Fiche de mathématiques

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Bac S Amérique du Nord 2019

Obligatoire et spécialité

5 points

exercice 1 Commun à tous les cancdidats

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4 points

exercice 2 Commun à tous les candidats

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6 points

exercice 3 Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

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5 points

exercice 4 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

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5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Partie A

1. a. La variable aléatoire X exprimant l'épaisseur du tube de type 1 en millimètres suit la loi normale d'espérance

= 1,5 et d'écart-type sigma

= 0,07.
Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre 1,35 millimètres et 1,65 millimètres.
Par la calculatrice, nous obtenons $P(1,35\le X\le1,65)\approx0,968.$
D'où la probabilité que le tube soit accepté au contrôle est environ égale à 0,968 (valeur arrondie à 10^-3).

1. b. La variable aléatoire X ₁ suit la loi normale d'espérance

= 1,5 et d'écart-type sigma

₁.

Posons $Z=\dfrac{X_1-\mu}{\sigma _1}=\dfrac{X_1-1,5}{\sigma _1}$
La variable aléatoire Z suit alors la loi normale centrée réduite.

$P(1,35\le X_1\le1,65)=0,98\Longleftrightarrow P(1,35-1,5\le X_1-1,5\le1,65-1,5)=0,98\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow P(-0,15\le X_1-1,5\le0,15)=0,98 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow P(-\dfrac{0,15}{\sigma _1}\le \dfrac{X_1-1,5}{\sigma _1}\le\dfrac{0,15}{\sigma _1})=0,98 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow P(-\dfrac{0,15}{\sigma _1}\le Z\le\dfrac{0,15}{\sigma _1})=0,98 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow P( Z\le\dfrac{0,15}{\sigma _1})-P( Z\le-\dfrac{0,15}{\sigma _1})=0,98$

$.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow P( Z\le\dfrac{0,15}{\sigma _1})-P( Z\ge\dfrac{0,15}{\sigma _1})=0,98 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow P( Z\le\dfrac{0,15}{\sigma _1})-[1-P( Z\le\dfrac{0,15}{\sigma _1})]=0,98 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow 2P( Z\le\dfrac{0,15}{\sigma _1})-1=0,98 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow 2P( Z\le\dfrac{0,15}{\sigma _1})=1,98 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow P( Z\le\dfrac{0,15}{\sigma _1})=0,99$

Par la calculatrice, nous obtenons : $\dfrac{0,15}{\sigma _1}\approx 2,326$
$\text{Donc }\ \sigma _1\approx\dfrac{0,15}{2,326}\\\\\phantom{\text{Donc }\ }\boxed{\sigma _1\approx0,064}$

2. a. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I₂₅₀ au seuil de 95 % de la fréquence des tubes non "conformes pour la longueur" dans un échantillon de 250 tubes..
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=250\ge30 \\ p=0,02\Longrightarrow np=250\times0,02=5\ge5 \\n(1-p)= 250\times(1-0,02)= 250\times0,98=245\ge5 \end{array}$

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I₂₅₀ au seuil de 95% est :

$I_{250}=\left[0,02-1,96\sqrt{\dfrac{0,02 (1-0,02)}{250}};0,02+1,96\sqrt{\dfrac{0,02 (1-0,02)}{250}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{250}\approx[0,0026;0,0374]}$

2. b. On prélève au hasard dans la production de tubes de type 2 un échantillon de 250 tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non "conformes pour la longueur".
La fréquence observée des tubes non "conformes pour la longueur" est $\overset{}{\boxed{f=\dfrac{10}{250}=0,04}}$
Nous remarquons que $f\notin I_{250}.$
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, la machine doit être révisée.

