Bonjour,

Donne l'énoncé complet de l'exercice, si tu veux avoir une aide pertinente !

Soient N et M deux matrices carrées d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif K. On
note par Ir la matrice identité d'ordre r.
1/Montrer par un calcul direct que si
M = ( I_r 0)
          ( 0  0) , alors les polynômes caractéristiques
de MN et NM sont égaux
2/Déduire de ce qui précède que MN et NM ont le même polynôme caractéristique (N et
M étant deux matrices carrées arbitraire de même ordre)
3/ Trouver deux matrices M et N d'ordre 2 telles que MN Et NM ne soient pas semblables

4/Donner une condition suffisante simple non triviale pour que l'on ait : MN est diagonalisable si et seulement si NM l'est aussi.

Bien.

Qu'as-tu fait dans cet énoncé ?

J'ai fait tout les question sauf la derniere monsieur

La qualification "simple non triviale" est très subjective. La question est ouverte et n'admet pas nécessairement une réponse unique.
Fais une proposition.

On peut dire si A ou B inversible ?

M ou N pardon

Tu peux le dire, mais il te reste à démontrer que si (ou ) est inversible, alors est diagonalisable si et seulement si l'est.
Je pense que tu peux le faire.

Oui monsieur merci enormement

Une autre condition suffisante simple : et commutent. Est-elle triviale ?

si M inversible alors on a MN=NM alors N et M commutent

Que veux-tu dire ? Il est bien évidemment faux que M et N commutent quand M est inversible !