Fiche de mathématiques

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Épreuve d'enseignement de spécialité

Session 2022

Amérique du Nord (1)

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1

Thème : probabilités

Chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, si il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.

1. Lorsqu'il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu'une fois sur cinquante alors que, lorsqu'il prend sa voiture pour rejoindre la gare Paul rate son train une fois sur dix.
On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul se rend à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail.
On note :
${\white{wi}}\bullet\white w$ V l'évènement " Paul prend son vélo pour rejoindre la gare " ;
${\white{wi}}\bullet\white w$ R l'évènement " Paul rate son train ".

${\white{wi}}$ a. Faire un arbre pondéré résumant la situation.
${\white{wi}}$ b. Montrer que la probabilité que Paul rate son train est égale à $\dfrac{7}{150}$
${\white{wi}}$ c. Paul a raté son train. Déterminer la valeur exacte de la probabilité qu'il ait pris son vélo pour rejoindre la gare.

2. On choisit au hasard un mois pendant lequel Paul s'est rendu 20 jours à la gare pour rejoindre son lieu de travail selon les modalités décrites en préambule. On suppose que, pour chacun de ces 20 jours, le choix entre le vélo et la voiture est indépendant des choix des autres jours.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces 20 jours.

${\white{wi}}$ a. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X . Préciser ses paramètres.
${\white{wi}}$ b. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo exactement 10 jours sur ces 20 jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à 10 ^-3 .
${\white{wi}}$ c. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo au moins 10 jours sur ces 20 jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à 10 ^-3 .
${\white{wi}}$ d. En moyenne, combien de jours sur une période choisie au hasard de 20 jours pour se rendre à la gare, Paul prend-il son vélo ? On arrondira la réponse à l'entier.

3. Dans le cas où Paul se rend à la gare en voiture, on note T la variable aléatoire donnant le temps de trajet nécessaire pour se rendre à la gare. La durée du trajet est donnée en minutes, arrondie à la minute.
La loi de probabilité de T est donnée par le tableau ci-dessous :

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (1) : image 2

Déterminer l'espérance de la variable aléatoire T et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

7 points

exercice 2

Thème : suites

Dans cet exercice, on considère la suite (T _n ) définie par :

$T_ 0 = 180$ et, pour tout entier naturel $n\;, T_{ n+1} = 0, 955\,T_ n + 0, 9.$

1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\;,T _n \ge 20.$
$\white{wi}$ b. Vérifier que pour tout entier naturel $n\;, T_{ n+1} -T _n = -0, 045(T_ n - 20)$ . En déduire le sens de variation de la suite (T _n ).
$\white{wi}$ c. Conclure de ce qui précède que la suite (T _n ) est convergente. Justifier.

2. Pour tout entier naturel n, on pose : $u _n = T _n - 20.$
$\white{wi}$ a. Montrer que la suite (u _n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
$\white{wi}$ b. En déduire que pour tout entier naturel n, $T_n = 20 + 160 \times 0, 955^ n .$
$\white{wi}$ c. Calculer la limite de la suite (T _n ).
$\white{wi}$ d. Résoudre l'inéquation $T _n \le 120$ d'inconnue n entier naturel.

3. Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température au centre d'un gâteau après sa sortie du four. On considère qu'à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de 180° C et celle de l'air ambiant de 20° C. La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente (T _n ). Plus précisément, T _n représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, n minutes après sa sortie du four.

$\white{wi}$ a. Expliquer pourquoi la limite de la suite (T _n ) déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l'exercice.
$\white{wi}$ b. On considère la fonction Python ci-dessous :

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (1) : image 1

$\white{wi}$ Donner le résultat obtenu en exécutant la commande temp(120).
$\white{wi}$ Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

7 points

exercice 3

Thème : géométrie dans l'espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\vec i , \vec j , \vec k )$ d'unité 1 cm, on considère les points suivants :
J(2 ; 0 ; 1), K(1 ; 2 ; 1) et L(-2 ; -2 ; -2)

1. a. Montrer que le triangle JKL est rectangle en J.
$\white{wi}$ b. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle JKL en cm² .