Partie B

1. Nous savons que 96% des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme, soit $P(E)=0,96.$
Donc 4% des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme, soit $P(\overline{E})=0,04.$
Nous savons également que 3,6 % des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme, soit $P(\overline{E}\cap L)=0,036.$

$\text{D'où }\ P(\overline{E}\cap L)=0,036\Longleftrightarrow P(\overline{E})\times P_{\overline{E}}(L)=0,036 \\\phantom{\text{D'où }\ P(\overline{E}\cap L)=0,036}\Longleftrightarrow 0,04\times P_{\overline{E}}(L)=0,036 \\\\\phantom{\text{D'où }\ P(\overline{E}\cap L)=0,036}\Longleftrightarrow P_{\overline{E}}(L)=\dfrac{0,036}{0,04} \\\\\phantom{\text{D'où }\ P(\overline{E}\cap L)=0,036}\Longleftrightarrow \boxed{P_{\overline{E}}(L)=0,9}$

Nous en déduisons l'arbre pondéré suivant :

Bac S obligatoire et spécialité Amérique du Nord 2019 : image 23

2. En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
$\overset{.}{P(L)= P(E\cap L)+P(\overline{E}\cap L)} \\\phantom{P(L)}=P(E)\times P_E(L)+0,036 \\\phantom{P(L)}=0,96\times0,95+0,036 \\\phantom{P(L)}=0,948 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(L)=0,948}$

4 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

$\blue{\mathbf{Affirmation\ 1\ :\ fausse }}$

$z=\sqrt{2}\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\left(\cos(\dfrac{\pi}{4})+\text{i}\sin(\dfrac{\pi}{4})\right) \\\\\phantom{z=\sqrt{2}\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}}=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2} =1+\text{i} \\\\\Longrightarrow\boxed{z=1+\text{i}}$

Déterminons si z vérifie l'équation z - i = i(z + 1).

$\text{Si }\ z=1+\text{i}, \\\\\text{alors }\ z - \text{i} = (1 + \text{i}) - \text{i} = 1\Longrightarrow \boxed{z - \text{i}=1} \\\phantom{\text{alors }}\ \text{i}(z+1)= \text{i}(1+ \text{i}+1)= \text{i}(2+ \text{i})=2 \text{i}+ \text{i}^2=2 \text{i}-1\Longrightarrow \boxed{ \text{i}(z+1)=2 \text{i}-1} \\\\\text{D'où }\ \text{si }\ z=1+\text{i},\ \text{alors }\ {\red{z - \text{i}\neq\text{i}(z+1)}}$

Par conséquent, $z=\sqrt{2}\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ n'est pas une solution de l'équation z - i = i(z + 1).

$\blue{\mathbf{Affirmation\ 2\ :\ fausse }}$

$1+\text{e}^{2\text{i}x}=1+\cos2x+\text{i}\sin2x \\\phantom{1+\text{e}^{2\text{i}x}}=2\cos^2x+2\text{i}\sin x\cos x\ \ \ \ \ \ \ \text{car }\left\lbrace\begin{matrix}1+\cos2x=2\cos^2x\\\sin2x=2\sin x\cos x\end{matrix}\right. \\\phantom{1+\text{e}^{2\text{i}x}}=2\cos x(\cos x+\text{i}\sin x) \\\phantom{\overset{.}{1+\text{e}^{2\text{i}x}}}=2\cos x\ \text{e}^{\text{i}x} \\\\\Longrightarrow\boxed{1+\text{e}^{2\text{i}x}=2\cos x\ \text{e}^{\text{i}x}{\red{\neq2\cos x\ \text{e}^{-\text{i}x}}}}$

$\blue{\mathbf{Affirmation\ 3\ :\ vraie }}$

Soit z = x + iy .

$\boxed{|z-\text{i}|=|z+1|}\Longleftrightarrow|x+\text{i}y-\text{i}|=|x+\text{i}y+1| \\\phantom{..|z-\text{i}|=|z+1|}\Longleftrightarrow|x+\text{i}(y-1)|=|(x+1)+\text{i}y| \\\phantom{..|z-\text{i}|=|z+1|}\Longleftrightarrow|x+\text{i}(y-1)|^2=|(x+1)+\text{i}y|^2 \\\phantom{..|z-\text{i}|=|z+1|}\Longleftrightarrow x^2+(y-1)^2=(x+1)^2+y^2 \\\phantom{..|z-\text{i}|=|z+1|}\Longleftrightarrow x^2+y^2-2y+1=x^2+2x+1+y^2 \\\phantom{..|z-\text{i}|=|z+1|}\Longleftrightarrow -2y=2x \\\phantom{..|z-\text{i}|=|z+1|}\Longleftrightarrow \boxed{y=-x}$
Par conséquent, l'affirmation est vraie.

