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Anneau intègre
Bonsoir, je ne trouve pas de piste pour aborder la question suivante : Soit A un anneau non-nul commutatif, intègre et fini.
Soit donc a ∈ A − {0A} non-nul, on veut montrer que a admet un inverse dans A.
Pour cela on considère la suite d'éléments de A, donnée pour tout entier n naturel par
an := an = a.a. · · · .a (n fois) (avec a0 = 1A).
1. Montrer qu'il existe deux entiers 0 <= m < n tels que an = am.
Je pense qu'il faut utiliser que le fait que l'anneau est fini mais je ne vois pas d'autre chose. Quelqu'un aurait-il une piste à me proposer ?
Bonsoir,
Par l'absurde, en supposant que m
n 
aman, l'application n -> an est une injection de 
dans A, et tu as donc card() 
card(A) ce qui contredit la finitude de A.
Bonjour à tous,
je sais parfaitement que ce n'est pas la méthode de l'exercice, mais je t'en propose une autre qui est un peu plus simple (d'ailleurs je crois que dans un anneau intègre, on le suppose commutatif, à vérifier mais dans ce cas là pas besoin de préciser la commutativité).
On prend a non nul, et on regarde :
au choix (ce sont les mêmes applications par commutativité, mais il est bon de faire la distinction dans d'autres cas plus généraux) ; je prétends que ces deux/cette application(s) sont/est bijective(s)... à toi de t'amuser avec ce petit exercice ! 
Bonne journée.
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