1. a. Montrer que la courbe de f passe par le point de coordonnées (-1 ; 0). b. En déduire que l'équation f ( x ) = 0 admet exactement trois solutions dans R .
2. a. Calculer pour tout réel x , f ' ( x ) où f ' désigne la fonction dérivée de f .
b. Etudier le sens des variations de f sur R.
3,5 points
exercice 3
A , B et C sont trois points non alignés du plan et D le barycentre du système {(A ; 1) ; (B ; -1) ;
(C ; 1)}.
1. Soit h l'application du plan dans lui-même qui à tout point M, associe le point M '
tel que a. Justifier que h ne peut être une translation. b. Montrer que c. Donner la nature et les éléments caractéristiques de h .
2. On pose l'endomorphisme du plan vectoriel E2 défini par :
a. Justifier que est une base du plan. b. Ecrire la matrice E de dans la base .
c. Déterminer la valeur de m pour que ne soit pas un automorphisme de E2.
5 points
exercice 4
1. Dire pour chacune des affirmations suivantes, si elle est vraie ou fausse :
a. Deux droites de l'espace, perpendiculaires chacune à une troisième, sont parallèles.
b. Pour montrer que deux droites de l'espace sont orthogonales, il suffit de trouver un plan
contenant l'une des deux droites, auquel l'autre est orthogonale.
2. L'espace est rapporté au repère a. Montrer que les plans (P ) et (Q ) ne sont pas parallèles. b. Donner par ses coordonnées un point, et par ses composantes un vecteur non nul de la droite commune à
(P ) et (Q ).
Partie B : Évaluation des compétences (5 points)
Des jeunes veulent mettre sur pied une petite et moyenne entreprise (PME), de production et de vente d'un article donné. L'étude de faisabilité
réalisée pour ce projet montre que le coût de production en FCFA d'un nombre x de cet article est : .
Le prix de vente d'une unité de cet article est fixé à 1500 FCFA.
La capacité de production de cet article par cette PME est limitée à 1300 unités.
Pour un début, il y a six postes de responsabilités dans cette PME. Dix demandes ont été sélectionnées, présentant les mêmes atouts et
donnant ainsi lieu à de sérieuses difficultés de choix. La direction décide donc de mettre dans des enveloppes coûtant 100 FCFA l'unité,
et à raison d'un groupe dans une enveloppe, les différents groupes des noms des six potentiels responsables, pour un tirage au sort. Une somme
de 12500 FCFA a été prévue pour l'achat de ces enveloppes.
Ces jeunes décident de contracter un prêt de dix millions de FCFA sur une période de cinq ans, auprès d'une coopérative de la place pour un taux de 12,5 % d'intérêt
annuel et composé. Pour maximiser son décollage, cette PME ne fera aucun remboursement entre temps.
En revanche, ce groupe de jeunes a un parrain qui a accepté d'hypothéquer ce prêt par le titre foncier de son terrain dont
les experts en affaires financières ont estimé la valeur à environ dix-huit millions de FCFA, cinq années après la période de
demande du prêt.
Tâches :
1. Quel est le nombre minimum de cet érticle que cette PME doit produire pour espérer réaliser un bénéfice ?
2. Le budget prévu pour l'achat des enveloppes sera-t-il suffisant ?
3. La coopérative doit-elle offrir ce prêt sans courir de risque aussi petit soit-il, en cas de non remboursement
au bout de cinq années ?
On ne garde que les valeurs de dans l'intervalle imposé .
Pour .
Pour .
Pour .
Pour .
Pour .
Pour .
Pour .
Pour .
Conclusion :
2) Exprimons en fonction de
Le fait que
On a , pour tout réel
D'où , pour tout réel
Conclusion :
3) On a pour tout
Donc , par identification :
Calcul de
On peut maintenant en déduire :
Si , alors :
Si , alors :
Illustration :
On trouve une infinitié de valeurs qui conviennent :
Remarque : Ici , on a trouvé tous les cas possibles pour et , tandis que l'examinateur ne nous demande qu'un seul . Par exemple est une réponse suffisante et donc valide .
exercice 2
est le polynôme défini pour tout réel par :
Pour simplifier les calculs, on factorise par
1-a) On a :
Donc :
b) Puisque , alors est racine du polynôme , il s'ensuit qu'on peut factoriser par le binôme .