$\blue{\mathbf{Affirmation\ 4\ :\ fausse }}$

Raisonnons par l'absurde.
Supposons que l'équation $z^5+z-\text{i}+1=0$ admette une solution réelle notée z ₀.
La valeur z ₀ vérifierait l'équation.
Dès lors, $z_0^5+z_0-\text{i}+1=0$ , soit $z_0^5+z_0+1=\text{i}$ , ce qui est impossible car $z_0^5+z_0+1$ est un réel et $\text{i}$ est un imaginaire pur.
La supposition est donc fausse.
Par conséquent, l'affirmation est fausse.

6 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

Partie A : établir une inégalité

$f(x)=x-\ln(x+1)\ \ \ \ \ \text{où }x\in[0\,;+\infty[$

1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle [0 ; + infini

[ comme somme de deux fonctions dérivables sur [0 ; + infini

[.
Etudions le signe de la dérivée f' sur l'intervalle [0 ; + infini

[.

$f'(x)=x'-[\ln(x+1)]'=1-\dfrac{(x+1)'}{x+1} \\\\\phantom{f'(x)}=1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1-1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{x}{x+1}} \\\\\\\text{Or}\ x\in[0\,;+\infty[\ \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\ge0\\x+1>0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{Or}\ x\in[0\,;+\infty[}\ \Longrightarrow\dfrac{x}{x+1}\ge0 \\\\\phantom{\text{Or}\ x\in[0\,;+\infty[}\ \Longrightarrow \boxed{f'(x)\ge0}$

Puisque la dérivée f' est positive sur l'intervalle [0 ; + infini

[, la fonction f est croissante sur [0 ; +[.

2. Nous savons que $x\in[0\,;+\infty[\ \Longleftrightarrow x\ge0$
Nous savons également par la question que la fonction f est croissante sur [0 ; + infini

[.
Donc x supegal

f (x )

f (0) où f (0) = 0 - ln(1) = 0.
Nous en déduisons que f (x ) supegal

0.

$f(x)\ge0\Longleftrightarrow x-\ln(x+1)\ge0 \\\phantom{f(x)\ge0}\Longleftrightarrow x\ge\ln(x+1)$

Par conséquent, pour tout x [0 ; +[, ln(x + 1) x.

Partie B : application à l'étude d'une suite

Soit la suite (u_n ) définie par $\left\lbrace\begin{matrix}u_0=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\u_{n+1}=u_n-\ln(1+u_n)\ \ \ (n\in\N)\end{matrix}\right.$

${\red{1.\ }} \boxed{u_0=1} \\\\\phantom{{\red{1.\ }}}u_{1}=u_0-\ln(1+u_0) \\\phantom{{\red{1.\ }}}\phantom{u_1}=1-\ln(1+1) \\\phantom{{\red{1.\ }}}\phantom{u_1}=1-\ln 2 \\\phantom{{\red{1.\ }}}\Longrightarrow\boxed{u_1=1-\ln 2} \\\\\phantom{{\red{1.\ }}}u_{2}=u_1-\ln(1+u_1) \\\phantom{{\red{1.\ }}}\phantom{u_1}=1-\ln 2-\ln(1+1-\ln 2) \\\phantom{{\red{1.\ }}}\phantom{u_1}=1-\ln 2-\ln(2-\ln 2) \\\phantom{{\red{1.\ }}}\Longrightarrow\boxed{u_2=1-\ln 2-\ln(2-\ln 2)\approx0,039}$

2. a. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , $u_n\ge0$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Montrons donc que la relation $u_0\ge 0$ est vraie.
Nous savons que $u_0=1.$
Dès lors, la relation $u_0\ge 0$ est vraie et par conséquent, l'initialisation est vraie.

Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n et montrons que cette propriété est encore vraie au rang n + 1.
Supposons donc la relation $u_n\ge 0$ soit vraie.
Montrons que la relation $u_{n+1}\ge 0$ est également vraie.

