Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2012
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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée aux candidats. Elle sera réservée pour le problème.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.
5 points
exercice 1
On note le nombre complexe de module 1 et d'argument .
On considère les nombres complexes
et .
1. Calculer le module et un argument de et .
2. On donne .
a) Donner le module et un argument de et en déduire une écriture trigonométrique de .
b) Donner la forme algébrique de .
c) En déduire les valeurs exactes de et de .
5 points
exercice 2
Une urne contient 100 jetons, bleus, verts ou rouges.
15 jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons verts que de jetons bleus.
1. Un joueur tire au hasard un jeton. On considère les évènements suivants :
A : «Le jeton tiré est rouge» ;
B : «Le jeton tiré est vert ou bleu».
Montrer que la probabilité de A est de 0,4.
En déduire la probabilité de B.
2. Un joueur mise 8 ?, tire un jeton et reçoit :
5 ? s'il tire un jeton rouge, 9 ? s'il tire un jeton vert et 10 ? s'il tire un jeton bleu.
Le gain du joueur (différence entre sa mise et la somme reçue après tirage) est une variable aléatoire notée .
a) Quelles sont les valeurs possibles pour la variable aléatoire ?
b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire .
On présentera les résultats dans un tableau.
c) Calculer l'espérance du gain d'un joueur.
3. On change le montant reçu par le joueur lorsqu'il tire un jeton bleu.
Un joueur reçoit ? s'il tire un jeton bleu et les autres montants sont inchangés.
Pour quelle valeur de l'espérance mathématique de la variable aléatoire associée est-elle nulle ?
10 points
probleme
Le plan est muni d'un repère orthonormé . L'unité graphique est 1 cm.
Soit la fonction définie sur par
.
La fonction est dérivable sur et désigne la fonction dérivée de .
La courbe représentative de dans le repère orthonormé , notée , est donnée en annexe.
1. a) Déterminer la limite de en .
b) Tracer la droite d'équation sur le même graphique que .
c) Montrer que la droite est asymptote à la courbe au voisinage de .
d) Étudier la position de la courbe par rapport à la droite D suivant les valeurs de .
2. a) Vérifier que pour tout réel, .
b) En déduire la limite de en .
3. a) Montrer que pour tout réel .
b) Résoudre l'équation et déterminer le signe de .
c) Établir le tableau de variations de .
4. a) Résoudre l'équation .
En déduire l'abscisse du point B de la courbe où la tangente notée est parallèle à la droite .
b) Vérifier que le point A de la courbe , d'abscisse , est un point de la droite .
c) Dans le repère , placer les points A et B et tracer .
5. On désigne par l'aire exprimée en cm2, de la partie du plan limitée par la courbe , la droite et les droites d'équation et .
a) Hachurer sur le graphique la partie du plan définie ci-dessus.
b) Calculer la valeur de l'aire .
Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2012
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EXERCICE 1
1- Module et un argument de et
2-a)- Argument et écriture trigonométrique de
On sait que :
et
Donc :
2-b)- Formule algébrique de
2-c)- Valeurs exactes de et de
On a vu à la question 2-a)- que le module de est et un argument est , donc :
En identifiant, nous obtenons :
EXERCICE 2
1- Il y a jetons bleus.
Il y a 3 fois plus de jetons verts que de bleus, soit jetons verts.
Il y a jetons en tout, il reste donc jetons rouges.
Il y a jetons rouges sur une totalité de , donc :
L'événement «Le jeton tiré est vert ou bleu» est équivalent à l'événement «Le jeton tiré n'est pas rouge.
En fait, il correspond à l'événement contraire de A, donc :
2-a)- La mise initiale du joueur étant de 8 euros, et les sommes reçues étant de 10 euros, 9 euros ou 5 euros :
2-b)- Loi de probabilité de la variable
Arbre pondéré (non demandé) :
Remarque (non demandé) :
On vérifiera lors de l'élaboration du tableau de la loi de probabilité de que :
2-c)- Espérance de
3- La loi de probabilité de la variable est à présent :
Avec une espérance nulle, on a :
PROBLEME
1-a)- Limite de en
En posant , on a quand , donc :
1-b)- Voir représentation graphique
1-c)- asymptote à
On a :
1-d)- Position de la courbe par rapport à la droite
Regardons le signe de l'expression :
On a :
Or :
Donc le signe de l'expression ne dépend que du signe de .
2-a)-
2-b)- Limite de en
Donc :
3-a)- La fonction est dérivable sur
La dérivée de est , donc :
Posons , nous avons :
Comme , on a :
3-b)- Résolution de
3-c)- Tableau de variations
On a :
et
4-a)- Résolution de
La solution est unique, indique une coefficient directeur de la tangente à la courbe de au point d'abscisse de .
On sait que deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
Or l'équation de la droite est , donc est de coefficient directeur égal à .
Donc la tangente à la courbe de au point d'abscisse est l'unique tangente à la courbe de parallèle à la droite .
4-b)- et
L'équation de la droite est , donc le point de la droite d'abscisse
a pour ordonnée , donc :
4-c)- Voir représentation graphique
5-a)- Voir représentation graphique
5-b)- Calcul de
Pour , la droite est au-dessus de la courbe de , donc la valeur de l'aire recherchée est donnée par :
L'unité graphique étant le , on a :
Représentation graphique :
Publié par malou/Jedoniezh
le
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