$\white{wi}$ c. Déterminer une valeur approchée au dixième près de l'angle géométrique $\widehat{JKL}$ .

2. a. Montrer que le vecteur $\vec n$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 6\\ 3 \\ -10 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (JKL )
$\white{wi}$ b. En déduire une équation cartésienne du plan (JKL ).

Dans la suite, T désigne le point de coordonnées (10 , 9 , -6).

3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite deltamaj

orthogonale au plan (JKL ) et passant par T.
$\white{wi}$ b. Déterminer les coordonnées du point H , projeté orthogonal du point T sur le plan (JKL ).
$\white{wi}$ c. On rappelle que le volume V d'un tétraèdre est donné par la formule :

$V = \frac 1 3 B \times h$ où B désigne l'aire d'une base et h la hauteur correspondante.

Calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre JKLT en cm ³ .

7 points

exercice 4

Thème : fonction exponentielle

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier votre réponse.

1. Affirmation 1 : Pour tout réel $x\; : \; 1-\dfrac{1-\text e ^x}{1+\text e ^x}= \dfrac {2}{1+\text e ^{-x}}$

2. On considère la fonction g définie sur R par $g(x)=\dfrac{\text e^c}{\text e ^x + 1 }$
$\white{wi}$ Affirmation 2 : L'équation $g(x)=\dfrac 1 2$ admet une unique solution dans R.

3. On considère la fonction f définie sur R par $f(x)=x^2 \text e ^{-x}$ et on note C sa courbe dans un repère orthonormé.
$\white{wi}$ Affirmation 3 : L'axe des abscisses est tangent à C en un seul point.

4. On considère la fonction h définie sur R par $h(x)=\text e ^x(1-x²).$
$\white{wi}$ Affirmation 4 : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction h n'admet pas de point d'inflexion.

5. Affirmation 5 : $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text e ^x}{\text e^x + x}=0 .$

6. Affirmation 6 : Pour tout réel $x\,,\; 1+\text e ^{2x} \ge 2\text e ^x .$

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7 points

exercice 1

Thèmes : probabilités

Chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train.
Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, si il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.

1. Lorsqu'il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu'une fois sur cinquante alors que, lorsqu'il prend sa voiture pour rejoindre la gare Paul rate son train une fois sur dix.
On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul se rend à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail.
On note :
${\white{wi}}\bullet\white w$ V l'évènement " Paul prend son vélo pour rejoindre la gare " ;
${\white{wi}}\bullet\white w$ R l'évènement " Paul rate son train ".

1. a) Arbre pondéré résumant la situation.

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (1) : image 4

1. b) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P(R).}$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{V}$ et $\overline{V}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(R)=P(V\cap R)+P(\overline{V}\cap R) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(R)}=P(V)\times P_V(R)+P(\overline{V})\times P_{\overline{V}}(R)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(R)}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{10}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(R)}=\dfrac{2}{150}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{2}{150}+\dfrac{5}{150}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(R)=\dfrac{7}{150}}$
Par conséquent, la probabilité que Paul rate son train est égale à $\dfrac{7}{150}.$

1. c) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P_R(V).}$

$P_{R}(V)=\dfrac{P(V\cap R)}{P(R)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXi}=\dfrac{P(V)\times P_V(R)}{P(R)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXi}=\dfrac{\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{50}}{\dfrac{7}{150}}=\dfrac{\dfrac{2}{150}}{\dfrac{7}{150}}=\dfrac{2}{150}\times\dfrac{150}{7}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{R}(V)=\dfrac{2}{7}}$

D'où, la probabilité que Paul a pris son vélo pour rejoindre la gare sachant qu'il a raté son train est égale à $\dfrac{2}{7}.$

2. a) Lors de cette expérience, on répète 20 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "Paul prend son vélo" dont la probabilité est $p=\dfrac{2}{3}$ ;
Echec : "Paul ne prend pas son vélo" dont la probabilité est $1-p=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}.$
La variable aléatoire X compte le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces 20 jours, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(n,p)}$ de paramètres n = 20 et $p=\dfrac{2}{3}.$

2. b) Nous devons déterminer $P(X=10).$

$P(X=10)=\begin{pmatrix}20\\10\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}\times\left(1-\dfrac{2}{3}\right)^{20-10} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=10)}=\begin{pmatrix}20\\10\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^{10}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=10)}\approx0,054.} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=10)\approx0,054}$
Par conséquent, la probabilité Paul prenne son vélo exactement 10 fois sur ces 20 jours pour se rendre à la gare est environ égale à 0,054 (valeur arrondie au millième).