Nous savons que $u_{n+1}=u_n-\ln(1+u_n).$
Or nous avons montré dans la question 2 de la Partie A que pour tout x supegal

0, ln(x + 1) infegal

x.
Sachant par l'hypothèse de récurrence que $u_n\ge 0$ , nous en concluons que   $\ln(1+u_n)\le u_n$ ,
soit que $u_n-\ln(1+u_n)\ge0$ , soit que   $u_{n+1}\ge0.$
Par conséquent, l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n ,   $u_n\ge0$

2. b. $u_{n+1}=u_n-\ln(1+u_n)\Longrightarrow u_{n+1}-u_n=-\ln(1+u_n)$
Or nous savons par la question précédente que $u_n\ge0.$

$u_n\ge0\Longrightarrow1+u_n\ge1 \\\phantom{u_n\ge0}\Longrightarrow\ln(1+u_n)\ge\ln1\ \ \ \ \ (\text{car la fonction ln est strictement croissante sur }]0\,;+\infty[) \\\phantom{u_n\ge0}\Longrightarrow\ln(1+u_n)\ge0 \\\phantom{u_n\ge0}\Longrightarrow-\ln(1+u_n)\le0$

$\text{Dès lors }\ \left\lbrace\begin{matrix}u_{n+1}-u_n=-\ln(1+u_n)\\-\ln(1+u_n)\le0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}-u_n\le0}$
Par conséquent, la suite (u_n ) est décroissante.

Puisque nous savons que u ₀ = 1 et que la suite (u_n ) est décroissante, nous en déduisons que $u_n\le u_0$ , soit que $\boxed{u_n\le1}$

2. c. La suite (u_n ) étant décroissante et minorée par 0, nous en déduisons qu'elle est convergente.

3. Selon l'énoncé, nous notons   $\ell$ la limite de la suite (u_n ) et nous admettons que   $\ell=f(\ell).$

$\ell=f(\ell)\Longleftrightarrow\ell=\ell-\ln(\ell+1) \\\phantom{\ell=f(\ell)}\Longleftrightarrow\ln(\ell+1)=0 \\\phantom{\ell=f(\ell)}\Longleftrightarrow\ln(\ell+1)=\ln1 \\\phantom{\ell=f(\ell)}\Longleftrightarrow\ell+1=1 \\\phantom{\ell=f(\ell)}\Longleftrightarrow\boxed{\ell=0}$
D'où la limite de la suite (u_n ) est $\boxed{\ell=0}$

4. a. Proposition d'algorithme :

Affecter à U la valeur 1
Affecter à N la valeur 0
Tant que U supegal

10^-p
Affecter à U la valeur U - ln(U + 1)
Affecter à N la valeur N + 1
Fin Tant que.

4. b. Le tableau suivant reprend les premières valeurs de u_n :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n&0&1&2&3&4&5&6\\\hline u_n&1&0,3069&0,0392&0,0007&2,81\times10^{-7}&3,95\times10^{-14}{\red{(>10^{-15})}}&4,94\times10^{-17}{\red{(<10^{-15})}}\\\hline \end{array}$

A l'aide du tableau et sachant que la suite (u_n ) est décroissante, nous déduisons que le plus petit entier n à partir duquel tous les termes de la suite (u_n ) sont inférieurs à 10^-15 est n = 6.

5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On relie les centres de chaque face d'un cube ABCDEFGH pour former un solide IJKLMN comme sur la figure ci-dessous.

Bac S obligatoire et spécialité Amérique du Nord 2019 : image 24

1. Le polyèdre IJKLMN formé en reliant le centre des faces adjacentes du cube est un octaèdre régulier.
Les faces de cet octaèdre des triangles équilatéraux.
Des lors, IJ = IK = IL = IM = NJ = NK = NL = NM.

IL = IJ implique

le point I appartient au plan médiateur du segment [LJ].
NL = NJ implique

le point N appartient au plan médiateur du segment [LJ].
Nous en déduisons que la droite (IN) est incluse dans le plan médiateur du segment [LJ].
Par conséquent, la droite (IN) est orthogonale à la droite (LJ).
IM = IK implique

le point I appartient au plan médiateur du segment [MK].
NM = NK implique

le point N appartient au plan médiateur du segment [MK].
Nous en déduisons que la droite (IN) est incluse dans le plan médiateur du segment [MK].
Par conséquent, la droite (IN) est orthogonale à la droite (MK).
Nous en déduisons que la droite (IN) est perpendiculaire au plan MLK car la droite (IN) est orthogonale à deux droites sécantes (LJ) et (MK) du plan MLK.
Dès lors, la droite (IN) est orthogonale à toutes les droites du plan (MLK) et en particulier à la droite (ML).
Par conséquent, les droites (IN) et (ML) sont orthogonales.

