Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Juin 2012
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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4 La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Une feuille de papier millimétré est fournie avec le sujet.
5 points
exercice 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct d'unité graphique 1 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
I) On considère l'équation : .
Résoudre cette équation dans l'ensemble des nombres complexes.
II. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives:
, , et .
1. a) Déterminer le module et un argument des nombres , et puis donner leur expression sous la forme , .
b) Placer les points A, B, C et D dans le repère.
2. Démontrer que les points O, B et C sont alignés.
3. Quelle est la nature du triangle ACD ? Justifier la réponse.
4. Déterminer l'affixe du point E tel que ACDE soit un parallélogramme. Placer E.
5. a) Démontrer que B est l'image de A par une rotation de centre O dont on déterminera l'angle.
b) Calculer l'affixe du point B', image de B par (on donnera le résultat sous forme algébrique). Placer le point B'.
5 points
exercice 2
Une entreprise commercialise un appareil électrique. Un client qui achète cet appareil peut l'emporter immédiatement, ou se faire livrer à domicile.
Dans le cas de la livraison, deux services sont proposés aux clients :
livraison simple
livraison avec mise en service
Le prix de l'appareil en magasin est de 120 ?.
En cas de livraison, les tarifs des services supplémentaires sont les suivants :
frais de livraison :15 euros pour une livraison à une distance inférieure ou égale à 50 km ou 25 euros pour une livraison à une distance supérieure à 50 km.
frais de mise en service : 20 euros
Une étude a été réalisée sur un lot de 1 000 appareils vendus. Le tableau suivant indique la répartition des effectifs, en fonction des choix des clients et des distances de livraison :
Emporté
Livré de 0 à 50 km
Livré à plus de 50 km
TOTAL
Sans mise en service
550
100
50
700
Avec mise en service
200
100
300
550
300
150
1 000
1. a) Calculer la probabilité qu'un appareil choisi au hasard dans ce lot, ait été livré avec mise en service.
b) Calculer la probabilité qu'un appareil choisi au hasard dans ce lot, ait été livré.
2. Soit la variable aléatoire égale au montant facturé pour un appareil.
a) Donner les cinq valeurs prises par la variable aléatoire . (Par exemple, pour un appareil livré à moins de 50 km avec mise en service, prend la valeur 155).
b) Déterminer la loi de probabilité de .
c) Calculer son espérance mathématique.
d) Interpréter ce résultat.
10 points
probleme
Partie A : utilisation d'un graphique
Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe est la représentation graphique d'une fonction , définie sur , que l'on se propose de déterminer. La droite est tangente à la courbe au point d'abscisse 1 et l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe .
1. Donner, en utilisant le graphique:
a) le minimum de la fonction sur et la valeur en laquelle il est atteint.
b) le signe de la fonction sur .
c) la limite de en 0.
2. Expliquer pourquoi .
On admet que la fonction a pour expression : où et sont des nombres réels que l'on souhaite déterminer.
En utilisant les résultats des questions 1. a. et 2. déterminer les valeurs de et et en déduire que :
.
Partie B : étude de la fonction
Soit la fonction définie sur par :
.
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormné d'unité graphique 2 cm.
1. a) Déterminer la limite de en .
b) En remarquant que , déterminer la limite de la fonction en 0.
Interpréter graphiquement le résultat.
2. a) Calculer la dérivée de la fonction et vérifier que, pour tout de :
.
b) Dresser le tableau de variations de sur .
3. a) Vérifier que, pour tout de :
b) En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
5. Tracer la droite et la courbe dans le repère orthonormé sur une feuille de papier millimétré.
Partie C : détermination d'une aire
1. On appelle la partie du plan délimitée par la courbe l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
Hachurer sur le graphique précédent.
2. On considère la fonction définie sur par
.
Démontrer que est une primitive de sur .
3. Déterminer la valeur de l'aire de la partie du plan, exprimée en unités d'aire, puis en cm2 ?
O est l'origine du repère. Les affixes et des points B et C ont le même argument , donc :
3. Nature du triangle ACD
On a :
Le produit scalaire est nul, donc
les vecteurs et sont orthogonaux, et
4. ACDE parallélogramme équivaut à dire :
En remplaçant par les valeurs, on obtient :
5-a.
On a vu ci-dessus que l'on a :
Donc B peut être considéré comme l'image de A par une rotation de centre O. Son angle est alors soit
b. B' image de B par la rotation
EXERCICE 2
1-a. Probabilité qu'un appareil choisi au hasard dans ait été livré avec mise en service
300 appareil sur 1000 vendus ont été livrés avec une mise en service, on a donc :
b. Probabilité qu'un appareil choisi au hasard ait été livré
450 appareil sur 1000 vendus ont été livrés avec une mise en service, on a donc :
2. variable aléatoire égale au montant facturé pour un appareil
a. Valeurs prises par la variable
Les valeurs prises par la variable sont : 120 ; 120+15 ; 120+15+20 ; 120+25 ; 120+25+20
b. Loi de probabilité de
c. Espérance mathématique
d. Interprétation
PROBLEME
Partie A : utilisation d'un graphique
1-a. Par lecture du graphique :
b. Signe de la fonction
Sur l'intervalle considéré, la courbe représentative de est toujours au-dessus de l'axe des abscisses; la fonction ne prend donc que des valeurs strictement positives.
c. Limite de en
2. Au point de coordonnées (1;2), l'énoncé affirme que (d) est tangente à la courbe. Or (d) est parallèle à l'axe des abscisses, donc (d) a pour coefficient directeur 0. Or le coefficient directeur de la tangente en 1 est g'(1).
On en déduit que :
Soit . On en déduit que
D'après ce qui précède
De plus
Partie B : étude de la fonction
La fonction est définie sur par :
1-a. Limite de en
b. Limite de en
2-a. Dérivée
La fonction est dérivable sur comme somme et quotient de fonctions dérivables sur (dont le dénominateur ne s'annule pas), et on a :
b. Variations de
donc a le même signe que
D'après la première partie, on sait que :
Et est strictement croissante sur son ensemble de définition.
3-a. Autre forme de l'expression de
b. Intersection de avec l'axe des abscisses
On cherche l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée nulle.
La seule solution qui convient car incluse dans l'ensemble de définition est 1.
4. Equation de la tangente à la courbe au point d'abscisse
Une équation de s'écrit :
Or . On obtient :
5. Représentation graphique
Partie C : détermination d'une aire
1. Représentation graphique de l'aire
2. Soit la fonction sur définie par :
Les fonctions sont toutes deux définies sur .
3. Valeur de
Sur [1 ; e], la fonction ne prend que des valeurs positives.
L'aire de est donnée par l'intégrale suivante :
L'unité graphique étant de , une unité d'aire sera donc de , donc :
Publié par TP/Jedoniezh
le
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