Procédons par une division euclidienne :
On en tire que pour tout réel
Calculons le discirminant du trinôme
Le trinôme admet donc deux racines réelles distinctes , vérifions que ces deux racines réelles sont différentes de , sinon , on aurait affaire à une racine double .
Puisque : n'est donc pas une racine du trinôme
Alors le trinôme admet exactement deux racines réelles distinctes et différentes de , par conséquent , le polynôme admet exactement trois racines réelles distinctes dont une est , ou encore :
2-a) La fonction est dérivable sur et on a pour tout réel
b)Calculons le discriminent de
admet donc deux racines réelles distinctes :
Et puisque le coefficient dominant est (le coefficient dominant est le coefficient devant le monôme de plus haut degré , qui est ici) , donc est de signe positif à l'extérieur des solutions et .
On dresse alors le tableau de signe suivant
On en déduit les variations de la fonction
exercice 3
1-a) On a :
En effet
ne peut pas être une translation , car le vecteur est égal au vecteur , qui lui , n'est pas constant est dépend de .
Conclusion :
b) D'après ce qui précède : . On a donc directement :
D'où :
c) Puisque , donc , par définition :
2-a) sont des points non alignés , donc les vecteurs ne sont pas colinéaires .
D'où les vecteurs ne sont pas colinaires , donc :
b) est l'endomorphisme défini par :
La matrice de l'endomorphisme dans la base s'écrit donc :
c) On a :
exercice 4
1-a)Affirmation fausse
Cliquez pour afficher
Pour que deux droites de l'espace soient parallèles , elle doivent être coplanaires .
Et deux droites de l'espace , perpendiculaires chacune à une troisième peuvent ne pas être coplanaires comme illustré dans la figure ci-dessous :
Ici , les deux droites et sont perpendiculaires à la droite , mais et ne sont pas coplanaires , donc elles ne sont pas parallèles .
b)Affirmation vraie
Cliquez pour afficher
En effet , d'après la définition de l'orthogonalité d'une droite à un plan :
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan
.
2-a) Les équations des plans et sont respectivement
Donc sont des vecteurs normaux respectifs aux plans et .
Puisque les composantes de ces vecteurs ne sont pas respectivement proportionnelles , alors ils ne sont pas colinéaires .
Il s'ensuit que :
b) La droite commune à et est la droite d'intersection de ces deux plans .
Soit alors le point
On a donc :
En posant , on obtient une représentation paramétrique de la droite commune à et
On en tire directement les composantes d'un vecteur directeur non nul de la droite
Et en remplaçant par par exemple , on obtient les coordonnées d'un point
PARTIE B
1) Notons la fonction bénéfice .
Puisque le prix de vente d'une unité de cet article est fixé à 1500 FCFA , donc le prix de vente d'un nombre d'articles est .
De plus , le coût de production en FCFA d'un nombre de cet article est :
Alors , pour
Etudions le signe du trinôme , calculons pour cela son discriminent
Le trinôme admet donc deux racines dans
Seule la racine
La PME realisera un bénéfice si et seulement si la fonction bénéfice est strictement positive , donc si et seulement si
On conclut alors que :
2) Il y a six postes de responsabilités dans cette PME. Dix demandes ont été sélectionnées .
Le nombre de groupes possibles à consituer est donc :
Alors le budget alloué à l'achat des enveloppes est : .
Seule la somme de 12500 FCFA a été prévue pour l'achat de ces enveloppes et
3) Puisque le taux d'intérêt composé annuel est de .
Alors , on utilise la suite avec , définie par :
En effet , augmenter de revient à multiplier par .
La suite est une suite géométrique de raison et de premier terme
On a donc , pour tout entier naturel
Au bout de la cinqième année , le montant à rembourser s'élève à:
D'où :
Publié par malou
le
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