Soit le repère orthonormé $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ dans lequel, par exemple, le point N a pour coordonnées $(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\,;1)$ .

$\left\begin{matrix}{\red{2.\ \text{a. }}}\end{matrix}\right.\left\lbrace\begin{matrix}N(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\,;1)\\\\C(1\,;1\,;0)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{NC}(x_C-x_N\,;y_C-y_N\,;z_C-z_N)=(1-\dfrac{1}{2}\,;1-\dfrac{1}{2}\,;0-1)\\\phantom{...............................}\Longrightarrow\boxed{ \overrightarrow{NC}(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\,;-1)} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}M(\dfrac{1}{2}\,;0\,;\dfrac{1}{2})\\\\L(0\,;\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2})\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{ML}(x_L-x_M\,;y_L-y_M\,;z_L-z_M)=(0-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}-0\,;\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2})\\\phantom{...............................}\Longrightarrow\boxed{ \overrightarrow{ML}(-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\,;0)}$

$\left\begin{matrix}{\red{2.\ \text{b. }}}\end{matrix}\right.\overrightarrow{NC}.\overrightarrow{ML}=x_{\overrightarrow{NC}}\times x_{\overrightarrow{ML}}+y_{\overrightarrow{NC}}\times y_{\overrightarrow{ML}}+z_{\overrightarrow{NC}}\times z_{\overrightarrow{ML}}\\\\\phantom{...............................}=\dfrac{1}{2}\times(-\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}+(-1)\times0=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+0=0\\\Longrightarrow\overrightarrow{NC}.\overrightarrow{ML}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{NC}\perp\overrightarrow{ML}}$
Nous en déduisons que les droites supportant les vecteurs $\overrightarrow{NC}$ et $\overrightarrow{ML}$ sont orthogonales.
Par conséquent, les droites (NC) et (ML) sont orthogonales.

2. c. Nous avons montré dans les questions 1. et 2.b. que la droite (ML) est orthogonales aux deux droites (IN) et (NC).
Donc le vecteur $\overrightarrow{ML}$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{IN}$ et $\overrightarrow{NC}$ du plan (NCI).
Nous en déduisons que le vecteur $\overrightarrow{ML}$ est normal au plan (NCI).

De plus nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}(a\,;b\,;c)$ admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.
Puisque le vecteur $\overrightarrow{ML}(-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\,;0)}$ est normal au plan (NCI), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (NCI) est de la forme $-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y+d=0.$
Or le point C (1 ; 1 ; 0) appartient au plan (NCI).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où $\overset{.}{-\dfrac{1}{2}\times1+\dfrac{1}{2}\times1+d=0}$ , soit d = 0.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (NCI) est : $-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y=0$ ou encore $\boxed{-x+y=0}$

3. a. Montrons que les coordonnées des trois points N, J et M vérifient l'équation : x - y + z = 1.

$\left\lbrace\begin{matrix}N(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\,;1)\\\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+1=1\end{matrix}\right.\Longrightarrow N\text{ appartient au plan d'équation }x-y+z=1 \\\\\left\lbrace\begin{matrix}J(1,;\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2})\\\\1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\end{matrix}\right.\Longrightarrow J\text{ appartient au plan d'équation }x-y+z=1 \\\\\left\lbrace\begin{matrix}M(\dfrac{1}{2},;0\,;\dfrac{1}{2})\\\\\dfrac{1}{2}-0+\dfrac{1}{2}=1\end{matrix}\right.\Longrightarrow M\text{ appartient au plan d'équation }x-y+z=1$

Puisque les points N, J et M ne sont pas colinéaires et vérifient l'équation : x - y + z = 1, nous en déduisons qu'une équation cartésienne du plan (NJM) est x - y + z = 1.

