Dérivabilité Soit la fonction définie sur par .
Montrer que est dérivable sur et calculer pour tout réel positif.
exercice 2
Usage de la quantité conjuguée Chercher la limite en de
exercice 3
Etude d'une fraction rationnelle Soit la fonction définie sur par On désigne par la courbe représentative de dans le plan rapporté au repère orthonormal Déterminer trois réels a, b et c tels que : pour tout Etudier les limites en et de la fonction définie sur par : Que peut-on en conclure pour et la droite d'équation ?
Etudier la position de par rapport à .
Etudier les variations de . Tracer .
Montrer que le point I(-1 ; -2) est centre de symétrie de .
exercice 4
Fonction tangente Etudier la fonction
exercice 5
Inégalité des accroissements finis A l'aide du théorème des inégalités des accroissements finis, montrer que, pour tout
exercice 6
Théorème des valeurs intermédiaires Soit continue, dérivable sur[0;1].
Pour tout dans [0;1], alors appartient aussi à [0;1] et .
Montrer que l'équation a une solution unique sur [0;1].
exercice 7
Résolution d'équation Montrer que l'équation a une solution unique sur dont on donnera un encadrement d'amplitude 0,1.
Dérivabilité la fonction est dérivable sur et pour tout ,
Etude de la dérivabilité de en 0 :
Pour Or , donc La fonction est donc dérivable en 0 et .
exercice 2
Usage de la quantité conjuguée Les théorèmes classiques sur les limites ne permettent pas de conclure immédiatement.
Cependant pour :
Or , d'où :
exercice 3
Etude d'une fraction rationnelle Pour tout D'où, par identification des coefficients :
est équivalent à : On en déduit que , et .
On obtient pour tout
Pour tout , d'où : Graphiquement la différence des ordonnées (voir figure) a pour limite 0 en et en , donc est asymptote à .
Si , alors et est au-dessus de .
Si alors et C est au dessous de .
La fonction est rationnelle donc dérivable sur son ensemble de définition et :
D'après l'étude précédente,
; de même .
On a aussi : et On peut dresser le tableau de variations de :
Cherchons une équation de dans le repère avec I(-1 ;-2).
Soit un point M du plan ; si sont ses coordonnées dans et si sont ses coordonnées dans , alors
soit ce qui donne d'où le système :
Une équation de dans le repère est Donc une équation de dans le repère est c'est à dire Dans le repère la fonction a pour représentation graphique la courbe .
Or la fonction est impaire. Le point I est donc centre de symétrie de la courbe .
exercice 5
Inégalité des accroissements finis (hors programme)
Pour tout Or pour , on a donc En appliquant le théorème sur les inégalités des accroissements finis sur on obtient :
et puisque Donc pour tout
exercice 6
Théorème des valeurs intermédiaires Soit (d'après l'hypothèse )
donc est strictement décroissante.
Si appartient à [0;1]; appartient à [0;1] donc .
Supposons . 0 est donc solution de l'équation.
Sinon .
De même Supposons de même . 1 est donc solution de l'équation.
Sinon .
On peut donc utiliser le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction .
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit une fonction définie sur un intervalle I de , et a, b deux réels appartenant à I, a < b.
Si est continue sur [a;b], alors pour tout réel k compris entre (a) et (b) , il existe au moins un réel c appartenantà [a;b] tel que (c)=k
L'équation a une solution unique sur [0;1].
exercice 7
Résolution d'équation Soit la fonction avec dans .
est continue et dérivable sur .
, donc pour dans , donc est croissante sur .
De plus, et Donc, il existe une et une seule valeur de pour laquelle .
L'équation admet donc une unique solution sur .
Recherchons par procédé dichotomique un encadrement de la solution à l'équation :
On choisit une valeur de pour laquelle et une valeur de pour laquelle par exemple: et .
On sait alors que la solution sera telle que . On calcule pour = la moyenne arithmétique de 1 et 2, soit : .
On en conclut que On calcule pour = la moyenne arithmétique de 1 et , soit : .
On en conclut que On calcule pour = la moyenne arithmétique de 1 et , soit : .
On en conclut que On calcule pour = la moyenne arithmétique de et , soit : .
On en conclut que soit L'encadrement étant demandé à 0,1 près, on a :
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le
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la fonction définie sur 
par 
.
