à :
2. On tire au hasard et simultanément deux cartes d'un jeu de 32 cartes.
La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à :
3. On suppose la durée d'attente à un guichet de service, exprimée en heure, suit la loi uniforme sur l'intervalle .
La probabilité que la durée d'attente d'une personne prise au hasard soit comprise entre 15 min et 20 min et :
4. On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépendamment les uns des autres. La probabilité pour chaque appareil de tomber en panne durant la période de garantie est égal à 0,15.
La probabilité pour qu'exactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l'issue de la période de garantie est égale à :
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct d'unité 1 cm.
1. Restitution organisée de connaissances Pour , on rappelle que le point est l'image du point par la rotation de centre et d'angle de mesure si et seulement si :
a) Soient , et les affixes respectives des points , et .
Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments.
b) En déduire l'expression de en fonction de , et .
2. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : .
On donnera les solutions sous forme algébrique.
3. Soient et les points d'affixes respectives et .
a) Écrire et sous forme exponentielle.
b) Faire une figure et placer les points et .
c) Montrer que est un triangle équilatéral.
4. Soit le point d'affixe et son image par la rotation de centre et d'angle .
Placer les points et .
Montrer que l'affixe du point est .
5. Montrer que est l'image du point par une homothétie de centre dont on déterminera le rapport.
6. Montrer que est un triangle rectangle.
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct d'unité 1 cm.
1. Restitution organisée de connaissances On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes :
Propriété 1 : Toute similitude indirecte qui transforme un point d'affixe en un point d'affixe admet une expression complexe de la forme où et .
Propriété 2 : Soit un point d'affixe . Pour tout point , distinct de , d'affixe et pour tout point , distinct de , d'affixe , on a : .
Question : Montrer qu'une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé.
2. Soient les points et d'affixes respectives et , et la similitude qui à tout point du plan associe le point symétrique de par rapport à l'axe des réels.
a) Placer les points et puis leurs images respectives et par . On complètera la figure au fur et à mesure de l'exercice.
b) Donner l'expression complexe de .
3. Soit la similitude directe définie par :
le point et son image d'affixe ;
le point et son image d'affixe .
a) Montrer que l'expression complexe de est : .
b) En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude.
4. Soit la similitude définie par .
Déterminer l'expression complexe de .
5. On pourra admettre désormais que est la similitude indirecte d'expression complexe : .
a) Quelle est l'image de par ? Quelle est l'image de par ?
b) Soit le point d'affixe tel que : .
Montrer que le triangle est équilatéral direct.
c) Soit l'image de par . Préciser la nature du triangle et construire le point (on ne demande pas de calculer l'affixe du point ).
4 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
On donne la représentation graphique d'une fonction définie et continue sur l'intervalle .
On définit la fonction sur , par .
1. a) Que vaut ?
b) Donner le signe de :
pour ;
pour .
Justifier les réponses.
c) Faire figurer sur le graphique donné en ANNEXE(voir ci-dessus) les éléments permettant de justifier les inégalités .
2. a) Que représente pour ?
b) Déterminer le sens de variation de la fonction sur . Justifier la réponse à partir d'une lecture graphique des propriétés de .
3. On dispose de deux représentations graphiques sur .
L'une de ces courbes peut-elle représenter la fonction ? Justifier la réponse.
6 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Partie A
Soit la fonction définie pour tout nombre réel de l'intervalle par .
1. Déterminer les limites de la fonction en 0 et .
2. Montrer que est dérivable sur l'intervalle et que .
3. Dresser le tableau de variations de la fonction .
Partie B
Soit la suite définie pour tout par .
1. Conjecturer, à l'aide de la calculatrice :
a) le sens de variation de la suite ;
b) la limite éventuelle de la suite .
2. Soit la suite définie pour tout par .
a) Montrer que .
b) En utilisant la Partie A, déterminer le sens de variation de la suite .
c) En déduire le sens de variation de la suite .
3. Montrer que la suite est bornée.
4. Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite.
Publié par Porcepic/
le
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