3. b. Un vecteur normal au plan (NJM) est ${\red{\overrightarrow{n}:(1\,;-1\,;1)}}$ car l'équation cartésienne de (NJM) reprise dans la question 3a. peut s'écrire : ${\red{1}}\times x+{\red{(-1)}}\times y+{\red{1}}\times z=1.$

$\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}D(0\,;1\,;0)\\F(1\,;0\,;1)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{DF}:(x_F-x_D\;,y_F-y_D\;,z_F-z_D)=(1-0\,;0-1\,;1-0) \\\\\phantom{.........................}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{DF}:(1\,;-1\,;1)}$

Les vecteurs $\overrightarrow{n}:(1\,;-1\,;1)$ et $\overrightarrow{DF}:(1\,;-1\,;1)$ sont donc colinéaires.
Par conséquent, la droite (DF) est perpendiculaire au plan (NJM).

3. c. Montrons que l'intersection des plans (NJM) et (NCI) est une droite.
Résolvons le système constitué par leurs équations.

$\left\lbrace\begin{matrix}x-y+z=1\\ -x+y=0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x-y+z=1\\ x=y\end{matrix}\right. \\\\\phantom{........................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x-x+z=1\\ x=y\end{matrix}\right. \\\\\phantom{........................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}z=1\\ x=y\end{matrix}\right. \\\\\phantom{........................}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=t\\y=t\\z=1\end{matrix}\right.\ \ \ (t\in\R)}$

D'où l'intersection des plans (NJM) et (NCI) est une droite de représentation paramétrique $\left\lbrace\begin{matrix}x=t\\y=t\\z=1\end{matrix}\right.\ \ \ (t\in\R)$

$\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}x=t\\y=t\\z=1\end{matrix}\right.\ \ \ (t\in\R)\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x={\red{0}}+{\blue{1}}\times t\\y={\red{0}}+{\blue{1}}\times t\\z={\red{1}}+{\blue{0}} \times t\end{matrix}\right.\ \ \ (t\in\R)$

Donc, l'intersection des plans (NJM) et (NCI) est une droite passant par le point $E{\red{(0\,;0\,;1)}}$ et dont un vecteur directeur admet comme coordonnées ${\blue{(1\,;1\,;0)}}.$
Le point N appartient également à ces plans (NJM) et (NCI).
Par conséquent, l'intersection des plans (NJM) et (NCI) est la droite (EN).

5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a. Soit la matrice M = $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}.$

La lettre "T" du message initial correspond à la matrice colonne $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}.$

Nous calculons une nouvelle matrice $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ en multipliant $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$ à gauche par la matrice M .

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times4+2\times3\\3\times4+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\24\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\boxed{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\24\end{pmatrix}}$

Nous calculons r' et t' les restes respectifs des divisions euclidiennes de x' et y' par 5.

$\overset{.}{\left\lbrace\begin{matrix}10\equiv0[5]\\24\equiv4[5]\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}r'=0\\t'=4\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\begin{pmatrix}r'\\t'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}}$

En utilisant le tableau, la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne $\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}$ est la lettre "U"

Donc la lettre "T" du message initial est codée par la lettre "U".

La démarche est analogue pour coder la lettre "E".
La lettre "E" du message initial correspond à la matrice colonne $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times4+2\times0\\3\times4+4\times0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\12\end{pmatrix}$

$\overset{.}{\left\lbrace\begin{matrix}4\equiv4[5]\\12\equiv2[5]\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}r'=4\\t'=2\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\begin{pmatrix}r'\\t'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}}$

En utilisant le tableau, la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ est la lettre "O".

Donc la lettre "E" du message initial est codée par la lettre "O".
Par conséquent, le message "TE" est codé par "UO".

1. b. Soit la matrice P = $\begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}.$

$PM=\begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\times1+1\times3&3\times2+1\times4\\4\times1+2\times3&4\times2+2\times4\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\boxed{PM=\begin{pmatrix}6&10\\10&16\end{pmatrix}} \\\\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}6\equiv{\red{1}}[5]\\10\equiv{\red{0}}[5]\\10\equiv{\red{0}}[5]\\16\equiv{\red{1}}[5]\end{matrix}\right. \ \ \ \ \text{et }\ \ \ \ I=\begin{pmatrix}{\red{1}}&{\red{0}}\\ {\red{0}}&{\red{1}}\end{pmatrix}$

Par conséquent, les matrices PM et I sont congrues modulo 5.