)
pour tout réel 
positif.
de 
par  = \dfrac{x^2+3}{x+1}.)
la courbe représentative de .)
 = a x + b + \dfrac{c}{x + 1}.)
de la fonction 
définie sur 
par :  = f(x) - x + 1.)
d'équation 
?
![x \in \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right] \, , \, 0 \leq \sin x \leq x.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right] \, , \, 0 \leq \sin x \leq x.)
)
appartient aussi à [0;1] et <1)
.
=x)
a une solution unique sur [0;1].
a une solution unique sur 
dont on donnera un encadrement d'amplitude 0,1.
![]0 ; +\infty [](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 ; +\infty [)
et pour tout 
,
 = \sqrt{x} + x \times \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} = \sqrt{x} + \dfrac{1}{2} \sqrt{x} = \dfrac{3}{2} \sqrt{x})
 - f(0)}{x - 0} = \dfrac{x \sqrt{x}}{x} = \sqrt{x})
, donc  - f(0)}{x - 0} = 0.)
 = 0)
.
 \left( \sqrt{x^2 + x} + x \right)}{\sqrt{x^2 + x} + x}\\ = \dfrac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} \\ = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}\\ = \dfrac{x \times 1}{x \left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + 1 \right)}\\ = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + 1})
, d'où : 
(x + 1) + c}{x + 1} = \dfrac{ax^2 + (b + a) x + (b + c)}{x + 1}.)
 = ax + b + \dfrac{c}{x + 1})
est équivalent à : 
, 
et 
.
 = x - 1 + \dfrac{4}{x + 1})
,  = f(x) - x + 1 = \dfrac{4}{x + 1},)
![\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - x + 1 \right] = \displyastyle \lim_{x \to - \infty} \left[ f(x) - x + 1\right] = 0.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - x + 1 \right] = \displyastyle \lim_{x \to - \infty} \left[ f(x) - x + 1\right] = 0.)
(voir figure) a pour limite 0 en 
, alors  > 0)
et 
alors  < 0)
et C est au dessous de 
.
 = 1 - \dfrac{4}{(x + 1)^2} = \dfrac{(x + 1)^2 - 4}{(x + 1)^2} = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{(x + 1)^2}.)
 = \displaystyle \lim_{x \to + \infty} (x - 1) = +\infty)
; de même  = -\infty)
.
^-} f = \displaystyle \lim_{x \to -1^-} \left( \dfrac{4}{x + 1} \right) = - \infty)
et ^+} f = \displaystyle \lim_{x \to -1^+} \left( \dfrac{4}{x + 1} \right) = +\infty)
)
avec I(-1 ;-2).
)
sont ses coordonnées dans )
et si )
sont ses coordonnées dans 
ce qui donne \vec i +(-2+Y)\vec j)
d'où le système :
c'est à dire 
,)
la fonction 
a pour représentation graphique la courbe 
est impaire. Le point I est donc centre de symétrie de la courbe  = \cos(x).)
![t \in \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t \in \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right])
, on a 
donc  \leq 1.)
![[0 ;x] ,](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0 ;x] ,)
on obtient :
 \leq \sin x - \sin 0 \leq 1 \times (x - 0),)
Donc pour tout ![x \in \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right], \, 0 \leq \sin x \leq x.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right], \, 0 \leq \sin x \leq x.)
=f(x)-x)
=f'(x)-1 < 0)
(d'après l'hypothèse >=0)
.
=0)
. 0 est donc solution de l'équation.
>0)
.
<=1)
=1)
. 1 est donc solution de l'équation.
< 0)
.
 = x^5 + x - 3)
avec  = 5x^4 + 1)
, donc  > 0)
pour ![]-\infty \, ; \, \infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty \, ; \, \infty[)
, donc  = -\infty)
et  = +\infty)
 = 0)
.
 = x^5 + x - 3 = 0)
admet donc une unique solution sur  > 0)
et une valeur de  < 0)
par exemple:  = 31)
et  = -1)
.
sera telle que 
. On calcule 
:  \approx 6,09)
.
, soit 
:  \approx 1,3)
.
, soit 
:  \approx -0,7)
.
et 
:  \approx 0,5)
.
soit 
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