2. c) Nous devons déterminer $P(X\ge10).$

$P(X\ge10)=1-P(X<10) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge10)}=1-P(X<10)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge10)}=1-P(X\le9)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge10)}\approx1-0,03764} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(X\ge10)}\approx0,96236} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\ge10)\approx0,962}$

2. d) Calculons l'espérance mathématique E (X ) de la variable aléatoire X .

$E(X)=n\times p \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(X)}=20\times \dfrac{2}{3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(X)}=\dfrac{40}{3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=\dfrac{40}{3}\approx13,333}\,.$

Donc en moyenne, Paul prend son vélo entre 13 et 14 jours sur une période de 20 jours pour se rendre à la gare.

3. Dans le cas où Paul se rend à la gare en voiture, on note T la variable aléatoire donnant le temps de trajet nécessaire pour se rendre à la gare. La durée du trajet est donnée en minutes, arrondie à la minute.
La loi de probabilité de T est donnée par le tableau ci-dessous :

$\begin{matrix} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &&&&&&&&&\\ k\text{ (en minutes)}&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&\\P(T=k)&0,14&0,13&0,13&0,12&0,12&0,11&0,10&0,08&0,07&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

Calculons l'espérance mathématique E (T ) de la variable aléatoire T .

$E(T)=10\times P(T=10)+11\times P(T=11)+12\times P(T=12)+\cdots+18\times P(T=18) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(T)}=10\times 0,14+11\times 0,13+12\times 0,13+\cdots+18\times 0,07} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(T)}=1,4+1,43+1,56+1,56+1,68+1,65+1,6+1,36+1,26} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{E(T)}=13,5} \\\\\Longrightarrow\boxed{E(T)=13,5}$

Donc en moyenne, Paul prend 13 minutes et demie pour se rendre en voiture à la gare.

7 points

exercice 2

Thèmes : suites

Considérons la suite (T_n ) définie par : $\left\lbrace\begin{matrix}T_0=180{\white{WWWWWWWWWWx}}\\T_{n+1}=0,955\,T_n+0,9{\white{www}}(n\in\N)\end{matrix}\right.$

1. a) Nous devons montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a : $\overset{{\white{.}}}{T_n\ge20.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que : $\overset{{\white{.}}}{T_0\ge20.}$
C'est une évidence par définition de T ₀.

$T_0=180>20\quad\Longrightarrow\quad\boxed{T_0\ge20}\,.$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{T_n\ge20}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{T_{n+1}\ge20.}$

En effet,

$T_n\ge20\quad\Longrightarrow\quad 0,995\times T_n\ge0,995\times 20 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_n\ge20}\quad\Longrightarrow\quad 0,995\,T_n\ge19,9} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_n\ge20}\quad\Longrightarrow\quad 0,995\,T_n+0,9\ge19,9+0,9} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_n\ge20}\quad\Longrightarrow\quad T_{n+1}\ge20,8} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{T_n\ge20}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{T_{n+1}\ge20}}$
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{T_n\ge20.}$

1. b) Pour tout entier naturel n ,

$T_{n+1}-T_{n}=(0,955\,T_n+0,9)-T_n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_{n+1}-T_{n}}=0,955T_n-T_n+0,9} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_{n+1}-T_{n}}=-0,045T_n+0,9} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_{n+1}-T_{n}}=-0,045\left(T_n-\dfrac{0,9}{0,045}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{T_{n+1}-T_{n}}=-0,045(T_n-20)} \\\\\Longrightarrow\boxed{T_{n+1}-T_{n}=-0,045(T_n-20)}$

Nous savons par la question précédente que pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{T_n\ge20.}$

Donc pour tout entier naturel n ,

$T_n\ge20\quad\Longleftrightarrow\quad T_n-20\ge0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_n\ge20}\quad\Longleftrightarrow\quad -0,045\,(T_n-20)\le0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_n\ge20}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{T_{n+1}-T_{n}\le0}}$
Par conséquent, la suite (T_n ) est décroissante.