1. c. Soit la matrice A = $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ et la matrice A' = $\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}.$
$\text{Alors }\ AZ=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\Longrightarrow AZ=\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix} \\\\\phantom{\text{Alors }\ }A'Z'=\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\Longrightarrow A'Z'=\begin{pmatrix}a'x'+b'y'\\c'x'+d'y'\end{pmatrix}$

$\left\lbrace\begin{matrix}A\ \text{et }A'\text{ sont congrues modulo 5}\\Z\ \text{et }Z'\text{ sont congrues modulo 5}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}a\equiv a'[5]\\x\equiv x'[5]\end{matrix}\right.\Longrightarrow ax\equiv a'x' [5] \\\left\lbrace\begin{matrix}b\equiv b'[5]\\y\equiv y'[5]\end{matrix}\right.\Longrightarrow by\equiv b'y' [5]\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{ax+by\equiv a'x'+b'y' [5]} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}A\ \text{et }A'\text{ sont congrues modulo 5}\\Z\ \text{et }Z'\text{ sont congrues modulo 5}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}c\equiv c'[5]\\x\equiv x'[5]\end{matrix}\right.\Longrightarrow cx\equiv c'x' [5] \\\left\lbrace\begin{matrix}d\equiv d'[5]\\y\equiv y'[5]\end{matrix}\right.\Longrightarrow dy\equiv d'y' [5]\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{cx+dy\equiv c'x'+d'y' [5]}$

Par conséquent les matrices AZ et A'Z' sont congrues modulo 5.

1. d. Par l'énoncé, nous savons que les matrices colonnes MX et Y sont congrues modulo 5.
De plus, par évidence, la matrice carrée P est congrue modulo 5 à elle-même.
En utilisant la question 1. c., nous déduisons que les matrices PMX et PY sont congrues modulo 5.
Or par la question 1. b., nous savons que les matrices PM et I sont congrues modulo 5.
Par conséquent, les matrices X et PY sont congrues modulo 5.

Cela permet de "décoder" une lettre chiffrée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la matrice M choisie.
En effet, si la lettre décodée est associée à la matrice X et la lettre codée est associée à la matrice y , alors pour décoder la lettre associée à la matrice Y modulo 5, il suffira de déterminer la lettre associée à la matrice PY modulo 5.

1. e. Décodons la lettre "D".
D'après le tableau, la matrice associée à la lettre "D" est la matrice Y = $\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}.$

$PY=\begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\times3+1\times0\\4\times3+2\times0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{PY=\begin{pmatrix}9\\12\end{pmatrix}} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}9\equiv{\red{4}}[5]\\12\equiv{\red{2}}[5]\end{matrix}\right.$
Donc les matrices PY et $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5.
La lettre associée à la matrice $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ est la lettre "O".
Par conséquent, la lettre "D" est décodée en "O".

${\red{2.\ \text{a. }}}\ RS=\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2\\4&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times1+2\times4&1\times2+2\times4\\4\times2+3\times4&4\times2+3\times4\end{pmatrix} \Longrightarrow\boxed{RS=\begin{pmatrix}10&10\\20&20\end{pmatrix}} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}10\equiv{\red{0}}[5]\\20\equiv{\red{0}}[5]\end{matrix}\right.$
D'où la matrice RS et la matrice $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5.

2. b. Par la procédure expliquée en question 1.d pour le codage avec la matrice M , nous savons que si les matrices TR et I sont congrues modulo 5, alors les matrices les matrices TRS et IS sont congrues modulo 5, ce qui entraîne que les matrices TRS et S sont congrues modulo 5.

2. c. Supposons qu'un message codé par la matrice R peut être décodé.
Nous savons par la question 2. a. que la matrice RS et la matrice $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5.
Donc la matrice TRS et la matrice $T\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5, ce qui signifie que la matrice TRS et la matrice $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5.

Or par la question 2. b., nous savons que si un message codé par la matrice R peut être décodé, les matrices TRS et S sont congrues modulo 5.

Dans ce cas, la matrice $S=\begin{pmatrix}2&2\\4&4\end{pmatrix}$ et la matrice $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ seraient congrues modulo 5, ce qui est absurde car $2\not\equiv0[5]$ et $4\not\equiv0[5].$
La supposition initiale est donc fausse.
Par conséquent un message codé par la matrice R ne peut pas être décodé.

Publié par malou le 29-06-2019

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