1. c) Des questions précédentes, nous déduisons que la suite (T_n ) est décroissante et minorée par 20.
Selon le théorème de convergence des suites monotones, la suite (T_n ) converge vers une limite finie $\ell.$

2. Pour tout entier naturel n , on pose : $u _n = T _n - 20.$

2. a) Montrons que la suite (u_n ) est une suite géométrique.

$u_ {n+1}=T_{n+1}-20 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_ {n+1}}=0,955\,T_n+0,9-20} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_ {n+1}}=0,955\,T_n-19,1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_ {n+1}}=0,955\,\left(T_n-\dfrac{19,1}{0,955}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_ {n+1}}=0,955\,\left(T_n-20\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_ {n+1}}=0,955\,u_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}=0,955\,u_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:u_0=T_0-20=180-20\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_0=160}$

Par conséquent, la suite (u_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,955 dont le premier terme est u₀ = 160.

2. b) Le terme général de la suite (u_n ) est $\overset{{\white{.}}}{u_n=u_0\times q^{n}}.$
Donc, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{w}}}{u_n=160\times0,955^{n}.}$
Or $u_n=T_n-20\Longrightarrow T_n=20+u_n.$
D'où, pour tout entier naturel n , nous obtenons : $\boxed{T_n=20+160\times0,955^{n}}\,.$

${\red{2.\ \text{c)}}}\ \ 0<0,955<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}0,955^{n}=0\\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c.}}}\ \ 0<0,955<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\overset{}{160\times0,955^{n}}\right)=0 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c.}}}\ \ 0<0,955<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\overset{}{20+160\times0,955^{n}}\right)=20 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c.}}}\ \ 0<0,955<1}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}T_n=20}$

2. d) Nous devons résoudre l'inéquation T_n infegal

120 d'inconnue n entier naturel.

$T_n\le120\Longleftrightarrow 20+160\times0,955^{n}\le120 \\\phantom{T_n\le120}\Longleftrightarrow 160\times0,955^{n}\le120-20\\\phantom{T_n\le120}\Longleftrightarrow 160\times0,955^{n}\le100\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_n\le120}\Longleftrightarrow 0,955^{n}\le\dfrac{100}{160}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_n\le120}\Longleftrightarrow 0,955^{n}\le\dfrac{5}{8}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_n\le120}\Longleftrightarrow \ln\left(0,955^{n}\right)\le\ln\left(\dfrac{5}{8}\right)} \\\phantom{T_n\le120}\Longleftrightarrow n\times\ln\left(0,955\right)\le\ln\left(\dfrac{5}{8}\right) \\\phantom{T_n\le120}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{8}\right)}{\ln\left(0,955\right)} \\\phantom{wwwwwwww}\ (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,955)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{8}\right)}{\ln\left(0,955\right)}\approx10,2$
Nous savons que n est un entier naturel.
Par conséquent, l'ensemble S des solutions de l'inéquation T_n 120 est $\boxed{S=\lbrace n\in\N\;|\;n\ge11\rbrace\,}\,.$

3. a) Le sens du transfert thermique se fait du milieu dont la température est la plus élevée vers le milieu où la température est la plus faible.
Or à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de 180° C et celle de l'air ambiant de 20° C.
Le centre du gâteau va donc se refroidir pour atteindre finalement la température ambiante de 20° C.
Par conséquent, la limite de la suite (T_n ) déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l'exercice.

3. b) On considère la fonction Python ci-dessous :

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (1) : image 5

Exécutons la commande temp(120).
La fonction Python détermine le temps à l'issue duquel la température au centre du gâteau sera inférieure ou égale à 120° C.
Ce calcul a été réalisé à la question 2. c) dans laquelle la plus petite valeur de n est 11.

D'où le résultat fourni par la fonction Python est 11.
Cela signifie qu'il faudra attendre 11 minutes après la sortie du four pour que la température du centre du gâteau soit égale à 120° C.

7 points

exercice 3

Thème : géométrie dans l'espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\;;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} )$ d'unité 1 cm, on considère les points suivants :
J (2 ; 0 ; 1), K (1 ; 2 ; 1) et L (-2 ; -2 ; -2).

1. a) Nous devons montrer que le triangle JKL est rectangle en J .

Montrons que $\overrightarrow{JK}\cdot\overrightarrow{JL}=0.$

$\left\lbrace\begin{array}l J(2\ ;\,0\ ;\,1)\\K(1\ ;\,2\ ;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{JK}\begin{pmatrix}1-2\\2-0\\1-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{JK}\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}$
$\left\lbrace\begin{array}l J(2\ ;\,0\ ;\,1)\\L(-2\ ;\,-2\ ;\,-2)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{JL}\begin{pmatrix}-2-2\\-2-0\\-2-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{JL}\begin{pmatrix}-4\\-2\\-3\end{pmatrix}$

$\text{D'où }\;\overrightarrow{JK}\cdot\overrightarrow{JL}=(-1)\times(-4)+2\times(-2)+0\times(-3) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwiwww}=4-4+0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwiwwww}=0} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{JK}\perp\overrightarrow{JL}}$
Par conséquent, le triangle JKL est rectangle en J .

1. b) Calculons l'aire du triangle JKL .

Nous avons montré dans la question 1. a) que le triangle JKL est rectangle en J .

Dès lors, $\text{Aire}_{JKL}=\dfrac{JK\times JL}{2}.$

$\overrightarrow{JK}\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad JK=\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{JK=\sqrt{5}}$

$\overrightarrow{JL}\begin{pmatrix}-4\\-2\\-3\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad JL=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-3)^2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{JL=\sqrt{29}}$

$\text{D'où :}\;\text{Aire}_{JKL}=\dfrac{JK\times JL}{2}=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{29}}{2}=\dfrac{\sqrt{145}}{2}.$

Par conséquent, $\boxed{\text{Aire}_{JKL}=\dfrac{\sqrt{145}}{2}\;\text{cm}^2.}$

1. c) Dans le triangle JKL rectangle en J , nous obtenons :

$\tan\left(\widehat{JKL}\right)=\dfrac{JL}{JK}=\dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt{5}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\widehat{JKL}\approx67,5^{\circ}}$

2. a) Nous devons démontrer que le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}6\\3\\-10\end{pmatrix}}$ est un vecteur normal au plan (JKL ).

Considérons les vecteurs suivants : $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}6\\3\\-10\end{pmatrix}}$ et $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{JK}\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}$

$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{JK}=6\times(-1)+3\times2-10\times0\\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{JK}}=-6+6-0\\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{JK}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{JK}=0}$
D'où le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{JK}.$

Considérons maintenant les vecteurs suivants : $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}6\\3\\-10\end{pmatrix}}$ et $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{JL}\begin{pmatrix}-4\\-2\\-3\end{pmatrix}}$

$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{JL}=6\times(-4)+3\times(-2)-10\times(-3)\\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{JL}}=-24-6+30\\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{JL}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{JL}=0}$
D'où le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{JL}.$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow{JK}$ et $\overrightarrow{JL}$ ne sont pas colinéaires.

Donc nous venons de montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (JKL ).
Nous en déduisons que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au plan (JKL )
Par conséquent, le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (JKL ).

2. b) Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}6\\3\\-10\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (JKL ), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (JKL ) est de la forme $6x+3y-10z+d=0.$

Or le point J (2 ; 0 ; 1) appartient au plan (JKL ).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où $\overset{{\white{.}}}{6\times2+3\times0-10\times1+d=0,}$ soit d = -2.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (JKL ) est $\boxed{6x+3y-10z-2=0}.$

Dans la suite, T désigne le point de coordonnées (10 ; 9 ; -6).

3. a) Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan (JKL ) et passant par le point T.

La droite $\Delta$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}{\red{6}}\\ {\red{3}}\\ {\red{-10}}\end{pmatrix}$ .

La droite $\Delta$ passe par le point $T({\blue{10}}\,;\,{\blue{9}}\,;\,{\blue{-6}}).$

D'où une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{10}}+{\red{6}}\times t\\y={\blue{9}}+{\red{3}}\times t\\z={\blue{-6}}+{\red{(-10)}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$

soit $\boxed{\Delta:\left\lbrace\begin{array}l x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

3. b) Les coordonnées du point H sont les solutions du système composé par les équations de la droite $\Delta$ et du plan (JKL ), soit du système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\6x+3y-10z-2=0\end{array}\quad\left\lbrace\begin{array}l x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\6(10+6t)+3(9+3t)-10(-6-10t)-2=0 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\60+36t+27+9t+60+100t-2=0 \end{array}\quad\left\lbrace\begin{array}l x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\145t+145=0 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{matrix} x=10+6t\phantom{w}\\y=9+3t\phantom{ww}\\z=-6-10t\\t=-1\phantom{wwiw}\end{matrix}\right.\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=10+6\times(-1)\phantom{w}\\y=9+3\times(-1)\phantom{wx}\\z=-6-10\times(-1)\\t=-1\phantom{wwwwwww}\end{matrix}\right.\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=4\\y=6\\z=4\\\overset{{\white{.}}}{t=-1}\end{matrix}\right.$

D'où les coordonnées du point H sont $\boxed{\left(4\,;\,6\, ;\, 4\right)}.$

3. c) Déterminons le volume du tétraèdre JKLT .
Nous pouvons concevoir le tétraèdre JKLT comme suit :
${\white{xxx}}$ la base est le triangle JKL
${\white{xxx}}$ la hauteur est [TH].

Donc $\text{Volume}_{\text{tétraèdre JKLT}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{JKL}\times TH.$

Or $\boxed{\text{Aire}_{JKL}=\dfrac{\sqrt{145}}{2}}\quad(\text{voir question 1. b})$

De plus,

$\left\lbrace\begin{array}l T(10\ ;\,9\ ;\,-6)\\H\left(4\ ;\,6\ ;\,4\right)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{TH}\begin{pmatrix}4-10\\6-9\\4-(-6)\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{TH}\begin{pmatrix}-6\\-3\\10\end{pmatrix}$

$\text{D'où }\; TH=\sqrt{(-6)^2+\left(-3\right)^2+10^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wiWWW}=\sqrt{36+9+100}=\sqrt{145}} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{TH=\sqrt{145}}$

Par conséquent,

$\text{Volume}_{\text{tétraèdre JKLT}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{JKL}\times TH \\\\\phantom{wwwwwwwwwwww}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{145}}{2}\times \sqrt{145} =\dfrac{146}{6}\\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Volume}_{\text{tétraèdre JKLT}}=\dfrac{145}{6}\text{ cm}^3.}$

7 points

exercice 4

Thème : fonction exponentielle

1. Pour tout réel x ,

$1-\dfrac{1-\text{e}^x}{1+\text{e}^x}=\dfrac{(1+\text{e}^x)-(1-\text{e}^x)}{1+\text{e}^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{1-\dfrac{1-\text{e}^x}{1+\text{e}^x}}=\dfrac{1+\text{e}^x-1+\text{e}^x}{1+\text{e}^x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{1-\dfrac{1-\text{e}^x}{1+\text{e}^x}}=\dfrac{2\,\text{e}^x}{1+\text{e}^x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{1-\dfrac{1-\text{e}^x}{1+\text{e}^x}}=\dfrac{2\,\text{e}^x}{\text{e}^x(\text{e}^{-x}+1)}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{1-\dfrac{1-\text{e}^x}{1+\text{e}^x}}=\dfrac{2}{\text{e}^{-x}+1}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\;1-\dfrac{1-\text{e}^x}{1+\text{e}^x}=\dfrac{2}{1+\text{e}^{-x}}}$
L'affirmation 1 est donc vraie.

2. On considère la fonction g définie sur R par $g(x)=\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+1}.$
$g(x)=\dfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+1}=\dfrac{1}{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g(x)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad2\,\text{e}^x=\text{e}^x+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g(x)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad2\text{e}^x-\text{e}^x=1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g(x)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad\text{e}^x=1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g(x)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{x=0}}$
Dès lors, l'équation $g(x)=\frac{1}{2}$ admet une unique solution dans R.
L'affirmation 2 est donc vraie.

3. On considère la fonction f définie sur R par $f(x)=x^2 \text e ^{-x}.$

La fonction f est dérivable sur R.

$f'(x)=(x^2)'\times \text{e} ^{-x}+x^2\times (\text{e} ^{-x})' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=2x\times \text{e} ^{-x}+x^2\times (-\text{e} ^{-x})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=(2x-x^2)\times \text{e} ^{-x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=x(2-x)\times \text{e} ^{-x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=x(2-x)\,\text{e} ^{-x}}$

Si l'axe des abscisses est tangent à la courbe C en un point T (a ; f (a )), alors deux conditions doivent être réalisées.

$\bullet{\white{x}}$ Première condition : $f(a)=0.$

$f(a)=0\quad\Longleftrightarrow\quad a^2\, \text e ^{-a}=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(a)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad a^2=0}\quad(\text{car }\text e ^{-a}\neq0) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(a)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{a=0}}$

$\bullet{\white{x}}$ Deuxième condition : $f'(a)=0.$

$f'(a)=0\quad\Longleftrightarrow\quad a(2-a)\,\text{e} ^{-a}=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(a)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad a=0\quad\text{ou}\quad2-a=0}\quad(\text{car }\text e ^{-a}\neq0) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(a)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{a=0\quad\text{ou}\quad a=2}}$

Les deux conditions seront réalisées lorsque a = 0.
Par conséquent, l'axe des abscisses est tangent à la courbe C en l'unique point T (0 ; 0).
L'affirmation 3 est donc vraie.

4. On considère la fonction h définie sur R par $h(x)=\text e ^x(1-x²).$

La fonction h est dérivable sur R.

$h'(x)=(\text e ^x)'\times (1-x²)+\text e ^x\times(1-x²)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=\text e ^x\times (1-x²)+\text e ^x\times(-2x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=\text e ^x\times (1-x²-2x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{h'(x)=\text e ^x\, (-x²-2x+1)}$

La fonction h' est dérivable sur R.

$h''(x)=(\text e ^x)'\times (-x^2-2x+1)+\text e ^x\times(-x^2-2x+1)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h''(x)}=\text e ^x\times (-x^2-2x+1)+\text e ^x\times(-2x-2)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h''(x)}=\text e ^x\times (-x^2-2x+1-2x-2)} \\\\\Longrightarrow\boxed{h''(x)=\text e ^x\, (-x²-4x-1)}$

Etudions le signe de la dérivée seconde h'' (x ) sur R.
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R, le signe de h'' (x ) est le signe du trinôme du second degré $(-x^2-4x-1)$

$\underline{\text{Discriminant}} :\Delta=(-4)^2-4\times(-1)\times(-1)=16-4=12>0.$

Puisque le discriminant du trinôme est strictement positif, ce trinôme admet deux racines réelles distinctes.
Dès lors, le trinôme $\overset{{\white{.}}}{(-x^2-4x-1)}$ s'annule deux fois en changeant de signe.
Il en est donc de même pour la dérivée seconde h'' (x ).
Par conséquent, la courbe représentative de la fonction h possède deux points d'inflexion.
L'affirmation 4 est donc fausse.

${\red{5.}}\;\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x\left(1+\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWv}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{\text{e}^x}}} \\\\\text{Or }\;\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^x}=0\quad(\text{croissances comparées})\quad\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{\text{e}^x}}=1 \\\\\text{D'où }\;\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+x}=1}$
L'affirmation 5 est donc fausse.

6. Pour tout réel x ,

$1+\text{e}^{2x}\ge2\,\text{e}^{x}\quad\Longleftrightarrow\quad1-2\,\text{e}^{x}+\text{e}^{2x}\ge0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWxWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad(1-\text{e}^{x})^2\ge0}\quad\longrightarrow\quad\text{vrai pour tout réel }x.$
L'affirmation 6 est donc vraie.

Publié par malou le 18-08-2022

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